Les calculatrices sont interdites

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Les calculatrices sont interdites **** N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la concision de la redaction. Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. **** PARTIE I On considere l'equation differentielle lineaire du 2? ordre en la fonction inconnue y de la variable reelle x : (E?) x(x+ 1)y ??(x) + (2x+ 1)y?(x)? ?(?+ 1)y(x) = 0, ou ? designe un parametre reel. I.1. Etant donne ? ? IR, comparer les equations (E?) et (E???1). On supposera dans la suite du probleme que ? ≥ ?12 . Dans la suite de cette partie, y designe une fonction de la variable reelle x, admettant un developpement en serie entiere y(x) = +∞∑ n=0 anx n au voisinage de 0. I.2. Montrer que, pour que y soit solution de l'equation (E?), il faut et il suffit que l'on ait pour tout n ? IN : an+1 = (?+ n+ 1)(?? n) (n+ 1)2 an.

  • rayon de convergence de la serie entiere

  • deduire du developpement de ? en serie entiere

  • unique solution

  • solution generale de l'equation

  • equation differentielle

  • developpement en serie entiere


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 4
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Les calculatrices sont interdites **** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´, `alapre´cisioneta`laconcisiondelare´daction. Siuncandidatestamen´e`arep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonc´e, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition enexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´ete´amene´a`prendre. ****
PARTIE I
Onconside`rel´equationdi´erentielleline´airedu2ordreenlafonctioninconnueyde la variablere´ellex: 00 0 (Eλ)x(x+ 1)y(x) + (2x+ 1)y(x)λ(λ+ 1)y(x) = 0, o`uλeel.rer´m`etaparennusegi´d
I.1.tdonEtann´eλs(ontiIR,rareocpmqeauel´sEλ) et (Eλ1). 1 Onsupposeradanslasuiteduproble`mequeλ≥ −. 2
Dans la suite de cette partie,ydise´uengalavnoedcnitenofeeelller´riabx, admettant un +X n de´veloppementense´rieentie`rey(x) =anxau voisinage de 0. n=0 I.2.Montrer que, pour quey(noitauioutooiltsseq´elndEλ), il faut et il suffit que l’on ait pour toutnIN : (λ+n+ 1)(λn) an+1=an. 2 (n+ 1) Tournez la page SVP
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I.3. 1 I.3.1.coneitndnnioce´enoDurensurssiaerteussnaetλ[,+[ pour que 2 le´quation(Eλetdm)aolssdetedegresdenn´e´edosnoptuoiimlaylondIN ?
I.3.2.Lorsque c’est le cas, montrer qu’il existe une unique solution polynomiale de (Eλed)dege´rd, que nous noteronsϕd, telle queϕd(0) = 1.
I.3.3.pxilElrfaicetionponctˆomeolynϕ1.
0 0 0 I.3.4.smrete´Dscleerinntiecoea,b,c,a,b,ctels que :
2 8x+ 8x+ 1a bc = ++, x(x+ 1)(2x+ 1)x x+ 12x+ 1
0 00 1a bc = ++. 2 2 x(x+ 1)(2x+ 1)x x+ 1(2x+ 1)
End´eduirelasolutionge´n´eraledel´equation(E1) sur ]0,+[.
1 I.4.nOlpesecaso`uacedanslλ≥ −,λ6∈IN. 2 I.4.1.On suppose queyest une solution non identiquement nulle de (Eλ). +X n D´eterminerlerayondeconvergencedelas´erieenti`ereanx. n=0 I.4.2.Montrer qu’il existe une unique solution de (Eλ), que nous noteronsϕλ, d´eveloppableens´erieentie`redelavariablexsur ]1,+1[ et telle queϕλ(0) = 1.
I.4.3.ementsen´evelopptireeldsxElpcilevalaabrie`itederre´sneeixdes fonctions ϕetϕ. 1 1 2 2
PARTIE II
Soitψlaelleer´leabiravalednoitcnofxeepndi´:ar Z π 2p 2 2 ψ(x1 +) =xsint dt. π0
II.1.Montrer queψr[suueesdte´neiteoctnni1,+[.
II.2.Montrer queψeniind´d´ermentelusvibatse]r1,+[.
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II.3. +X n1 (1) (2n)! n II.3.1.Montrer que pour toutu]1,+1[ on a1 +u=u. 2n2 2n1 2 (n!) n=0 II.3.2.Montrer queψs´enleabpplove´ealedere`itneeireablevarisedtxsur ]1,+1[ et que l’on a :  ! +Z π n1 X2 (1) (2n)! 2 2n n x]1,+1[, ψ(xsin) =x .t dt 2n2 2n1 2 (n!)π0 n=0 Z π 2 2n II.3.3.Pour toutnIN on poseIn= sint dt. Montrerque pour toutn1 0 2n1 on aIn=In1. 2n CalculerI0. Ende´duireInpour toutnve´deleuqisnia,NIntdeeloppemeψ`iredelee´ireetnensa variablexsur ]1,+1[.
(2n)! II.3.4.Montrer que pour toutnIN, on a1. 2n2 2 (n!)
II.3.5.elquertrlove´eednoMppmenedteψrge´elbamreta`eieenti`ereestintne´sre terme sur ]1,:ueeqirdu+´e,ned1t[e   Z+1 +2 X 1 (4p)! ψ(x)dx=2. 4p2 1(4p1)(2p+ 1)2 ((2p)!) p=0
II.4.´eDirdutdeppolnemedudeeve´ψerieentiens´pxerssoie`ernueeednψ(x) en fonction deϕ(x) etϕ(x) pour toutx]1,+1[. 1 1 2 2
II.5.e`errohtnoro´m(eslepDananaleenilcuneidpprat´oraue`epnrO,~ı, ~`dree),onconsi l’ellipseCaram´etr´eeparpt[0,2π]7bcost.~ı+asint.~,o`uaetbsont des nombres r´eelsdonn´estelsqueab >note0. On`sa longueur eteicit´e.nseoxcentr h i 2 2 Montrer que`=πa ϕ(e) +ϕ(e) . 1 1 2 2
PARTIE III
Soitflavaondenctilafoeeellel´rirbat´d:arepnieZ p +1 1 2 f(t) =1 +xsint dx. 21
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III.1.Montrer quef2te,RIruseunittconnieed´eestπ-e.qudiioerp´
1 III.2.Montrer quefest de classeCsur IR.
III.3.rdeertneuqroMFodeieurs´laieerfest de la forme :
+X α0 +α2ncos 2nt, 2 n=1
o`uα0,α2, .. .α2nombresr´eelsquelonnceehcreharapacs`cualr.le...,nsedtnos Pr´eciserpourquoilafonctionfs´sademeomasale`lage´tse.rrueiedoFreei
III.4.on,druneIIon.5.3uqalitsetlusedtaur´eidedAlaisnoedenxerpseα0sous forme desommedunes´erienum´erique.
Findele´nonce´
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