Lyce La Martiniere Monplaisir

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Lyce La Martiniere Monplaisir Jean-Marie Monier Agregation interne de Mathematiques 2004-2005 Epreuve du samedi 27 novembre 2004 Si un(e) candidat(e) repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il (elle) la signale sur sa copie et devra poursuivre sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il (elle) est amene(e) a prendre. Notations • CM est le C-espace vectoriel des applications R ?? C continues par morceaux sur R • C est le C-espace vectoriel des applications R ?? C continues sur R • B est le C-espace vectoriel des applications R ?? C bornees et continues par morceaux sur R • L1 est le C-espace vectoriel des applications R ?? C continues par morceaux et integrables sur R • L2 est le C-espace vectoriel des applications R ?? C continues par morceaux et de carre integrable sur R. I. Definition de la transformation de Fourier 1. Montrer que, pour toute f ? L1 et tout x ? R, l'application t 7?? f(t)e?ixt est dans L1. Pour f ? L1, on note Ff : R ?? C, appelee transformee de Fourier de f , l'application definie par : ?x ? R, Ff(x) = 1 √ 2pi ∫ +∞ ?∞ f(t)e?ixt dt 2.

  • endomorphisme de e˜

  • ?? ff

  • e˜ ??

  • proprietes algebriques de la transformation de fourier

  • verifier ?a

  • identite de e˜

  • groupe usuel

  • theoreme de convergence dominee


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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LyceLaMartini`ereMonplaisir Jean-Marie Monier Agr´egationinternedeMath´ematiques2004-2005 ´ Epreuve du samedi 27 novembre 2004
Siun(e)candidat(e)repe`recequiluisembleˆetreuneerreurde´nonc´e,il(elle)lasignale sur sa copie et devra poursuivre sa composition en indiquant clairement les raisons des initiativesquil(elle)estamen´e(e)a`prendre.
Notations • CMest leC-espace vectoriel des applicationsR−→Ccontinues par morceaux surR • Cest leC-espace vectoriel des applicationsR−→Ccontinues surR • Best leC-espace vectoriel des applicationsR−→Cruceesapnatrimnoetcou´xeesobnr surR 1 • Lest leC-espace vectoriel des applicationsR−→Cnitnocuesparmorceauxetni´tgearlbse surR 2 • Lest leC-espace vectoriel des applicationsR−→Coctne´rracedteeauxmorcsparinue inte´grablesurR.
I.De´finitiondelatransformationdeFourier
1ixt1 1.Montrer que, pour toutef∈ Let toutxR,l’applicationt7f(t)e estdansL. 1 Pourf∈ L,on noteFf:R−→C,ppa´eelee´mrFedeiruoedreratfonsf, l’application de´niepar: Z +1 ixt xR,Ff(x) =f(t)e dt 2π −∞ 2.mo´eD:rtner 1 a.pour toutef∈ L,Ffest continue surR (ceanrcaecdto´meine´ceoenevtelragoe`rmedeiersalsritten´ohaurrliti:oonounpidnIitac s´equentielledelacontinuite´) 1 b.pour toutef∈ L,Ffrn´estboeseruRet : Z +1 xR,|(Ff)(x)|6√ |f(t)|dt. 2π −∞ 1 c.l’applicationF:L −→C.eestlin´eair f7Ff
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II. Deux exemples
1.SoitT]0 ; +[.On note ΠT:R−→Cpalcilpoitapel´n,apeeporteinpe´de,ra: T 1 si|t|< 2 tR,ΠT(t) = T 0 si|t|>. 2 1 V´erierΠT∈ Let calculerFΠT(x),pour toutxR. 2.Soita]0 ; +[.On notefa:R−→C. a|t| t7e 1 V´erierfa∈ Let calculerFfa(x),pour toutxR.
III.Propri´et´esalge´briquesdelatransformationdeFourier
