Lycée Brizeux Lundi Avril PCSI

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Lundi 26 Avril 2010 PCSI Concours blanc 2010 Epreuve de physique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Les quatre problèmes sont indépendants – Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne sera pas prise en compte. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Etude de la suspension d'un véhicule, ENSTIM 2006 Le véhicule étudié est modelisé par un parallélépipède, de centre de gravité G et de masse M , reposant sur une roue par l'intermédiaire de la suspension dont l'axe OG reste toujours vertical. L'ensemble est animé d'une vitesse horizontale ??v = v??ux. La suspension, quant à elle, est modelisée par un ressort de raideur constante k = 1, 0.105 N.m?1 (de longueur à vide 0) et un amortisseur fluide de constante d'amortissement constante ? = 4, 0.103 U.S.I.. La masse de l'ensemble est M = 1000 kg. La position verticale du véhicule est repérée par zG dans le référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note zO la cote du centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route. L'amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par l'amor- tisseur sur M , qui s'écrit : ?? F = ?? ( dzG dt ? dzO dt )

• lentille


• équation différentielle en z régissant le mouvement


• températures tb


• pression constante au contact de la source froide


• cycle de carnot réversible entre les températures t0


• mouvement d'oscillations verticales


• véhicule


• solution dans z

Sujets

• Yves Montand
• Lentille
• Véhicule

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 avril 2010
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• Langue: Français

Extrait

LycÉe Brizeux PCSI

Concours blanc 2010

Lundi 26 Avril 2010

Epreuve de physique –durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la finLa du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ –Les quatre problÈmes sont indÉpendants –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ ne sera pas prise en compte. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraneront la perte de tous les points de la question.

ProblÈme IEtude de la suspension d’un vÉhicule, ENSTIM 2006 Le vhicule tudi est modelis par un paralllpipde, de centre de gravitGet de masseM, reposant sur une roue par l’intermdiaire de la suspension dont l’axeOGreste toujours vertical. −→−→ L’ensemble est anim d’une vitesse horizontalev=vu x . 5−1 La suspension, quant À elle, est modelise par un ressort de raideur constantek= 1,0.10N.m(de 3 longueur À vide` 0 ) et un amortisseur fluide de constante d’amortissement constanteλ= 4,0.10U.S.I.. La masse de l’ensemble estM= 1000kg. La position verticale du vhicule est repre parz G dans le rfrentiel galilen propos ayant son origine sur la ligne moyenne des dformations du sol. On notez O la cote du centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route.

L’amortissement entreMet la roue introduit une force de frottement fluide, exerce par l’amor-   −→ dz G dz O −→ tisseur surM, qui s’crit :F=−λ−u z . dt dt A Laroute est parfaitement horizontale (fig 1) A.1.La route ne prsente aucune ondulation et le vhicule n’a aucun mouvement vertical. Dterminer la positionz Geq deGlorsque le vhicule est au repos. A.2.Suite À une impulsion soudaine, le vhicule acquiert un mouvement d’oscillations verticales. On cherche dans cette question À tablir l’quation diffrentielle caractristique du mouvement par une mthode nergtique. On tudie le mouvement par rapport À la position d’quilibre tablie prcdemment. On posera z=z G −z Geq A.2.1.Etablir l’expression de l’nergie potentielle de pesanteur. 1

A.2.2.Etablir l’expression de l’nergie potentielle lastique. Les nergies potentielles seront exprimes en fonction dezet À une constante additive prs. A.2.3.Appliquer le thorme de l’nergie cintique À la masse et en dduire l’quation diffrentielle enzcaractristique du mouvement. A.2.4.Dessiner, qualitativement, les allures envisageables de la fonctionz(t)(la rsolution de l’qua- tion diffrentielle n’est pas demande).

B Laroute est ondulÉe (fig 2) Le vhicule se dplace À vitesse horizontale constantevsur un sol ondul. L’ondulation est assi- mile À une sinusode de priode spatialeLet d’amplitudeA.z O peut alors s’crirez O =R+Acosωt. On tudie maintenant le mouvement par rapport À la position d’quilibre tablie prcdemment. On poseraz=z G −z Geq . Pour les applications numriques on prendraL= 1metA= 10cm. B.1.Quelle est l’unit deλ? B.2.Exprimerωen fonction devetL. Vrifier l’homognit du rsultat. B.3.En appliquant le principe fondamental de la dynamique À la masseMdans le rfrentiel terrestre suppos galilen, tablir l’quation diffrentielle enzrgissant le mouvement. B.4.Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la solutionz(t)de cette quation diffren- tielle sous une forme sinusoidalez(t) =z max .cos(ωt+φ). B.5. RÉsolutionpar la mÉthode des complexes

jωt jωt On posez=Ze, rponse complexe du vhicule À l’excitation sinusodale etz O −R=Ae. B.5.1.Montrer que : k jωλ Z + M M = jωλ k A 2 −ω+ + M M 2 avecjle complexe tel quej=−1puis que l’on peut mettre sous la forme : jω 1 + H 1 Z ω 1 = 2 = ; ω jω A H 1− 2 + 2 ω Qω 0 0 Exprimer alorsω 0 ,ω 1 etQen fonction dek, λetM. B.5.2.Calculer numriquementω 0 ,ω 1 etQ. Z B.5.3.Donner l’expression du module   en fonction deω 0 ,ω 1 etQ. A B.6. EtudefrÉquentielle

