Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

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Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 7 : Géométrie élémentaire de l'espace. Sauf mention contraire, l'espace affine E est rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, (~i,~j,~k)). La base (~i,~j,~k) est alors une base orthonormée directe de ?? E . Outils de la géométrie dans l'espace : produit scalaire, produit vectoriel et déterminant. Exercice 1. Soit P un plan passant par O et dont ??n (0, 1, 1) est un vecteur normal. 1. Donner un vecteur directeur directeur de la droite D normal à P et passant par O. 2. Les vecteurs ??u (1, 0, 0) et ??v (0,?1, 1) sont-ils dans ?? P ? Est-ce que (??u ,??v ) est une base de P ? Si oui, est-elle orthonormée ? 3. Déterminer les coordonnées de H (resp. H ?) projeté orthogonal de M(a, b, c) sur P (resp. D). Ecrire si possible ??? OH comme combinaison linéaire de ??u et ??v . Solutions : H ?(0, b+c2 , b+c 2 ) ; H(a, b?c 2 , c?b 2 ) ; ??? OH = a??u + c?b2 ??v .

  • point dans l'espace

  • ??u ?

  • aire du triangle abm

  • équation cartésienne du plan

  • somme des carrés des aires des triangles oac


Publié le : mardi 29 mai 2012
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PCSI A 2009-2010
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Feuille d’exercices 7 :Géométrie élémentaire de l’espace.
Lycée Brizeux
~ ~~ Sauf mention contraire, l’espace affineEest rapporté à un repère orthonormé directR= (O,(i, j, k)). La base −→ ~ ~~ (i, j, k)est alors une base orthonormée directe deE.
Outils de la géométrie dans l’espace : produit scalaire, produit vectoriel et déterminant.
−→ Exercice 1.SoitPun plan passant parOet dontn(0,1,1)est un vecteur normal. 1. Donnerun vecteur directeur directeur de la droiteDnormal àPet passant parO. −→ 2. Les vecteursu(1,0,0)etv(0,1,1)sont-ils dansP? Est-ce que(vu ,)est une base deP? Si oui, est-elle orthonormée? 0 3. Déterminerles coordonnées deH(resp.H) projeté orthogonal deM(a, b, c)surP(resp.D). Ecrire si possibleOHcomme combinaison linéaire deuetv. 0b+c b+c bc cb−→cb−→ Solutions:H(0, ,);H(a, ,);OH=a u+v . 2 22 22
−→ Exercice 2.Mme exercice que le précédent avecPpassant parA(0,0,1)et dontn(1,1,0)est un vecteur normal puis avecu(1,1,0)etv(0,0,1). 0ab ba a+b a+b a+bSolutions:H(, ,1);H(, ,c+ 1);AH=u+c v . 2 22 22
Exercice 3.Pour les trois couples de vecteursuetvci-dessous, calculer le produit vectorieluv: 1.u(1,1,1)etv(1,3,0)2.u(12,6,24)etv(5,0,15)3.u(1,2,6)etv(5,10,30) −→ Solutions: 1.(3,1,4); 2.(90,300,30); 3.0
Exercice 4.Considérons les trois pointsA(1,0,0),B(0,1,0)etM(1,1, x). 1. LorsquexparcourtR, montrer queMparcours une droite dont on précisera un point et un vecteur directeur. Montrer que les pointsA,BetMne sont pas alignés. 2. Donnerl’aire du triangleABM. 3. Endéduire la longueur de la hauteur issue deMdans le triangleABM. q 2 2x+1 1 2 Solutions: 2.; 3.x+. 2 2
−→Exercice 5.SoitOABCun tétraèdre rectangle (i.e. un polyèdre à4faces tel queOA, OB, OCsont orthogo-naux) enO. Établir le résultat suivant attribué à Descartes : « Lecarré de l’aire du triangleABCest égale à la somme des carrés des aires des trianglesOAC,OABet OBC. »
