Les calculatrices sont autorisées

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

  • redaction


Les calculatrices sont autorisées. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. * * * QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie n > 1. On note id l'endomorphisme identité de E, Mn(R) le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c'est-à-dire E = E1 ? E2, on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l'endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2, avec (x1, x2) ? E1 ? E2, associe le vecteur x1. On rappelle que si A est une matrice deMn(R), la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(A) = +∞∑ k=0 Ak k! . De même si u est un endomorphisme de E, l'exponentielle de u est l'endomorphisme : exp(u) = +∞∑ k=0 uk k! .

  • réel

  • projecteur sur e1

  • coefficients réels de degré inférieur

  • combinaison linéaire de matrices de projecteurs

  • unique polynôme

  • polynôme minimal


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 4
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SESSION 2010
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ______________________
 MPM2006
MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures _______________________________________________________________________________________________
Les calculatricessont autorisées. * * *
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler tre une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
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QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS
Notations et objectifs : Dans tout le texteEdésigne unR-espace vectoriel de dimension finien>1. On note id l’endomorphisme identité deE,Mn(R)leR-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taillen. SiE1etE2sont des sous-espaces vectoriels deEsupplémentaires, c’est-à-direE=E1E2, on appelle projecteur surE1parallèlement àE2l’endomorphismepdeEqui, à un vecteurx deEse décomposant commex=x1+x2, avec(x1, x2)E1×E2, associe le vecteurx1. On rappelle que siAest une matrice deMn(R), la matrice exponentielle deAest la matrice :
+k X A exp(A) =. k! k=0
De mme siuest un endomorphisme deE, l’exponentielle deuest l’endomorphisme :
+k X u exp(u) =. k! k=0
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Dans les parties II. et III., on propose une méthode de calcul d’exponentielle de matrice à l’aide de projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable. Dans la dernière partie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances à des parties. Les quatre parties sont indépendantes.
I. Questions préliminaires  ! ! 0 10 0 1. Soitles matricesA=etB=. 0 01 0 Calculerexp(A),exp(B),exp(A) exp(B)etexp(A+B)(pourexp(A+B), on donnera la réponse en utilisant les fonctions ch et sh). 2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matricesAetBde Mn(R)vérifient l’égalitéexp(A) exp(B) = exp(A+B).
II. Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide des projecteurs spectraux, cas diagonalisable
SoitA∈ Mn(R)une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont :
λ1< λ2<∙ ∙ ∙< λr,
rdésigne un entier vérifiant16r6n. 3.Polynôme interpolateur de Lagrange: on noteRr1[X]leR-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àr1. r On considère l’application linéaireφdeRr1[X]dansRdéfinie par : P7→(P(λ1), P(λ2), . . . , P(λr)). Déterminer le noyau deφ, puis en déduire qu’il existe un unique polynômeLdeRr1[X]tel λi que pour touti∈ {1, . . . , r}, L(λi) =e . 4. Pouri∈ {1, . . . , r}, on définit le polynômelideRr1[X]par : r Y Xλk li(X) =. λiλk k= 1 k6=i (a) Calculerli(λj)selon les valeurs deietjdans{1, . . . , r}. (b) Endéduire une expression du polynômeLcomme une combinaison linéaire des polynômes liaveci∈ {1, . . . , r}. 5.Une propriété de l’exponentielle: soitPune matrice inversible deMn(R)etDune matrice deMn(R). 1 (a) Justifierque l’endomorphisme deMn(R)défini parM7→P M Pest une application continue. (b) Endéduire que : 11 exp(P DP) =Pexp(D)P .
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6. Déduiredes questions3.et5.queexp(A) =L(A). 7. Onsuppose queEest munie d’une baseBet on désigne parvl’endomorphisme deEdont la matrice par rapport àBestA. Soitλune valeur propre dev, etxun vecteur propre associé. Démontrer que pour tout polynômePR[X], on a : P(v)(x) =P(λ)x. 8. Soiti∈ {1, . . . , r}, on noteEi=Ker(vλiid)le sous-espace propre devassocié àλi. (a) Démontrerque l’endomorphisme deE,pi=li(v)est le projecteur surEi, parallèlement r M àEk(on dit que lespisont les projecteurs spectraux dev). k= 1 k6=i (b) Endéduire une expression deexp(A)comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs.
III. Un calcul d’exponentielle de matrice à l’aide des projecteurs spectraux, cas non diagonalisable 2 Soituun endomorphisme deEdont le polynôme minimal est(X1) (X2). 9. L’endomorphismeu? Justifier la réponse.est-il diagonalisable 10. Écrire,sans justifier, un exemple de matrice triangulaire deM3(R)dont l’endomorphisme 2 canoniquement associé a pour polynôme minimal(X1) (X2). 2 11. Démontrer,sans aucun calcul, queE=Ker(uid)Ker(u2id). 2 12. Onconsidère les endomorphismes deE:p= (uid)etq=u(2idu). Calculerp+q. 13. Démontrer que l’endomorphismepest le projecteur sur Ker(u2id), parallèlement à 2 Ker(uid). Que dire de l’endomorphismeq? 14. Soitxun élément deE. (a) Préciser(u2id) (p(x)). k k (b) Déterminerun nombre réelαtel que pour tout entier naturelk,up=α p. (c) Endéduire queexp(u)p=βpβest un réel à déterminer. k 15. Quevaut pour tout entierk>2,(uid)q? Démontrer queexp(u)q=γuqγest un réel à déterminer (on pourra écrire en justifiant queexp(u) = exp(id)exp(uid)). 16. Écrireenfin l’endomorphismeexp(u)comme un polynôme enu.
IV. Calcul de distances à l’aide de projecteurs orthogonaux Dans cette partie, on suppose en plus que l’espaceEest muni d’un produit scalaire<,>, ce qui lui confère une structure d’espace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associée, notéek ∙ k, est définie par : xE,kxk=< x,x >. SiFest un sous-espace vectoriel deE, on noteFson orthogonal, et on appelle projecteur orthogonal surF, notépFle projecteur surF, parallèlement àF. Enfin, sixest un vecteur deE, la distance euclidienne dexàF, notée d(x, F)est le réel : d(x, F) = inf{kxyk |yF}.
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17.Théorème de la projection orthogonale: soitFun sous-espace vectoriel deEetxun vecteur deE. Rappeler sans démonstration, la formule permettant de calculer d(x, F)à l’aide du vecteurpF(x). 18.Cas des hyperplans: soitnun vecteur non nul deEetHl’hyperplan deEorthogonal à n, c’est à direH= (Vect{n}). Exprimer pourxE, la distance d(x, H)en fonction de < x,n >et deknk. 19.Une application: dans cette question uniquement,E=Mn(R)muni de son produit scalaire canonique : siAetBsont dansMn(R), en notant Tr la trace, t < A,B >=Tr(AB). Enfin on noteHl’ensemble des matrices deMn(R)dont la trace est nulle. (a) JustifierqueHest un hyperplan deMn(R)et déterminerH. (b) SiMest une matrice deMn(R), déterminer la distance d(M, H). 2 20.Et pour une norme non euclidienne?Dans cette questionE=Rest muni de la norme infinie 2 notéeN: six= (x1, x2)R, N(x) = max{|x1|,|x2|}. On poseF=Vect{(1,0)}et x= (1,1). Déterminer la distance «infinie» du vecteurxàF, c’est-à-dire le réel : d(x, F) = inf{N(xy)|yF}, et préciser l’ensemble des vecteursmpour lesquels cette distance est atteinte, c’est-à-dire d(x, F) =N(xm). Commenter.
Fin de l’énoncé
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