On souhaite maintenant tudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture. H Z 1 Pour cela on tudie donc   sous la forme   en fonction deω. A H 2 Z Z B.6.1.. Tracer l’allure de.Tracer le diagramme de Bode asymptotique relatif À A A    Remarque : on pourra tracer au pralable les diagrammes relatifs ÀH 1 puis H 2 . B.6.2.ω r , valeur deωpour laquelle l’amplitude est maximale, est de l’ordre de grandeur deω 0 . Quelle est la valeur devcorrespondante ? Calculer l’amplitude des oscillations du vehicule pourω=ω 0 . B.7. Application

−1 Dans le film « le salaire de la peur », Yves Montand conduit un camion (ω 0 ≈25s) charg de nitroglycrine. Il passe sur une tÔle ondule de priode spatiale1met pour laquelleA= 10cm. Afin −1 d’viter l’explosion du chargement il doit traverser la tÔle À une vitesse infrieure À5km.hou −1 suprieure À50km.h. Justifier qualitativement ceci À l’aide des rsultats prcdents. 2

ProblÈme IIPompe À chaleur, ENSTIM 2005 Une pompe À chaleur effectue le cycle de Joule invers suivant : – L’airpris dans l’tatAde tempratureT 0 et de pressionP 0 est comprim suivant une adiaba- tique quasi statique (ou rversible) jusqu’au pointBoÙ il atteint la pressionP 1 . – Legaz se refroidit À pression constante et atteint la temprature finale de la source chaude,T 1 , correspondant À l’tatC. – L’airest ensuite refroidi dans une turbine suivant une dtente adiabatique quasi statique (ou rversible) pour atteindre l’tatDde pressionP 0 . – Legaz se rchauffe enfin À pression constante au contact de la source froide et retrouve son tat initialA.

Figure 3 On considre l’air comme un gaz parfait de coefficient isentropiqueγ= 1,4. −1 On poseraβ= 1−γeta=P 1 /P 0 . Pour les applications numriques, on prendra : ◦ ◦ T 0 = 283K(10C)T 1 = 298K(25C) −1−1 a= 5, R= 8,31J.K .mol(constante des gaz parfaits) 1.Reprsenter le cycle parcouru par le fluide dans un diagramme de Clapeyron(P, V). 2.Exprimer les tempraturesT B etT D en fonction deT 0 , T 1 , aetβ. Calculer leurs valeurs. 3.Dfinir l’efficacitede la pompe À chaleur À partir des quantits d’nergie changes au cours du cycle. Montrer qu’elle s’exprime seulement en fonction deaetβ. Calculer sa valeur. 4.Quelles doivent tre les transformations du fluide si on envisage de faire fonctionner la pompe À chaleur suivant un cycle de Carnot rversible entre les tempraturesT 0 etT 1 ? Ètablir l’ex- pression de son efficacite r en fonction deT 0 etT 1 . Calculer sa valeur. 5.Comparer les valeurs obtenues poureete r . Interprter la diffrence observe. 6.Donner l’expression de l’entropie cre,s i , pour une mole d’air mise en jeu dans le parcours du β cycle de Joule invers, en fonction dex=T 0 a /T 1 ,Retβ. Etudier le signe de cette expression pourx≥0. Calculer sa valeur. 7.La pompe À chaleur envisage est utilise pour chauffer une maison. Sachant qu’en rgime permanent les fuites thermiques s’lvent ÀP f = 20kW, calculer la puissance mcanique du couple compresseur-turbine qui permet de maintenir la maison À temprature constante.

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ProblÈme IIILe grossissement en optique : Étude d’une lunette as- tronomique, ENSTIM 2004 On considere une lunette astronomique forme : 0 0 lef=O 1 >0. – d’unobjectif constitu d’une lentille mince convergenteL 1 de distance foca 1 F 1 0 0 =>O F0. – d’unoculaire constitu d’une lentille mince convergenteL 2 de distance focalef 2 2 2 Ces deux lentilles ont mme axe optiqueΔ. On rappelle qu’un oeil normal voit un objet sans accommoder quand celui-ci est plac À l’infini. On souhaite observer la plante Mars, qui est vue À l’oeil nu sous un diametre apparentα.

A Lunetteafocale Pour voir la plante nette À travers la lunette, on forme un systme afocal. A.1.? Que cela implique-t-il pour les positions des lentilles?Que cela signifie-t-il 0 0 A.2.Faire le schma de la lunette en prenantf= 5f. 1 2 Dessiner sur ce schma la marche À travers la lunette d’un faisceau lumineux form de rayons issus de l’toile. On appellera A’B’, l’image intermediaire. A.3.On souhaite photographier cette plante. OÙ faut-il placer la pellicule?

