Logique et quantificateurs

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ecole d'ingenieur, Supérieur, école d'ingénieur
  • cours - matière potentielle : des prochains jours
Logique et quantificateurs Banco, enseignants en prepa et en ecole d'ingenieur. Niveau : Approfondir la Terminale S Difficulte : Facile au debut, plus difficile sur la fin Duree : Une heure et demi, voire plus a cause de la fin Rubrique(s) : Logique (Liens, connecteurs, manipulation des quantificateurs...) Exercice 1 (Connecteurs et liens logiques) : On rappelle que les propositions expriment un fait, fixe ou variable, realise ou non.
  • quantifi- cateurs de nature differente
  • joueur franc¸ais
  • meme chose
  • tresor
  • troisieme portes
  • voleur du tresor de la reine
  • diagonales
  • premiere
  • propositions
  • proposition
Publié le : lundi 26 mars 2012
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Source : alain.camanes.free.fr
Nombre de pages : 6
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Logique et quantificateurs
Niveau :Approfondir la Terminale S
Diculte´:eluslrauldsiicnuaelicaFp,tube´d Dur´ee:Uneheureeriosulpedtev,imaelnca`aedus
Banco, enseignants en pre´paetene´coleding´enieur.
Rubrique(s) : Logique(Liens, connecteurs, manipulation des quantificateurs...)
Exercice 1 (Connecteurs et liens logiques): Onrappelle que les propositions exprimentunfait,xeouvariable,r´ealise´ounon.Parexemple2+2=4;2x+ 8y= 20”; ”1+ 1= 0”,aTlreerrievr´efedsiomeLtE...0degr´estplusde2,ifliaseptalet comporte 30 ou 31 jours” est une proposition fausse. Protonsenpourrappeler´egalementquenmath´ematiquesleouestaprioriinclusif, cesta`direquelesdeuxsontpossibles
«Rejoinez nous si vous etes une fille ou fumeur»,
«e´rcesenusnohcressruntlaarepirtaneoeiuatiluschNo», nexclutpasdeprendreunellequifumeouunesecre´taireparlantrusseetitalien.Pour prendreunexempleplusmathe´matique:«pnraUernunatcselgaliil´alogelmmrastee unangledroitoudesdiagonalesdemeˆmelongueur.» Nous utiliserons donc ici desou inclusif, contrairement au langage courant qui utilise plutot leou exclusif.
1)ieonntsessoqnuta´perqoupoisviatlnovtaerDexiudnleelssmpteous,nmsemeˆesuafes enmeˆmetemps.Celasigniequechaquepropositionimpliquelautre. Ditesenjustiantquellespropositionssont´equivalentesparmilesexemplessuivants. Quandilnypase´quivalence,celasigniequunedespropositionsnimpliquepaslautre, pre´cisezlaquelle. a)«J’ai eu le permis de conduire»et«J’ai eu le code et la conduite». b)«J’ai eu le bac S»et«J’ai eu 20 en maths, en physique-chimie et en SVT». c)«reoignouTossnuoehcuodiabenudt´equip´eesduneasllseedabnissno»et «necuAupossnsnenido`edesslaedonbeiaeldsire.ignonibauche» d)«x+ 1 = 2»et«2x < x+ 2». e)«ABCD est un rectangle»et«lenasBAuadrilatCDestunqeldsaioge`erodtn ontmeˆmelongueur». f )«zest un nombre complexe imaginaire pure»et«zonnutsepmocerbmga´exelel a`loppose´desonconjugu´e». 2 g)SoitxR.«x2»et«x4». h)«Pour tout >0,x < »et«x <0».
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i)SoitxR.«Pour toutyN,xy=y»et«x= 1». j)«Pour toutnN,un=u0»et«Pour toutnN,un=un+1». + 2 k)aR, bR:«b < a»et«a0et b < a».
2)stiequpaorrileitnoopistes,ivant`adcesDooidngetaal´nnnzenssuitiooposespr vraie(respectivementfausse)quandlapropositiondede´partestvraie(respectivement fausse). a).teisnoloivtnellecxeninsuaumodentss`eseopsertrohclsseuoT b)Pour toutxA, il existeyBtel quex+y <0. c).oiemeds`oitrdensdsesirpstnaruocequntosipbadumetiipenece`omuausniIlya d)Il existexAtel quef(x)<3. e)eroujeprendsduca´f.eDe`uesqsujefaisgutij,e´iaveremssope f )xA(x0 ouxQ). g)Je me bats si et seulement si on m’attaque et que mon adversaire est moins fort. h)fF(fcroissant etf(0)0). i)me´pretasr.Ltahraailnasmjˆoeumeulreesrpersotce j)untststaoietuoperotrustedi`aainn,crenN,un=un+1. k)etarmgneeruaarutmp´eLate.sruojsniahcoprestlenuminntco l)f:RRe,cest`adirequesectorsiastnruopsuota < b,f(a)f(b). m)unlexiquistec,e´neeidertsa`esortbMRtel que pour tousnN,|un| ≤M. n)«Pour toutab,f(a)6=f(b)»donc«fn’est pas constante».
3)erhi´ermalaLejotrfiolacruanslop
«lyIiuqe´enusniomuaaieste1quLigupedeinuqe´ueitutocsnnemejedtueuorfsr¸cans.ai»
C´etaituneerreuretlejournalafaitd´ementi.Celaveutildireque «Ilsdpayaniuep´qeug1eediLestquinonstpascseuruedojmentiqueeeunitu´ fran¸cais», «rseunedtjeuoueinuqmenstitu´equiestco1eugiLedepiuqe´sdpayanIl fran¸cais», «piuqLedeuoTe´etregnaunjooins´etrueurp1sogieuaemu`sde», «e´unnsoidepeuiequojesruemuaaylIsconstitu´eequediLug1euqnietsap francais», «yaIlmoausuinn¸carfraoueucunjsiueigeLedipqu´eneuaede`ssopeniuq1», Ilpeutyavoirplusieursr´eponses.
