Lycée Brizeux Samedi janvier PCSI A

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Lycée Brizeux Samedi 9 janvier 2010 PCSI A Correction du devoir surveillé no 4 Problème I Réalisation d'un spectroscope à prisme A Étude de la déviation de la lumière A.1 Voir figure ci contre. A.2 Lois de Descartes en I1 et I2 sin i = n sin r (1) et sin i? = n sin r? (2). À partir de la relation des angles dans le triangle I1I2K on a r + r? = A (3) et à partir des angles dans le triangle I1I2J on obtient D = i + i ? ?r ? r? soit D = i+ i? ?A (4). A.3 Lorsque i décroît, d'après la relation (1) r diminue. Puis d'après la relation (3), r? augmente et enfin, d'après la relation (2) i? augmente. Lorsque i atteint i0, i? atteint sa valeur maximale pi2 . Lorsque i devient inférieur à i0, le rayon émergent disparaît car il se produit un phénomène de ré- flexion totale à la sortie du prisme. On a sin i0 = n sin r0 = n sin(A ? r?0) avec sin r ? 0 = 1 n . D'où i0 = arcsin[n sin(A? arcsin 1n)] A.4 On a D = i+ i? ?A = i?A+ arcsin(n sin r?) = i?A+ arcsin[n sin(A? r)].

  • r2 ?