−→ −→−→ Exercice 6.Double produit vectorielEtant donné trois vecteurs de l’espaceu ,vetw, montrer que : −→ −→−→ −→−→ −→−→ −→−→ (uv)w= (u . w)v(wv .)u −→ −→−→ −→−→ −→−→ −→−→ et queu(vw) = (u . w)v(u . v)w
A quelle condition a-t-on(uv)w=u(vw)? Indication : se placer dans une bonne base.
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Exercice 7.Division vectorielle 1. Peut-ontrouver un vecteurede l’espace tel que pour tout vecteuruon a −→ −→−→ −→−→ eu=ue=u? −→ −→−→ Soituetvdeux vecteurs de l’espace. On se propose de déterminer l’ensembleSdes vecteursxde l’espace tels que : −→ −→−→ ux=v . −→ −→ 2. DéterminerSlorsqueu= 0. −→ −→−→ 3. Onsuppose désormais queu6= 0. DéterminerSlorsqueu . v6= 0. −→ −→ 4. DéterminerSlorsquev= 0. −→ −→−→ 5. On suppose désormais queu . v= 0etv6= 0. On noteS0l’ensemble des solutions de l’équation −→ homogèneux= 0. −→ (a) Supposonsqu’il existesS. Montrer qu’on a l’égalité : S={xvecteur de l’espace, x=s+x0, x0S0}.
(b) Endéduire que :   vu −→ S= +λ u ,λR. −→2 ||u|| (c) Déterminerl’ensemble des solutions de l’équation : −→ −→−→ xu=v .
Exercice 8.Pour les trois triplets de vecteursu,vetwci-dessous, calculer le déterminantdet(u ,v , w): −→ −→−→ 1.u(0,0,1), v(1,1,0), w(2,2,1). −→ −→−→ 2.u(30,10,0), v(4,2,2), w(5,5,15). −→ −→−→ 3.u(37,7,1), v(3,3,9), w(40,10,10) Réponses : 1.4; 2.500; 3.0.
Exercice 9.Calculer le volume du parallélipipède construit sur les vecteurs u(1,1,1), v(1,2,1), w(0,1,1). En déduire la distance du pointA(0,1,1)au plan(, vO, u). 1 Réponses: Volume =3.. Distance = 3 2
−→2 21−→1 22−→2 1 2Exercice 10.Soientu(,,),v(, ,)etw= (, ,). Montrer que(u ,v , w)définit une B.ON. 3 33 33 33 3 3 Calculerdet(v , wu ,). La base est-elle directe? −→ Déterminer les coordonnées du vecteurt(1,1,1)dans la base(u ,v , w).
Exercice 11.SoientA(0,1,0),B(1,1, x),C(y,3,3)etD(0,2,1). oùxetysont deux paramètres réels. Déter-miner une condition nécessaire et suffisante surxetypour queA,B,CetDsoient coplanaires. Réponse :xy= 1.
−→ Exercice 12.Soientzy ,x ,ettquatre vecteurs de l’espace. Montrer qu’on a l’égalité : −→ −→ −→−→ −→−→ det(xxy ,z , xt) = 0.
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Droites, plans et sphères de l’espace.
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Exercice 13.Le plan médiateur. SoientAetBdeux points de l’espace. 1. Montrer que l’ensemble des points équidistants deAetBest un plan (appelé plan médiateur). On en donnera un point et un vecteur normal. 2. SoitA(α, β, γ)etOl’origine du repère. Donner une équation cartésienne du plan médiateur deOA.
Exercice 14.Dans chacun des cas ci-dessous, former une équation cartésienne du plan : 1. passantparA, dirigé paru(1,1,2)etv(2,1,3). 2. passantparA(1,0,0),B(1,1,0)etC(2,1,2). −→ 3. passantparA(1,1,1)de vecteur normalv(0,1,1). Solutions : 1.x+ 7y+ 3z28 = 0. 2.2x+z+ 2 = 0.3.y+z1 = 0.
−→ Exercice 15.On onsidère deux pointsAetBdistincts et un vecteurnnon nul. 1. Donner une condition nécéssaire et suffisante pour qu’il existe un plan passant parAetBde vecteur −→ normaln. 2. Onse donne un réeltetA(t,1,2)etB(3, t, t). Former, lorsque c’est possible, une équation cartésienne −→ du plan normal àn(1,2,2)et passant parAetB.