On note, pour toute applicationf:R−→C: f:R−→C, t7f(t) =f(t),e´eppelanoujceuge´def ∨ ∨ f:R−→C, t7f(t) =f(t),peapeel´´seeys´mteirdef. R R 1.On notee, c, s, ules applications deCedemmˆi-lunsdaottuopruei,se´nefCpar : ∨ ∨ e(f) =f, c(f) =f ,s(f) =f ,u(f) =f=f . Montrer que la loiest interne dansG={e, c, s, u}et dresser la table deG.Montrer queG.sera´ecionprueleuqlepsurguoa`nuliuitseomosehpresngtuuprotqee 1 1 2.Montrer que, pour toutef∈ L, f, f, fsont dansLeurstranxprimerledseetrofsee´m Fourierenfonctiondelatransforme´edeFourierdef. 1 3.Montrer que, pour toutef∈ L: sifetleirpaale,sore´lesertFfretseee´reelliapt sifestr´eelletemiapri,elarosFfest imaginaire pure et impaire. 4.On note, pour toutaRet toutef:R−→C:τaf:R−→C, t7τa(f)(t) =f(ta), 1 appele´eal´teetarsndefpara.Montrer que, pour toutaRet toutef∈ L, τafest 1 dansLet calculerF(τaf)(x) en fonction dea, x,Ff(x).
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IV. Transformation de Fourier et convolution
1 1.Soientf∈ L, g∈ B. 1 Montrer que, pour toutxR,l’applicationR−→Cest dansL. t7f(t)g(xt) On note : Z +1 1 f∈ L,g∈ B,xR,(fg)(x) =f(t)g(xt) dt 2π −∞ etfgtselal´eeappenvolcoed´ueefet deg. 1 2.Soientf, g∈ Ltelles quegrertnoM.:soin´eetbor 1 fg∈ LetF(fg) = (Ff)(Fg). ` Aceteet,onadmettraquonpeutselimiteraucasou`gest, de plus, continue, et on admettraquonpeutpermuterlesdeuxsymbolesdinte´grationquiapparaissentdansce contexte.
V.Re´ciprocite´deFourier e On note, pour toutf∈ CM, f:R−→Ccalippapp,aontielee´lre´eedeir´sugalf,d´eeni par : 1 e +tR, f(t) =(f(t) +f(t)). 2 f1 1e On noteLl’ensemble desf∈ Ltelles quef=f. 1.Montrer : e e 1 1 f∈ L, f∈ LetFf=Ff. 1 1 2.a.Soitf∈ Ltelle queFf∈ L.Montrer : ee FFf=f=f ` A cet effet, on admettra : Z A 1 e ixu (Ff)(u)e du−→f(x). A−→+2π A 4 11 4 b.Que vautFf,pour toutef∈ Ltelle queFf∈ LinO?otanic´eFf=FFFFf. ´ f1 R 3.Etablir que l’applicationF:LCest injective. f7Ff
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1 21 3 4.Soit (f, g)(L) telque (f g,Ff,Fg)(L).Montrer : F(f g) = (Ff)(Fg). 1 ` A cet effet, on admettra :F(f g)∈ L. Rn noteγ 5.Pour (a, b)+×R,oa,b:R−→Clcitapalp´eniondr:iepa s 2a xR, γa,b(x) =. 2 2 π(xb) +a 1 Ve´rierγa,b∈ Let montrer : 0 0R=γ . (a, b),(a , b)+×R, γa,bγaa ,b+a ,b+b 0 00 0
´ VI.El´ementspropresdeF
On noteEleC-espace vectoriel des applicationsf:R−→Ctelles quefetFfsoient 1e f1 toutes deux dansL.On noteE=LE ∩. e 1.a.Montrer queEetEsont stables parF. e ee ee On noteI:E −→Eldeeit´tdineE,te,eme`lborupndaal`quus,jF:EE −→ f7f f7Ff e22 3 l’endomorphisme deEinduit parF,etH={I,F,F,F},ou`F=FF. ` b.eire´VeuqrHest un groupe pour la loi. Aquel groupe usuel est-il isomorphe ? Est-ce queHest isomorphe au groupeGapparu en III 1.? e e 2.Soitf∈ E− {0}.On noteUfle sous-espace vectoriel deEarlar´epgendenlleafim 2 3 (f,Ff,Ff,Ff). a.Montrer queUfest stable parF.On noteϕfl’endomorphisme deUfinduit parF. 4 b.Montre e r queϕfstliden´titedeUf. c.e´dnEuiedqureϕfest diagonalisable.Que peut-on dire du spectre deϕf? Que peut-on dire du spectre deF? −|t1| 3.artnp,raxemelp,eEnconsid´ef:t7e,reteenimselrtcepreded´Fet donner, au moins une valeur propre deFuetcevnuaerporprensoiumtacoss.e´i
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