Les calculatrices sont interdites

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Les calculatrices sont interdites N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte, la precision et a la conci- sion de la redaction ; si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler etre une erreur d'enonce, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a ete amene a prendre. Dans tout l'enonce de ce probleme, I designe un intervalle ouvert de IR symetrique par rapport a l'origine, et ? une fonction paire, de classe C∞ sur I. Toutes les fonctions considerees dans ce probleme prennent leurs valeurs dans IR. On note (E) l'equation differentielle lineaire homogene du second ordre en la fonction inconnue y de la variable reelle x suivante : (E) y??(x) + ?(x)y(x) = 0. On note f0 l'unique solution de (E) sur I verifiant les conditions initiales f0(0) = 1 et f ?0(0) = 0, et f1 l'unique solution de (E) sur I verifiant les conditions initiales f1(0) = 0 et f ?1(0) = 1. PARTIE I I.1. Montrer que si y est une solution de (E) sur I, alors y est de classe C∞ sur I.

  • rayon de convergence de la serie

  • condition initiale

  • serie entiere

  • equation differentielle

  • determiner


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 4
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Les calculatrices sont interdites N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,lapr´ecisionet`alaconci-siondelare´daction;siuncandidatestamene´`arep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreur de´nonce´,illesignalerasursacopieetdevrapoursuivresacompositionenexpliquantlesraisons desinitiativesquila´et´eamen´e`aprendre.
Danstoutle´nonce´deceproble`me,IppratoruqirrapeysRIte´mlaeletvrtreduoevd´esuninigne a`lorigine,etϕune fonction paire, de classeCsurI. Touteslesfonctionsconsid´er´eesdansceprobl`emeprennentleursvaleursdansIR. On note (E´eindiollientreiae´nile`gomoher)uqtale´uennenedusecondordrenealofcnitnonioc yeldaravbliae´reellexsuivante : 00 (E)y(x) +ϕ(x)y(x) = 0. 0 t les conditions initialesf(0) = 1 etf0) = 0 On notef0l’uniquesolution de (E) surIanierv´0 0( , 0 E) surIsialetidnocsetinisnoiv´tlanierf(0) = 0 etf0) etf1l’uniquesolution de (1 1( =1.
PARTIE I
I.1.Montrer que siyest une solution de (E) surI, alorsyest de classeCsurI. I.2.Montrer que siyest une solution de (E) surI, alors la fonctionx7→y(x) est aussi solution de (E) surI. I.3.Montrer quef0est une fonction paire etf1une fonction impaire. Exprimerlasolutiong´ene´ralede(E) surIla`ediadef0etf1. D´eterminerparmilessolutionsde(E) surIcelles qui sont paires et celles qui sont impaires. f1 I.4.On suppose quef0ne s’annule pas surI, et l’on poseu= . f0 00 0 u f 00 I.4.1.Montrer queune s’annule pas surI.en fonction de, et exprimer 0 u f0 B 0 I.4.2.dnEude´eet´reellcenotsnaexisteunirequilB, que l’on calculera, telle queu= . 2 f 0 1 I.4.3.On noteu0qui s’annule enla primitive dexExprimer= 0.f1liaeded`af0etu0. 2 f 0
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i h π π 2 I.5.Dans cette question, on suppose queI=,que la fonction+ etx7→cosxest solution 2 2 de (E) surI. I.5.1.Dreinrmte´eϕ(x) etf0(x) pour toutxI. I.5.2.mrnie´etDreu0(x) pour toutxIO.uopntntie´:rlsedeiaurrliti 2 1 1+ tanx =. 4 2 cosxcosx et exprimeru0(x) comme fonction de tanx. I.5.3.eraldeiunE´durdevalef1(x) pour toutxIlera´een(dealostireno´gulitplicetexE) surI.
PARTIE II