Exercice 16.SoientA, B, CetDquatres points non coplanaires. Déterminer l’ensemble des pointsMtels que : det(AB, AC, AD) = det(AB, AC, AM)
0 Exercice 17.Etant donné deux plansPetP, d’équations normalisées respectivesax+by+cz+d= 0et 0 0 0 00 a x+b y+c z+d= 0. Déterminer l’ensemble des points équidistant dePetPlorsque : 0 1.PetPsont parallèles. 0 2.PetPsont sécants. L’ensemble trouvé dans le second cas est la réunion des deuxplans bissecteurs. Que peut-on dire de ces deux plans ?
Exercice 18.SoientPle plan d’équation cartésiennex3y+z4 = 0etA(1,2,1),B(1,6,1)etC(2,2,2) des points de l’espace. Déterminer une équation du planHcontenant les pointsA,BetC. Les plansPetH sont-ils sécants? Solutions :x+y3z+ 2 = 0
−→ Exercice 19.SoientDla droite passant parA(0,1,0)dirigée paru(1,2,1)et le pointB(2,1,1). 1. Donnerun système d’équation pourD. 2. Déterminerla distance deBàD 3. Donnerune équation du plan passant parBetD. q x=z5 solutions :1. 2.; 3.y2z+ 1 = 0. 6 2xy1 = 0
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Exercice 20.Déterminer tous les réelsk, tels que les deux droites suivantes aient au moins un point d’inter-section :   x+kz1 = 0y+ 2z= 0 et yz1 =0x+z3 = 0 Solution : Déterminer un point et un vecteur directeur de chaque droite puis exprimer que les droites ont un point d’intersection ssi leur distance est nulle.
Exercice 21.On considère les plansP1etP2d’équation2x4y+ 3z+ 5 = 0etx2y+ 3z2 = 0. −→ 1. Sont-ilssécants ?Si, oui donner un vecteur directeuruet un pointIde la droite formée par l’intersection. 2. Donnerune équation cartésienne du plan passant parA(2,2,0)et perpendiculaire àP1etP2 −→ Solutions :;1. OuiI(7,0,3)etu(2,1,0); 2.2x+y2 = 0.
Exercice 22.Dans les deux cas ci-dessous, donner une perpendiculaire commune aux deux droites. 1.D1passant parOde directionu(1,0,0)etD2passant parA(0,0,1)de directionv(0,1,1). 2.   2x+ 5y+z9 = 02x+ 3y+3z7 = 0 D1etD2 x+ 3y+ 2z5 = 0x+ 2yz5 =0   x= 0x+ 8y+ 17z010 = Solutions2.: 1. y=zx+ 4y+ 7z13 = 0
Exercice 23.SoitMle point de coordonnées sphériques :(R= 1, φ, θ)(cf. fiche pour les notations). Donner 2 2 2 l’équation du plan tangent à la sphère d’équationx+y+z= 1passant parM.
Exercice 24.Soient quatre points de l’espaceA(1,2,3),B(2,3,1),C(3,1,2)etD(1,0,1). 1. MontrerqueA,B,CetDne sont pas coplanaires. 2. MontrerDéterminer le centreΩet le rayon de la sphère circonscrite àABCD. Solutions :2.Ω(1,1,1)etR= 5.
2 2 2 Exercice 25.Considèrons la sphèreSd’équationx+y+z2x+ 4y+ 4z+ 5 = 0et le planPd’équation x2y+ 2z+ 1 = 0. 1. Déterminerle centreΩet le rayonRdeS. 2. Montrerque l’intersection dePet deSest un cercleCdont on précisera le centreret le rayonω. 3. SoitM(a, b, c)∈ C. Former une équation du plan tangentTàSenM. Donner une paramétrisation de la droiteω), puis en déduire l’intersection de cette droite avec le planT.  7 14 224 Solutions : 1.Ω(1,2,2);R= 2. 2.ω ,,;r= 2. 3.(1,2,6). 9 99 3
Exercice 26.SoitA, B, CetDquatre points non-coplanaires de l’espace etGl’isobarycentre de ces quatre points. Montrer queGpartage le tétraèdreABCDen quatre tétraèdresABCG,ABDG,ACDGetBCDGde mme aire.
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