Les calculatrices sont interdites

Publié par

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Les calculatrices sont interdites N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, la precision et a la conci- sion de la redaction ; si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. PARTIE I On note D = IR \ (?IN?) l'ensemble des nombres reels qui ne sont pas des nombres entiers strictement negatifs. On considere la serie de fonctions d'une variable reelle de terme general un defini par : ?n ? IN?, ?x ? IR, x 6= ?n, un(x) = 1 (n+ x)2 . I.1. Montrer que cette serie de fonctions converge simplement sur D. On notera desormais U = +∞∑ n=1 un la somme de cette serie de fonctions, et, pour tout n ? IN ?, Un = n∑ k=1 uk la somme partielle d'ordre n et Rn = +∞∑ k=n+1 uk le reste correspondant. On a donc Rn = U ? Un pour tout n ? IN ?. I.2. I.2.1. Soit p ? IN? donne. Pour tout n ? IN?, soit u(p)n la derivee de un a l'ordre p.

  • equivalent de fp

  • dt t2 ≤

  • epreuve specifique

  • ?n

  • conci- sion de la redaction

  • dt


Publié le : mercredi 20 juin 2012
Lecture(s) : 22
Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
SESSION 2010
 PCM2006
EPREUVE SPECIFIQUE FILIEREPC ______________________ MATHEMATIQUES 2Durée : 4 heures_______________________________________________________________________________________________
Les calculatrices sont interdites N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,lapr´ecisionet`alaconci-siondelare´daction;siuncandidatestamene´`arep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreur de´nonce´,illesignalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisons desinitiativesquila´et´eamen´e`aprendre.
PARTIE I
On noteD= IR\(rsesereitnsedsbmonIsnel)Nqsiue´letnapenosedesemblresrnomb strictementn´egatifs. Onconside`relas´eriedefonctionsdunevariabler´eelledetermege´n´eralun´der:nipa 1 nIN,xIR, x6=n, un(x) =. 2 (n+x)
I.1.etecquerieers´teitcnofedevnocsnorgesimplementsurnortMD. +X Onnoterad´esormaisU=unlammoscedeettere´s,steitnoofcneiedtrtou,pounIN , n=1 n+X X Un=ukla somme partielle d’ordrenetRn=ukle reste correspondant.On a donc k=1k=n+1 Rn=UUnpour toutnIN .
I.2. (p) ∗ ∗ I.2.1.SoitpnnodNItruoP.e´outnIN , soitun´drealdeevie´unal`rdorep. (p) Calculerun(x) pour toutxIR,x6=n. I.2.2.Soientaetbequlstdeslee´rserbmonxue1< a < b. (p) Montrerquelase´riedefonctionsdetermeg´ene´ralunconverge normalement sur [a, b]. I.2.3.rdeeqdueecequipDr´´eedcu`ieUest de classeCsur ]1,+[.
1/3
I.3. I.3.1.SoitNINdtuotruoP.e´nnox∈ D, exprimerU(xa`ial)dedeUN(x) etU(x+N). I.3.2.eduireque´dnEUest de classeCsur ]N1,N[, puis surD. I.3.3.Soitpe,´nnodNIp2. +X 1 (p2) Pour toutx∈ Desserdnoiaildede`aatlb,e´eepxrinupet deU(x). p (n+x) n=1 I.4.SoitNiuqe´nurennoD.e´INdonndentlevaU(x) lorsquextend versN. I.5. I.5.1.Montrer queUceortn´dtnsesiasests]urtemetric1,+[. Z Z ++dt dt I.5.2.Montrer que pour toutx >0 on aU(x). 2 2 x+1txt End´eduireune´quivalentdeU(x) lorsquextend vers +.     1x x1 I.6.Montrer que pour toutx∈ Don aU(x) =U+U. 4 22
PARTIE II
II.1.Pour toutpIN on notefpRrIr:pan´esuietcnodnoifal p+1 t tIR, fp(t) =. t e1 II.1.1.inerterme´Dlimfp(t) selon les valeurs dep. t0 Onnoterad´esormaisfpla fonctionfpprolong´eeapcrnoituntie´a`.reitnetuotRI II.1.2.edeltniuav´nqerunemieretD´fp(t) lorsquettend vers +. II.2.Soitϕe´leelraailbredonevunfolatincxr:d´eniepa Z Z ++∞ −xt te xt ϕ(x) =f0(t)e dt=dt. t 0 0e1 II.2.1.ndeitiodedene´odelniamrentuerqMoϕest ]1,+[. II.2.2.SoientpIN eta]1,+[d.se´nno xtat Ve´rierquepourtoutxaet toutt0 on a 0fp(t)efp(t)e. at Montrer que la fonctiont7→fp(t)et´egstinesurrabl0[e,+[. II.2.3.e`eecqudedereuiedr´ipquce´Dϕest de classeCsur ]1,+[. II.2.4.D´etermnireilmϕ(x). x+
II.3. 1 II.3.1.Montrer queϕ(x)ϕ(xpour tout+ 1) =x >1. 2 (x+ 1) II.3.2.uEded´nqerieuϕ(x) =U(x) pour toutx >1.
2/3
II.3.3.Soitpe´,odnnNIp2. +Z +p1xt X 1t e Pour toutx >rpxeremiaide1d,e`alpet dedt. p t (n+x)0e1 n=1
PARTIE III
Soitgelbaee´renuiravonctiondelllafxed2reoied´podriueiq´e,pπ, telle que : π x[π,+π[, g(x) =− |x|. 2 +X 1 Soita0(g() +an(g) cosnx+bn(g) sinnx´easedrioueFerried)alosmmdeleg. 2 n=1 III.1.ourqserpuoirPice´gla`aIRdeesedmmsodeire´sareiruoFeest´eetngelaiotnuopt. III.2. III.2.1.Calculerbn(g) pour toutnIN . III.2.2.Calculeran(g) pour toutnIN. III.3. +X 1 III.3.1.Calculer . 2 (2k1) k=1   1 III.3.2.´eduEndeliralavrdeueU, puis celle deU(0). 2 ++X X 1 1 III.4.re.Calculsaledrueemmodu´end.Ealavelir 4 4 (2k1)n k=1n=1 III.5.On noteGla primitive degtelle queG(0) = 0. III.5.1.Montrer queGdo2e´p,eriapmitseri´eepedqudiioerπ. III.5.2.Calculer les coefficients de Fourier deG. Pr´eciserpourquoiGt´egesntoualeetnedptioalosRIa`asesedmmeFedri´e.reiruo ++X X 1 1 III.5.3.Calculer les sommeset . 6 6 (2k1)n k=1n=1 Findele´nonc´e
3/3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.