  • energie potentielle

  • longueur d'onde

  • relation des angles dans le triangle i1i2k

  • force élastique

  • gr2 r0

  • pseudo-période

  • projection du moment cinétique

  • régime pseudo-périodique


Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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LycÉe Brizeux PCSI A & B
Samedi 21 janvier 2012
o Correction du devoir surveillÉ n4
ProblÈme ISatellites d’observation terrestre A CaractÉristiquesdes orbites de SPOT et d’ENVISAT A.1Le champ gravitationnel au pointPest le mme que celui qui serait cr par une masse −→GMT −→ ponctuelle situe enOcar la rpartition de masse est sphrique. DoncG=ur2 (RT+h) −→ urest le vecteur unitaire radial. È A.2D’aprs la 3loi de Kepler (qu’on tabli À partir du principe fondamental de la dynamique), 2 23/2 T4π(Rt+h) =soitT= 2π. 3 (Rt+h)GMTGMT AN : On trouve environT100 minsoitT= 1h40 min. A.3Le mouvement est circulaire et uniforme (mouvement À force centrale+orbite circulaire) r 2π(RT+h)GMT doncv=soitv=. T RT+h 1 A.N. : grossirement,v7 kms. La dernire rponse convient. GmMT A.4Ènergie potentielle gravitationnelle du satellite :Ep=. RT+h 1 1GMT1 2 A.5L’nergie cintique vaut iciEc=mv=m=Ep. D’oÙ2Ec+Ep= 0. 2 2RT+h2 B Priseen compte de frottements 21 B.1Une force s’exprime enkgms. Doncαs’exprime enm. r GMT B.2D’aprs A3, la norme de la vitesse s’critv=. Par consquent, l’nergie m-RT+h 1GmMT canique du satellite vautEm=Ep. DoncEm=. 2 2(RT+h) B.3La seule force non conservative est la force de frottement exerce par l’atmosphre. D’aprs −→ dEm−→3 le thorme de l’nergie mcanique,=fv=αmv. dt   p GmMTGMT ˙ ˙ Il vienth=αm3/2. D’oÙh=2α GMT(RT+h). 2 2(RT+h)RT+h 1 151 B.4On aα=p. A.N.α1,5.10 m. 2T GMT(RT+h) 10365243600 4 En 10 ans, le nombre de rvolutions orbitales vaut :N=5.10. La 6000 perte d’altitude est de l’ordre de50 km. L’altitude diminuant, l’nergie potentielle fait de mme. D’aprs le thorme du viriel, cela conduit À une augmentation de l’nergie cintique. ˙ B.5|h|est trs faible : la trajectoire est donc trs stable. D’autre part, l’altitude est suffisam-ment faible pour que la priode orbitale soit «brve ».On peut observer la mme zone sur la Terre toutes les 1h40.
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ProblÈme IIEtude de l’accÉlÉromÈtre d’un stabilisateur d’images 1. Al’quilibre et en l’absence de vibration, le ressort est tir(zeq=`eq> `0). Le poids et mg la force de rappel lastique se compensent doncmg=k(zeq`0)soitzeq=`0+. k 2. Lerfrentiel de l’appareil photo est en translation rectiligne non uniforme dans le rfrentiel terrestre galilen. Il n’est donc pas galilen. Il faut alors prendre en compte dans le bilan des forces la force d’inertie d’entranement. La force d’inertie de Coriolis, quant À elle, est nulle car le mouvement d’entranement est un mouvement de translation. La projection du P.F.D. appliqu À la masseMsur l’axe vertical s’crit : α kk 2 mz¨ =mgk(z`0)αz˙mz¨Osoitz¨ +z˙ +z=zeq+mω ZOcos(ωt). m mm ω0 ˙ ¨¨ ˙ 2 2 3.Z=zzeq,Z=z˙etZ=z¨. On obtient aloZ+ω Z rs :Z+0=ZOω cos(ωt). Q ω0est appele pulsation propre homogne À l’inverse d’une dure. Qest appel facteur de qualit, sans dimension. 4. Lesystme tant linaire (et stable : coefficients de l’quation homogne de mmes signes), la masse oscille en rgime tabli À la mme pulsation que le botier (excitation). Son mouvement est a priori dphas par rapport À celui deO. ZMreprsente l’amplitude du mouvement deMetφle dphasage du mouvement deM par rapport À celui deO. 5. Enutilisant les notations complexes, l’quation diffrentielle du mouvement devient : 2 ω0ω ZO 2 22jωt jφ ω Z+jω z+ω z=ZOω esoitZMe=. 0 ω0 Q2 2 ω++ω 0 Q 2 ω ZOZO On en dduit alorsZM=ssoitZM=q. On re-1 1 2 2 ω(21) +2 2 2 22 20xx Q (ωω) +ω 0 2 Q trouve l’expression de la fonction de transfert d’un filtre du second ordre.
1 21 d((21) +2 2) dZQ xM x 6. La courbeZM(x)passe par un maximum si= 0ou= 0soit dx dx s 2 2Q pourxr=>1. La courbe ne passe par un maximum que sixrexiste donc si 2 2Q1 1 Q >. 2 7. Asymptotebasse frquence(x <<1):ZM= 0 Asymptote haute frquence(x >>1):ZM=ZO
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8. Onsouhaite idalement queZM=ZOindpendamment de la frquence, c’est-À-dire que la courbe de rponse soit la plus plate possible. Pour avoir une rponse plate sur la plus grande plage possible de frquences, il faut queQne soit ni trop lev ni trop faible, donc 1 Qproche desemble un bon compromis. 2
