Les calculatrices sont interdites

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Les calculatrices sont interdites N.B.: Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** La partie III est independante des deux premieres. PARTIE I Soit (Pn)n?IN la suite de fonctions polynomiales definies sur IR par : P0(x) = 1, ?n ? IN?, Pn(x) = n∏ k=1 (x + k). I.1. Soient m ? IN et n ? IN. Donner une expression de Pn(m) a l'aide de factorielles. Soit ? un nombre reel qui n'est pas un nombre entier strictement negatif. On definit la fonction f? de la variable reelle x par : f?(x) = +∞∑ n=0 (?1)nx2n 22nn!Pn(?) . I.2. Montrer que f? est definie sur IR tout entier. I.3. On considere l'equation differentielle lineaire homogene en la fonction inconnue y de la variable reelle x : (E?) xy ??(x) + (2? + 1)y?(x) + xy(x) = 0.

  • ∂2f˜ ∂?2

  • expression de pn

  • classe c2 sur ir

  • ir2 ?

  • ∂2f ∂y2

  • dt


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 3
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Les calculatrices sont interdites N.B.:Siuncandidatestamen´ea`repe´rercequipeutluisemblereˆtreuneerreurd´enonc´e,illa signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quilae´t´eamene´`aprendre.
**** LapartieIIIestind´ependantedesdeuxpremi`eres.
PARTIE I
Soit (Pn)nIN:rapRI´esdleiaurssienofcnitnopslonymolasuitede P0(x) = 1, n Y nIN, Pn(x() =x+k). k=1 I.1.SoientmIN etnune expression deIN. DonnerPn(mles.actorieladidefe`)la
Soitαbromnnsupasteinuqlee´rerbmonnuif.egatntn´etemrtcieisreetn Ond´enitlafonctionfαellaviredal´reebaelxpar : +n2n X (1)x fα(x) =. 2n 2n!Pn(α) n=0 I.2.Montrer quefαurestoIRenuterti.ets´dein I.3.alneene`gomoheriuenncoinontincfoid´itnoqeaule´n´ealelitielerencnOisnore`dyde la variablere´ellex: 00 0 (Eα)xy(x) + (2α+ 1)y(x) +xy(x) = 0. I.3.1.Montrer quefαest solution de (Eα) sur IR. I.3.2.s,ioemtntR´eoquecipryune solution de (Eαdeeeens´erieenti`erte,eve´dpolelbap),irpa la variablexau voisinage dexExprimer= 0.yen fonction defαety(0).
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Onsupposea`pre´sent,etjusqu`alandelapartieIdeceprobl`eme,queα6∈ZZ.
I.4.Soitgαcnitalofeinno´d]0esur,+[ par : 2α x]0,+[, gα(x) =x fα(x).
I.4.1.Montrer quegαest solution de (Eα) sur ]0,+[. I.4.2.ocnEarmptlanliestemiden0eeitroads`fαetgα, montrer que ces fonctions sont 2 line´airementind´ependantesdansC(]0,+[,IR). Ende´duirelasolutiong´ene´ralede(Eα) sur ]0,+[. 2 I.4.3.Soityune fonction de classeCsur ]− ∞,aval0[`r´eeeurssell. Montrer queyest solution de (Eα) sur ]− ∞,0[ si et seulement si la fonctionx7→y(x) est solution de (Eα) sur ]0,+[. Ende´duirelasolutiong´ene´ralede(Eα) sur ]− ∞,0[.
α I.5.Soitjα0]rualontincfoesnied´,+[ parjα(x) =x fα(x). I.5.1.Montrer quejαest solution sur ]0,+el:itlereneonti´di´eluaeqd[ 200 02 2 (Bα)x y(x) +xy(x) + (xα)y(x) = 0. Que peut-on dire dejα? I.5.2.E´endirdusaletulognoi´ne´eralede(Bα) sur ]0,+[ puis sur ]− ∞,0[.
PARTIE II
1 Dans cette partie,αueira`rise´dnnomgneu´eelbrertcmetsirpue´nest. 2 Onde´nitlafonctionhαbael´reeedalavirllexpar : Z 1 1 2αhα(x(1) =t) cosxt dt. 2 0
2 II.1.Montrer quehαeitee´nsedtassedeclCsur IR. II.2. Z 1 1 002α+ II.2.1.Montrer que pour toutxxcosxt dt. 2 IR on axhα(x) +xhα(x) =(1t) 0 II.2.2.seitdne,ude´qeriegt´tirapaonarrplAadideuennieuhαest solution de (Eα) sur IR. II.3.Montrer quehαs´enleabpplove´edtsee`eredreeineitxsur IR, et que l’on a : +X n2n (1)In(α)x xIR, hα(x) =, (2n)! n=0 Z 1 1 2α2n o`uIn(α(1) =t)t dt. 2 0 II.4.Exprimerhαen fonction dehα(0) etfα. II.5.E´endriuduopeuotrtnIN une expression deIn(α) en fonction den,Pn(α) etI0(α).
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PARTIE III
2 2 SoitF: IR− {(0,0)} →unefIRiondonctlleesebliar´eseuedarxvxetyde classeCsur 2 2 ˜ IR− {(0,0)}lui associe la fonction. OnFde classeCsur ]0,+[×Ipar:nieRd´e ˜ F(r, θ) =F(rcosθ, rsinθ) pour tout (r, θ)]0,+[×IR. 2 2 ∂ F∂ F On note ΔFlelaplaciendeFipn´e,dΔarF= +. 2 2 ∂x ∂y
III.1.Montrer que pour tout (r, θ)]0,+[×IR on a : ˜ ˜˜ 2 2 ∂ F1∂F1∂ F ΔF(rcosθ, rsinθ) =(r, θ() +r, θ) +(r, θ). 2 22 ∂r r∂r r∂θ
˜ Onseproposedede´terminerlesfonctionsFnon identiquement nulles telles queFsoit de la forme ˜ 2 F(r, θ) =f(r)g(θ) et que ΔF+ω Fo,u`=0ωte,llposr´eeounuitifetsbmernuonfetgdes 2 fonctions de classeCsur ]0,+[ et IR respectivement. ˜ III.2.SoientF,F,fetgidnocseltnaire´vus.desssci-tion III.2.1.Montrer quegest 2πerp´diio.euq-III.2.2.eeltnoMonbmer´rexisteunrerquilλstmileutaqtleulnoian´ement: 200 02 2 (i)r]0,+[, rf(r) +rf(r) + (r ωλ)f(r) = 0, 00 (ii)θIR, g(θ) +λg(θ) = 0. III.2.3.lederiude´D.1.2IInIiostueaq.quelenombrer´eelλntmeladermfoesente´ecssiaer 2 λ=p, avecpIN. III.2.4.nd´eEelafduir´gneroemelede´arg. Ondistingueralecasou`pua`coeslte0=p6= 0. III.3.On suppose dans cette question queω= 0. III.3.1.D´etermidelerae´ne´gemrofalrenfasecsland`oup= 0. III.3.2.formerlarmin´ete´eeDgern´edalefelsnosacu`dap6= 0. α On pourra commencer par chercher les fonctionsfqui sont de la formef(r) =r. III.4.On suppose dans cette question queω6= 0.   r Soitf1al0]runiesd´etionfonc,+[ parf1(r) =f. ω Montrer quef1est solution sur ]0,+nereleitnoit´idel´equa:le[d 200 02 2 (Bp)r y(r) +ry(r) + (rp)y(r) = 0.
Findele´nonc´e
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