Licence MP semestre Annee Universite de Nice Sophia Antipolis

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence MP semestre 3 - Annee 2006-2007 Universite de Nice-Sophia-Antipolis Erratum correction de la feuille 2 Dans la correction qui suit de l'exercice 8 de la feuille 2, l'ordre des matrices dans le produit donnant M a n'est pas le bon. Il faut ecrire : M a = P 0,a ·M 0 · P a,0 Noter aussi que le symbole ? de composition des applications ne s'emploie pas entre deux matrices.

• xg


• ?m0 ?


• ordre des matrices dans le produit


• r4 ?


• id ???????????????


• application ?


• symbole ? de composition des applications

Sujets

• Antipolis

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Extrait

LicenceMPsemestre3Ann´ee20062007

Universit´edeNiceSophiaAntipolis

Erratum correction de la feuille 2

Dans la correction qui suit de l’exercice 8 de la feuille 2, l’ordre des matrices dans le produit donnantM a ua´tI.flbenoaplsnst’ere:ecri

M a =P 0,a ∙M 0 ∙P a,0

Noter aussi que le symbole◦de composition des applications ne s’emploie pas entre deux matrices.

LicencedeMathe´matiques Universite´deNice-SophiaAntipolis

DeugMass2-Alg`ebre

Feuille2-Corrige´

Anne´e2003-2004

Exercice 1.SoitEunR-ev. Ondit queEest somme directe deFetGsiE=F+G(avecF+G={x∈E,∃x 1 ∈F,∃x 2 ∈ G, x=x 1 +x 2 }) etF∩G={0}itnofieinvilae´uqteen:.D´Eest somme directe deFetG`ireueinuq,eottueut´ecrire,demanspnoi e´le´mentdeEeml´´eund’meomesmmocenedtFtdeemene´´l’dnuteG. •Soitpun projecteur surE. MontronsqueKer(p)⊕Im(p) =E. E=Ker(p) +Im(pil suffit de montrer que) :E⊂Ker(p) +Im(p). Soitx∈E, on poseu=x−p(x) etv=p(x), on au∈Ker(p), v∈Im(p) etx=u+v. En effet,p(u) =p(x−p(x)) =p(x)−p(p(x)) =p(x)−p(x) = 0 doncu∈Ker(p). Etv=p(x)∈Im(p). Ker(p)∩Im(p) ={0}: soitx∈Ker(p)∩Im(p), il existeydansEtel quex=p(y) (carx∈Im(p)), et on a alors x=p(y) =p(p(y)) =p(x) = 0 (en appliquant d’abordp◦p=ppuisx∈Ker(p)), iex= 0. SoientFetGdeux sev deEtels queF⊕G=E. PourtoutxdeEire´ecrpeutonx=x F +x G e`eraminedqinua,eucevx F ∈F etx G ∈GOn.efid´tenisniuetpparp(x) =x G .Puisonv´erifie: pest un projecteur : pour toutx∈E,p(p(x)) =p(p(x F +x G )) =p(x G ) =p(x G + 0) =x G euritcreicilis´auti(on’le´e´edciti’lnu dex G sous la formex G + 0)F=Ker(psi) :x∈Falorsx F =xetx G = 0 etp(x) =x G = 0 doncx∈Ker(p).meuq,tnece´Rorpi six∈Ker(p) alorsx=x F +x G avecx G =p(x) = 0 doncx=x F ∈F.G=Im(p) :six∈Galorsx F = 0 etx G =xdonc x=x G =p(x G ) iex∈Im(p´R.)piceuqornemesit,x∈Im(p), alorsx=p(u) avecu∈E, iex=p(u) =u G ∈G. Exercice 2.•SoitHun hyperplan de l’evE.tsixeesh`leeirhPaotypFppusme´lnueentairedHdansEtel que dim(FSoit) = 1. {u~}une base deFque soit. Quelx∈E, il existe un unique couple (h, f)∈H×Ftel quex=h+f. Orfnttanndoda´ee´nsF, il existeununiquer´eelλ f tel quef=λ f .