Lycee Brizeux Classes de PCSI

Description

Niveau: Supérieur
Lycee Brizeux Classes de PCSI Concours blanc 2011 Corrige de l'epreuve de mathematiques PROBLEME I. Autour de l'exponentielle de matrices Question preliminaire et = n∑ k=0 tk k! + o0(t n) PARTIE A Dans cette partie, A designe une matrice de Mp(R), nilpotente d'indice trois et I la matrice identite d'ordre p. Pour tout reel t, on note E(t) la matrice E(t) = I + tA+ t2 2 A2 . 1. ?(s, t) ? R2, E(s)E(t) = (I + tA+ t2 2 A2)(I + sA+ s2 2 A) = I + (s+ t)A+ ( s2 2 + st+ t2 2 )A2 + ( st2 2 + ts2 2 )A3 + s2t2 4 A4 A est nilpotente d'indice 3, donc A3 = 0, d'ou A4 = A.A3 = 0. Donc E(s)E(t) = A+ (s+ t)A+ (s+ t)2 2 A2 = E(s+ t). 2. Par recurrence on montre alors que ((E(t)n)) = E(nt) pour n ? N.

• formule du rang pour l'endomorphisme ?


• matrice de passage de b0


• base de ker?


• autour de l'exponentielle de matrices


• formule de changement de base pour les endomorphismes


• endomorphisme de r2

Informations

• Publié par: chaeh
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Extrait

Concours blanc 2011 del’e´preuvedemath´ematiques

Questionpr´eliminaire

PARTIE A

Corrige´

n k X t t n e= +o 0 (t) k! k=0

Classes de PCSI

Dans cette partie,Adeertcienamnguedsi´eM p (R), nilpotente d’indice trois etI’oedrerdlt´tienidceriatamp. Pour toutr´eelt, on noteE(t)la matrice 2 t 2 E(t) =I+tA+A . 2 1. 2 2 t s 2 2 ∀(s, t)∈R, E(s)E(t) = (I+tA+A)(I+sA+A) 2 2 2 2 2 2 2 2 s t st ts s t 2 3 4 =I+ (s+t)A+ ( +st+ )A+ ( + )A+A 2 2 2 2 4

3 4 3 Aest nilpotente d’indice 3, doncA= 0’o`u,dA=A.A= 0. 2 (s+t) 2 DoncE(s)E(t) =A+ (s+t)A+A=E(s+t). 2 n 2.Parre´currenceonmontrealorsque((E(t=) )) E(nt)pourn∈N. 3.E(0) =I. DoncE(t)E(−t) =E(0) =I. La matriceE(t)est donc inversible d’inverseE(−t).Dpcnotruortuolee´t,E(t)∈GL p (R). 4.Onconsid`erel’applicationE:t7→E(t), deRversGL p (R). (a) L’applicationEest un morphisme du groupe(R,+)vers le groupe(GL p (R), .). 2 (b) Soientα, β, γe´rsedqsletsleueαI+βA+γA= 0. 2 2 Multiplionscettee´galite´parA. On obtientαA+β.0 +γ.0 = 0et doncα= 0. 2 2 Enmultipliantalorsl’e´galite´parAo,itdu´endβ= 0et doncγA= 0avecA6= 0. Doncα=β=γ= 0. 2 La famille(I, A, A)est libre. (c) Pour montrer queEest injective, on va chercher son noyau Ker(E). 2 2 t t 2 2 t∈Ker(E)⇐⇒E(t) =I⇐⇒I+tA+A=I⇐⇒tA+A= 0. 2 2 2 Or la famille(I, A, A)essoraludtidne´ero;ltbit= 0i.e.Ker(E) ={0}. L’applicationEest donc injective deRversGL p (R).   0 1 1   5. Dans cette question,p= 3etA = 0 0 1 . 0 0 0 3 (a) On noteϕl’endomorphisme deRqinonacasntmeue´ecisoem`aalaictrA.   y+z   i.ϕ(~u) = z . 0

PROBLEME I. Autour de l’exponentielle de matrices

Lyc´eeBrizeux

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