Les calculatrices sont interdites

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Les calculatrices sont interdites N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, a la precision et a la conci- sion de la redaction ; si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. PARTIE I Pour tout nombre reel s, on considere l'equation differentielle lineaire homogene du second ordre (Es) suivante : (Es) (1? x 2) y??(x)? 2(s + 2) xy?(x)? 2(s + 1) y(x) = 0. On note fs la solution de (Es) sur ]?1,+1[ qui verifie les conditions initiales fs(0) = 0 et f ?s(0) = 1. I.1. Soit gs la fonction definie sur ]? 1,+1[ par gs(x) = fs(x) + fs(?x). I.1.1. Montrer que gs est solution de (Es) sur ]? 1,+1[. I.1.2. Calculer gs(0) et g?s(0). En deduire que fs est impaire. I.2. Determiner en fonction de s l'unique valeur de ? ? IR telle que la fonction x 7? (1?x2)? soit solution de (Es) sur ]? 1,+1[.

  • rayon de convergence de la serie entiere

  • limite de ?

  • ??

  • pi-periodique definie sur ir

  • developpement en serie entiere

  • serie de fourier


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 3
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Les calculatrices sont interdites
N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,`alapr´ecisionet siondelare´daction;siuncandidatestamen´e`arepe´rercequipeutluisemblerˆetre de´nonce´,illesignalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquant desinitiativesquilae´t´eamen´e`aprendre.
PARTIE I
a`laconci-une erreur les raisons
Pourtoutnombrere´elssedundcoogomne`eae´nherileitilelitnoqeaureneid´onsi,oncel´d`er ordre (Es) suivante : 200 0 (Es) (1x)y(x)2(s+ 2)xy(x)2(s+ 1)y(x) = 0. 0 uive´rielesconditionsinitialesf f( . On notefsla solution de (Es) sur ]1,+1[ qs(0) = 0 ets0) = 1 I.1.Soitgsctiond´eniesur]nofal1,+1[ pargs(x) =fs(x) +fs(x). I.1.1.Montrer quegsest solution de (Es) sur ]1,+1[. 0 I.1.2.quefest impaire. Calculergs(0) etgsreuiedd´En).(0s 2α I.2.ednnofnoitcerminereD´etsl’unique valeur deαIR telle que la fonctionx7→(1x) soit solution de (Es) sur ]1,+1[. 2s+1 I.3.Soitusein]ruslonafioct´end1,+1[ parus(x) = (1x)fs(x). 0 rerquelade´rive´euentielle : I.3.1.Montsdeusest solution sur ]1,´erondiuati´eqd[le1+ 020 (E) (1x)y(x) + 2sxy(x) = 0. s 0 I.3.2.onnssedmeb(ledmeissnoelrultie´DtereE) sur ]1,+1[. s Z x 02s .3.Calcu )etudnE.ude´)0( I.3lerus(0sire queus(x(1) =t)dtpour toutx]1,+1[. 0
I.4.Soityapri,e´deinseruunintervalleouvetrminoitcnofenuIcetnotnan´d,0elevpaopeebln +X 2n+1 s´erieenti`eresurI. Onnotey(x) =cnxdetienre`eleve´delntmepeopieers´enysurI. n=0 1/3
I.4.1.Montrer que pour queysoit solution de (Es) surI, il faut et il suffit que l’on ait pour toutnIN : 2s+ 2n+ 3 cn+1=cn. 2n+ 3 I.4.2.uerdtuoiErnedp´outnexpression deIN unecnen fonction denetc0. I.4.3.Pour quelles valeurs desle´uqtaoi(nIREs) admet-elle des solutions polynomiales impaires non identiquement nulles ? +X 3 2n+1 I.4.4.On suppose ques{6n;nIN}, quey(x) =cnxest solution de (Es) sur 2 n=0 +X 2n+1 I, et quec06i`ereenteayerrlnenvcodeondecnegreire´saleetD´mier0.=cnx. n=0
I.5.ourtoute´udDedirquestiessponce´rede´setnpeuqsIR et toutx]1,+1[ on a : " # +n n X Y 2n! 2n+1 fs(x) =x+ (2s+ 2k+ 1)x . (2n+ 1)! n=1k=1
I.6.Montrer que pour toutpIN et toutx]1,+1[ on a : Z x dt Qp(x) 3=1, 2p+ 2p+ 0(1t) (1x) 2 2 o`uQpmiapridenymoaielctionpoelstunefonegede2r´p+ 1que l’on explicitera. Z Z x x dt dt Expliciter en particulier3et5. 2 2 0(1t)0(1t) 2 2
PARTIE II
Onconside`relafonctionβdelavariabler´eellexe´dein:rap Z 1 2x β(x(1) =t)dt. 0
II.1.domaerleed´einedDmrnie´etdnoitineβ.
II.2.Montrer queβest continue sur ]1,+[. Z 1 102x2 On admettra queβest de classeCsur ]1,+eedee´ir´v[d,x7→β(x(1) =t) ln(1t)dt. 0
II.3.Montrer queβest strictement monotone sur ]1,+[pretci´ersseseonsnedavirtaoi.n
II.4. 2x+ 2 II.4.1.nienudeitarge´tarrppaonon,mestiuqlertreoanAlaidβ(x+ 1)=β(x) pour 2x+ 3 toutx >1. II.4.2.Calculerβ0(.)edetmililareuiedd´Enβ(x) lorsquextend vers1 par valeurs supe´rieures. 2/3
II.4.3.Pour toutnIN donnerune expression deβ(nleir.selfedeotcatanutEnisil)`alaid laformuledeStirling,d´eterminerun´equivalentdeβ(n) lorsquentend vers +En.d´eduirela limite deβ(n) lorsquentend vers +, puis celle deβ(x),xIR, lorsquextend vers +.    1 1II.4.4.Calculerβdu´end.Elavaleriedrueβ+npour toutnIN . 2 2
PARTIE III
Soitγtsup´eririctemenree´letsunnmorbtoi.Sreitnenon,1a`rueϕγla fonction 2πuqeoiid´pre-d´eniesurIRpar: γ xIR, ϕγ(x) =|cosx|. +X On notea0(γ) +[an(γ) cosnx+bn(γ) sinnx]al´sFodeieererdieurϕγ. n=1
III.1. III.1.1.icisePr´erquorpouϕγltassea´Ie`eRnneiodttatgueolpiedes´erdesaomme.reiruoF III.1.2.Que peut-on dire des coefficientsbn(γ),nIN , eta2p+1(γ),pIN ? Z π 2 γ III.2.Pour toutpelid`ergralnt´eencNosionIIp= cosx.cos 2px dx. 0 Z π 2 γ III.2.1.Montrer queIpIp+1cos= 2xsinx.sin(2p+ 1)x dx. 0 III.2.2.:ueqrertnom,seitraplAdeaiundtnierge´oitarapn Z π 2p+ 1 2 γ IpIp+1cos= 2x.cosxcos(2p+ 1)x dx. γ+ 1 0
2p+ 1 III.2.3.de´deriuequnEIpIp+1= [Ip+Ip+1]. γ+ 1 0 0 III.2.4.Montrer queI0=β(γ,o)`uγrerbmonnirtslee´tuescnlaleoarucelentpctemifquosit en fonction deγ. p1 Y γ γ2k ∗ 0 III.2.5.´dnEiudeuqerepourtoutpaIN onIp=Ap(γ)β(γ,)`ouAp(γ) =. γ+ 2p γ+ 2k k=0
III.3.pruic`´eeledvaesDude´deriqecedseelrua0(γ) et dea2p(γ) pour toutpIN .
Findele´nonce´
3/3
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