B Grossissement 0 On noteα, l’angle que forment les rayons mergents extrmes en sortie de la lunette. B.1.?L’image est-elle droite ou renverse 0 α 0 0 B.2.La lunette est caractrise par son grossissementG=. ExprimerGen fonction defetf. α 1 2 B.3.Le principal dfaut d’une lentille est appel dfaut d’aberrations chromatiques : expliquer brivement l’origine de ce dfaut et ses consquences. Pour quelle raison un miroir n’a-t-il pas ce dfaut ?

C AmÉliorationdu dispositif On veut augmenter le grossissement de cette lunette et redresser l’image. Pour cela, on interpose 0 0 eLde distance focalef=O F’oculaire est deplac entreL 1 etL 2 , une lentille convergent 3 33 3 >0. L pour avoir de la plante une image nette À l’infini À travers le nouvel ensemble optique. C.1.Quel couple de points doit conjuguerL 3 ?pour qu’il en soit ainsi 0 0 eL. En dduireO Fen fonction defetγ. C.2.On appelleγ 3 , le grandissement de la lentill 3 3 1 3 3 0 00 Fet on appelleraA B C.3.Faire un schma. On placeraO 3 entre 1 etF 2 premire image, la intermediaire etA”B”, la seconde image intermediaire. 0 C.4.En dduire le nouveau grossissementGen fonction deγ 3 etG. Comparer ÀG, en norme et en signe.

ProblÈme IVEtude de quelques montages comporant une bobine, ENSTIM 2003 Une bobine relle est un dipÔle constitu par enroulement cylindrique d’un fil lectrique. Elle est caractrise par son auto-inductanceLet sa rsistance interner. La bobine est dite parfaite si sa rsistance interne est ngligeable.

A PrÉliminaire Donner la relation entre le courantiqui traverse une bobine parfaite et la tensionu L À ses bornes (on prcisera À l’aide d’un schma les conventions d’orientation adoptes pourietu L ). Les valeurs usuelles des inductances rencontres s’chelonnent de quelques henrys À quelques milli- Henrys. 4

B RÉponsed’un circuit RL À une tension en crÉneaux On se propose d’tudier la rponse d’un circuit (RL) À une tension en crneaux dlivre par un gnrateur basse frquence (G.B.F.). Le circuit reprsent sur la figure 4 comporte une bobine parfaite d’inductanceL, une rsistanceRet un G.B.F. dlivrant une tension en crneauxureprsente sur la figure 5.

Figure 4

Figure 5 B.1.On dfinit la constante de tempsτ, exprime en secondes, du circuit (RL) par une relation du α β typeτ=L RoÙαetβsont deux constantes relles. Par analyse dimensionnelle rapide, dterminer la valeur des exposantsαetβ(on raisonnera À partir des caractristiques entreueti). T B.2.Pour0≤t≤, tablir l’quation diffrentielle rgissant les variations de l’intensitidans le 2 circuit. L’intgrer en justifiant soigneusement la dtermination de la (des) constante(s) d’intgration. En dduire l’expression deu L (t). Tracer l’allure des courbes reprsentatives dei(t)et deu L (t)en prcisant les valeurs vers lesquelles ces fonctions tendent en rgime permanent, ainsi que l’quation des tangentes À l’origine. T B.3.Dterminer compltement l’expression dei(t)etu L (t)pour≤t≤T. 2 B.4.Le G.B.F. est rgl sur la frquencef= 1,0kHz, la bobine a pour inductanceL= 1,0Het 3 R= 1,0.10 Ω. Comparer la priodeTde la tension dlivre par le G.B.F. et la constante de temps τdu circuit. Tracer qualitativement l’volution des graphes dei(t)etu L (t)sur quelques priodes. Commenter.

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C Etudeen rÉgime sinusodal Dans le circuit de la figure 4, le G.B.F. est À prsent en mode sinusodal. En utilisant les analogies transitoire-alternatif crire, À partir de l’quation diffrentielle tablie enB.2., la loi d’Ohm complexe liant les amplitudes complexesUetIrespectivement de la tension aux bornes du dipÔle AB et de l’intensit du courant le traversant. En dduire l’impdance complexeZdu dipÔle AB.

D Miseen cascade de deux circuits RL On s’intresse au quadripÔle de la figure 6, constitu de deux cellules (RL) enchanes, aliment par une tension sinusodale de pulsationω.

Figure 6 D.1.En tudiant le comportement asymptotique du quadripÔle aux hautes et basses frquences, prciser la nature du filtre ainsi constitu. Lω D.2.Dterminer la fonction de transfertH(jx)de ce quadripÔle en fonction dex=aprs avoir R prcis la dimension dex. D.3.Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, en le justifiant. Tracer ensuite sur les mmes graphes l’allure des courbes rellesG dB en fonction delogxoÙG dB dsigne le gain en dcibel, etϕen fonction delogxoÙϕdsigne l’argument de la fonction de transfert. D.4.Comment modifier le montage pour obtenir un filtre dont la fonction de transfert s’crirait comme le carr de la fonction de transfert d’un filtre (RL)?

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