4)Justifier pourquoi les implications suivantes sont fausses a)Tu ne sais pas faire cela donc tu es nul. b)f: [a, b]R.«fcontinue etf(a) =f(b) = 0»donc«pour toutx[a, b], f(x) = 0». c)«f: [0,1]R,fcroissante,f(0) = 0 etf(1) = 1»donc«il existex[0,1] tel quef(x) = 1/2».
Indications et Commentaires: SoitP(anoitisopadnepe´ddentepro),una. Onrappellequelan´egationde«pour toutaA,P(a) est vraie»est«il existeaAtel que P(a) est fausse». Etlane´gationde«il existeaAtel queP(a) est vraie»est«pour toutaA,P(a) est fausse».
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Ennlane´gationde«P implique Q»est«P et non Q». Notons aussi que la place des termes a son importance : on ne peut pas permuter des quantifi-cateursdenaturedie´rente.Parexemple: Pour toutbbracelet,il existessomme d’argent telle quespermet d’acheterb. nesigniepaslameˆmechoseque Il existessomme d’argent telle que pour toutbbracelet, spermet d’acheterb. Lapremi`erephraseditquelasommedargent`ad´epenserd´ependdubracelet.Ladeuxie`me phrase dit qu’il existe une somme d’argent s permettant d’acheter tout bracelet (ce qui est accessible pour peu de personnes!).
Corrections. 1.a)ala`siofaderiovesecirsale,in´stelepmrsiuoarovriPu:tctsaetE.nduilacodeetleco une fois que l’on a le code et la conduite, on a le permis. Les deux propositions s’impliquent lunelautre:ellessont´equivalentes.«J’ai eu le permis de conduire»et«J’ai eu le code et la conduite». 1.b)himieeteysique-call`ireSnTVadsnvoSiavus,shthpne02zeamnetrvoezursaou,veSe BAC:unpetitcalculenutilisantlescoecients(forts)decesmatie`resvavousenconvaincre facilement. Par contre si vous avez le BAC (ce que nous vous souhaitons), ca n’implique pas que vousayez20danscesmati`eres,nimˆemelamoyennedansuneseule.Ilnyaquuneimplication devraie,etdonclespropositionsnesontpase´quivalentes. 1.c)oitisopoe´tnossnenalivqunsdas:teuecxeldstnorsao,adanuverteslstouseedserpxuL salles de bain de quoi se laver, une douche, une baignoire ou les deux. Ici, on a l’exemple d’une phrase du type«Pour tous ..., alorsboum»alevae`ntqeiuse´tq,iu«Pour aucun ..., il n’y a pas deboum». 1.d)x+1=vilane`tea2tse´uqx= 1. Tandis que 2x < xequivale+2est´a`tnx <2. Donc ximplique 2+ 1 = 2x < x2,+.ceenlaviuqe´sapaynlie.Isvrastpaeneoruqcepial´ramsi 1.e)taecnrUmentoque,gnolrueue´R.rpiconagesaltmonmeˆelegoarmmeestseidngleestunparall´ unparall`elogrammedontlesdiagonalesontmeˆmelongueurestunrectangle.Donclesdeux propositionssonte´quivalentes. 1.f )de´ugujnoceleuqsRappelonez=a+ib, aveca, bRlaa`´tge,sez¯ =aib. Sizest un nombre complexe imagniaire pur, alorsz=a.iet doncz¯ =ai=z, avecaR. Doncz.el`ga´estosppoalcnosede´e´ugujno R´eciproquement,sizorse,alugu´oscej´ntsenoa´`sdlegpeoloapz¯ =zerida`tsec,aib= (a+ib) =aib.Dou`2a= 0, qui impliquea= 0 etz=ibe,c`tseridazimaginaire pur. Lesdeuximplicationssontdoncvraiesetlesdeuxpropositionssonte´quivalentes. 2 2 1.g)x2 implique quex4. Maisx4 impliquex2 oux≤ −2. Donc l’implication re´ciproquenestpasvraie,etilnyapase´quivalence. 1.h)Clairement, six <0 et >0, alorsx < lncplimDo.e´icrpqocitaoirnie:ueestvra«x <0» implique«Pour tout >0,x < ». Maisxrie0v´e=«Pour tout >0,x < »erirvse´sna «x <0». Profitons en pour signaler une erreur classique. Si pour tout >0,x < , alors pour toutnN, 1/n >0 et doncx <1/n. En faisant tendrenvers l’infini,ilitalegn´tcirtse´tneivedee`allarga limitedoncx0 (et pasx <0). 1.i)xuedporpseLntsoqu´eitosnsio:srpnerdvilaneetey,noitacilpmierelapremi`=1pour multiplier paryeu.rpqoe´iclrraoup 1.j)Si pour toutnN,un=u0, alorsun+1=u0, et doncun=un+1. R´eciproquement,supposonsquepourtoutnN,un=un+1tnor.oMrre´snapceenrrcurouepqu toutnN,un=u0. Lidentite´esttrivialepourn= 0 (initialisation). Supposonsun=u0. Alorsun+1=un=u0 (he´re´dite´). Ceciprouvelare´ciproqueetlesdeuxpropositionssont´equivalentes.
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