~une`ttauot.Parcons´equx∈Enoepr´eeeeunlibno´dnerete´nimasutcisodeer¸cfaλ x =λ f , cequid´efinituneapplicationφ:E→R,φ(x) =λ x D.pnoc¸afesne´,eulcsnoedφicationqstl’appleuetcedra`iuevnuEassocie la coordonn´eeλ x dans la base{~u}´edeojetduprxsurFontieciradalt`enmele`llarapH. Montrons queφesniltiae´o.eruepntproc´ederdedeuxamine`er:s -SoientDirectement :x, y∈E,α∈RO.osepmoce´dnxetydans la somme directeE=H⊕F. Onax=h 1 +λ x u~.et x=h 2 +λ y ~u.ar.Pdiadera`embmitnoembmient:re,onobt x+α.y= (h 1 +h 2 ) + (λ x +α.λ y )u.~(∗) Commeh 1 +h 2 ∈Het (λ x +α.λ y ).~u∈F, (∗tmploasd´)eecsondeitiox+α.ydans la somme directeE=H⊕Fqtiude´denOn.eu φ(x+α.y) =λ x +α.λ y =φ(x) +α.φ(y)C.e’ts`--arediequφeria.tles´ein -nEce´dopmoastnφetonnoiS.seriae´nmeli-mˆellesonseacitppileanπ F :E→Fla projection surFedirecte`alasommssco´ieea E=H⊕Fetc:F→Ruinqun`aicplioatpa’lrdeuctveeFrcisoasdroocaseusee´nno~u, on a :φ=c◦π F . Commecetπ F sont lin´eaires,ilenestdemeˆmedeφ. φnsiuneformelin´eiaerteek(reiatsφ) ={x∈E;x=h+ 0 F , h∈H}il´nroemlefaaydueeairap,nolentueeqs´onrcφestH.φest de plus non nulle. •uqe’ixtspuopossneRmeue,sntci´eoqprφ:E→Reluqkereunllteleeeaapiprleinocnationliunn´(φ) =Het montrons queH admetunsupple´mentairededimension1dansE. Soit~u∈Etel queφ(u~)6= 0 R (un telu~existe puisqueφpoth`esenonnulle.)septrayh Posonsv~= (1/φ(u)).~u. Ona alorsφ(~v) = 1. NotonsFle sev deEenrar´epgendv~et montrons queE=H⊕F. Soitx∈E. Onax−φ(x)v.~∈Hcarφ(x−φ(x)v~.) =φ(x)−φ(x).φ(~v)=0.O´cceirerpnuedtnox= (x−φ(x).~v) +φ(x)v~., avec x−φ(x).~v)∈Hetφ(x).~v∈F. De plus siy∈H∩F, on a :y=.λv~etφ(y) = 0, doncλ=φ(y) = 0 iey= 0. Application :Si lesa 1 ,∙ ∙ ∙, a n ne sont pas tous nuls, l’applicationφ(x 1 ,∙ ∙ ∙, x n ) =a 1 .x 1 +∙ ∙ ∙+a n .x n iaerin´eionltiucanteapepsl n non nulle, son noyau est donc un hyperplan deR, ie qu’il est de dimensionn−1. R 0 Exercice 3.SoitE=C([0,1],R) leR-espace vectoriel des applications continues de [0,1] dansR. SoitF={f∈E;f= 0}.F [0,1] R est un sev deE:Felrm´einreainnnoltseyoneeduaofalnhyperplan,carc’seutleulL:f7→fruseinfie´dEeffet,. EnLest [0,1] biend´efiniedeEdansRsfonctioegraledeeudsnoensnoctnnisd´einelprroeti´’led´tnirae´e´tielpsteetcaxetneuqtnemL´eintlesn.Oreai utilisel’exercicepr´ec´edentpourconclurequeFest un hyperplan (et en particulier c’est un sev) deE. Fegne´rdnapee´nur´eelntmeaddemetdocnopruuspp´lmenetairetoutedroiteE\Fnoitcnopa,pmelerexioetalrdndr´engerlafeepa constante valant 1 sur [0,1]. Exercice 4.•fest surjective ssi pour touty∈Fil existex∈Etel quef(x) =ynEt.rivan´ecx=λ 1 .x 1 +∙ ∙ ∙+λ n .x n dans la base n X n B,fest surjective ssi pour touty∈Fil existe (λ 1 ,∙ ∙ ∙, λ n )∈Rtel queλ j .f(x j ) =yssif(B) est surjective. j=1 n X •fest injective ssi (f(x) = 0 F =⇒x= 0 E ) ssif(λ 1 .x 1 +∙ ∙ ∙+λ n .x n ) =λ j .f(x j ) = 0 F =⇒x=λ 1 .x 1 +∙ ∙ ∙+λ n .x n = 0 E . Or j=1 n X λ 1 .x 1 +∙ ∙ ∙+λ n .x n = 0 E ssiλ 1 =∙ ∙ ∙=λ n = 0, puisqueBest une base deE. Onen conclut que :λ j .f(x j ) = 0 F =⇒λ 1 =∙ ∙ ∙= j=1 λ n = 0 ie que la famillef(B) est libre. •´rcee´edtnomtnerqueojnocaLednoitcn´exreusdspatltsuf(B) est une base deFssifest bijective.