Dans cette partie on suppose queIpmise´souasebe´dusplscdedionontiI=eRqtunetued le´nonce´,ϕest 2πdiquerio-p´.e Onsinte´resseauxe´ventuellessolutions2πel´equaodiquesdp-e´irnoit(E).
II.1.Soityune solution de (E) sur IR. Montrer que la fonctionx7→y(x+ 2π) est solution de (E) sur IR. II.2.tesr´eellesndEdu´eeqirilusixeedetnocsnatsw00,w01,w10,w11nearenimretqe,´edunol 0 0 fonction des valeu,fles que pour toutxIR on ait : rs prises parf0,f0 1,f1en 2π, tel f0(x+ 2π) =w00f0(x) +w10f1(x), f1(x+ 2π) =w01f0(x) +w11f1(x).   w00w01 II.3.SoitWalamrtcirae´dpeinorde2drareceer´W= . w10w11 Montrer que pour que (E) admette sur IR des solutions non identiquement nulles 2πp´eriodiques,-il faut et il suffit queWOn pourra exprimer une telle solutionadmette 1 pour valeur propre.g en fonction def0etf1´eapodrisluiutiirlpseticiede´g. II.4.Montrer que si (E) admet sur IR des solutions non identiquement nulles 2πe´p-s,iqueriod alors l’une au moins des deux fonctionsf0etf1est 2πeuO.pnuorr,a-pri´eiqodgantunetelle´te solution,conside´rerlesfonctionsx7→g(x) +g(x) etx7→g(x)g(x). II.5.On suppose dans cette question que la fonctionϕepnied´ste:ra 2 2 xIR, ϕ(x) =aksinx, o`uaetketroleuqetedselloichessieer´esllsnattnsenodtseocstuoisalonf0´equdeln:atioruRIs 002 2 (E)y(x) + (aksinx)y(x) = 0 soit 2πednceletsclestonnomerertxeletsichercherapas`ad´´preoiiduq(enoen-steanaetk). Z +π kcostcosx SoitFtrtouepouine´dnoitcnofalxIR parF(x) =e f0(t)dt. π 2kcostcosx On noteKtout(niepouroitce´dnlnofax, t)IR parK(x, t) =e.
2 II.5.1.Montrer queFest de classeCsur IR et paire.
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2 II.5.2.reuqpeuotruoctuoe(plV´erix, t)IR ona : 2 2 ∂ K∂ K 2 22 2 (x, t) + (aksinx)K(x, t) =(x, t) + (aksint)K(x, t). 2 2 ∂x ∂t End´eduirequepourtoutxIR on a : Z Z +π2 +π ∂ K 002 22 2 F(x) + (aksinx)F(x) =(x, t)f0(t)dt+ (aksint)K(x, t)f0(t)dt, 2 π∂tπ puis,aumoyendunedoubleinte´grationparparties,queFest solution de (E) sur IR. II.5.3.D´eduiredecqeiurpe´`cdeqeuexilteisecunstonetnaee´rellλtelle que pour toutxIR on ait : Z +π kcostcosx e f0(t)dt=λf0(x). π
PARTIE III i h π π Dans cette partie, on suppose queI=,que+ etϕest une fonction constante surI, 2 2 2 ´egale`aω, avecω >0.
III.1.noit(Dern´edal´eluaeqsaloaclsgne´tuoirmin´etensceerdaE) surI, ainsi que ses solutions f0etf1. III.2.Soitzune fonction de classeCsur ]1,+1[. Montrerque la fonctionyturudotn´epoie xIpary(x) =z(sinx) est solution de (E) surIsi et seulement sizest solution sur ]1,+1[ del´equationdie´rentielle: 0200 02 (E) (1X)z(X)Xz(X) +ω z(X) = 0.
0 III.3.Soitzune solution de (E) sur ]1,+1[, admettant sur ]1,[1+´dnulevepeopntmeen +X n s´erieentie`rez(X) =anX. n=0 III.3.1.leaicnretnimrete´Derenurendeontilareurecr´an+2a`anpour toutne´IeNn.dEirdu pour toutpIN lesexpressions dea2pen fonction dep,ωeta0, et dea2p+1en fonction dep,ω eta1. 0 Pour quelles valeurs deωlno(auit´qeE) admet-elle des solutions polynomiales non identique-ment nulles ? Montrer que quelles que soient les valeurs dea0,a1etωe´erinvcogeeredncasell,yareedno +X n enti`ereanX´pretsuse.a1l`ga´eouurie n=0 0 III.3.2.On notez0la solution de (Ebaelne´se´evolpp)dre`er]suieertien1,+1[ correspondant 0 au choixa0= 1,a1= 0, etz1la solution de (Ere`iruse])lepo´dveeenspableent´eri1,+1[ correspondant au choixa0= 0,a1= 1. Donner une expression, surI, des fonctionsx7→cosωxetx7→sinωxdesfaide`aloisnnotc z0,z1et sin.
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