ProblÈme IIISismographe horizontal A RÉfÉrentielsnon galilÉens A.1Comme les 2 rfrentiels sont en translation, les directions de leurs axes sont fixes au cours du temps. Ainsi,v1=v2+v(O2/R1)eta1=a2+a(O2/R1). −→ A.2Si les 2 acclrations sont gales, alorsa(O2/R10) =et doncv(O2/R1)est un vecteur constant. Comme les 2 rfrentiels sont en translation, la nature de la translation est donne par la trajectoire d’un point deR2dansR1. CommeO2a une vitesse constante (en norme et en direction), le mouvement deO2est une translation rectiligne uniforme : R2est en translation rectiligne uniforme par rapport ÀR1. A.3Le rfrentiel(R1)est galilen si le principe d’inertie s’applique dans(R1). Le rfrentiel de Copernic est un rfrentiel galilen : dans ce rfrentiel, le mouvement d’un astre pouvant tre considr comme isol est une translation rectiligne uniforme. −→ −→−→ On a alorsv1=v2+v(O2/R1).R1est galilen : un point matriel isol a un mouvement −→ de translation rectiligne uniforme. Commev(O2/R1)est un vecteur constant, la vitesse de ce −→ point dansR2,v2, est galement un vecteur constant. Ainsi, le point matriel isol a dansR2un mouvement de translation rectiligne uniforme. Le principe d’inertie s’applique dansR2:R2est galilen. −→ A.4Dans(R1)galilen, on aF=ma1. DansR2, commev(O2/R1)n’est plus un vecteur constant, un mouvement de translation rectiligne uniforme dansR1ne l’est plus dansR2. Le principe d’inertie ne s’applique plus dansR2:R2n’est pas galilen. −→ −→ −→−→ −→−→ On a dsormaisa1=a2+a(O2/R1); en remplaÇant dans le PFD,F=m(a2+a(O2/R1)) −→ −→−→ doncma2=Fm a(O2/R1). Il faut donc ajouterfie=m a(O2/R1)dans l’criture du −→ PFD.fieest la force d’inertie d’entranement. −−→−−−→dLO2 A.5On a=MO2(F) +MO2(fie). dt
B Fabricationd’un sismographe horizontal B.1Le pointMest soumis À son poidsP, À la raction de la barreT, colinaire À la direction → −−→−→−→ de la barre. On aMO(P) =OMP=mgLsinθuzetMO(T) =OMT= 0. −→ −→ Il faut galement ajouter le moment rsistant qui s’exerce enO:M=α uz. dt A l’quilibre,= 0donc on aMO(P) =0; ce qui entraneθ= 0. dt −→2−→ ˙ B.2EnO,LO=OMv=mL θuz. En projetant le thorme du moment cintique surOz, 2α g ¨ ˙¨ ˙ on amL θ=mgLsinθ+ 0αθ. En supposantθ <<1(sinθθ), on aθ+2θ+θ= 0. mL L −→ 1 22 ˙ B.3L’nergie mcanique du systme estEm=mL θ+mgL(1cosθ). D’autre part,T 2 −→ −→ ˙ ne travaille pas et la puissance du moment rsistant estP=M .θuz. En appliquant le thorme ˙ ¨˙ ˙˙ ˙ 2 de l’nergie mcanique, on amL θθ+mgLθsinθ=αθ.θ. En divisant parθet en utilisant α g ¨ ˙ l’approximationsinθθ, on aθ+2θ+θ= 0. mL L
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α2g B.4Le discriminant de l’quation estΔ = (2)4. On a mL L q 2g – rgimepseudopriodiqueΔ<0soitα <2mL L q 2g – rgimeapriodiqueΔ>0soitα >2mL L q 2g – rgimecritiqueΔ = 0soitα= 2mL L En se plaÇant en rgime critique, le rgime transitoire est le plus court, la rponse du sismographe peut donc rapidement tre considre comme la seule rponse en rgime forc.
−→→ −−→−→ B.5On afie=m a. DoncMie=OMfie=maLcosθuz. B.6Il suffit d’ajouter le moment de la force d’inertie d’entrainement À l’quation prcdente 2α ga ¨ ˙¨ ˙ doncmL θ=mgLsinθαθ+maLcosθsoitθ+2θ+ sinθ= cosθ. mL LL ˙ ¨ a A l’quilibre,θ= 0etθ= 0doncgsinθe=acosθedonctanθe=. g α ga ¨ ˙ B.7Siθ <<1, l’quation diffrentielle devientθ+2θ+θ=. mL LL a 0 2α ga0L En notation complexe,()θ0+2()θ0+θ0=. Doncθ0=g2α. mL LLω+j ω L2 mL qa 0 2gL Commeα= 2mL, on aθ0= Lg2g. ω+j2ω L L a 0   L B.8On aθ0=θ0etϕ=arg(θ0). Ainsi,θ0=2. g +ω L a0 B.9Siω0,θ0; siω→ ∞,θ00. g
a0 B.10Siω0,θ0:θ0est alors proportionnel À l’amplitude de l’acclrationa0du sol L q 1g avec un coefficient de proportionnalit. On doit avoirω <<. g L a0a0 B.11Siω→ ∞,θ02. Or le dplacement du sol estx=2cosωtdonc l’amplitude du Lω ω a0x0 dplacement estx0=2. On peut donc crire siω→ ∞,θ0.θ0est alors proportionnel ω L 1 À l’amplitude du dplacement du sol avec un coefficient de proportionnalit. On doit avoir L q g ω >>. L
ProblÈme IVVoile Solaire A OrbiteshÉliocentriques A.1Un rfrentiel est un repre associ À une base de temps. Le centre du rfrentiel hlio-centrique est situ au centre de masse du Soleil et les trois axes sont diriges vers trois toiles fixes. 2˙ ˙˙ ¨ A.2v=r˙ur+rθuθeta= (r¨)ur+ (2r˙θ+)uθ. −→ MSm−→ A.3FS=G2ur. Dans le rfrentiel hliocentrique galilen, le corps est soumis À une force r centrale conservative. Le moment cintique du corps par rapport ÀSet son nergie mcanique sont conserves. −→ A.4La trajectoire est plane (force centrale). Le principe fondamental de la dynamique :m a= −→ ˙ ˙¨ ˙ 2MSd2 FSprojet suivant les coordonnes polaires s’crit :r¨=G2et2r˙θ+= (r θ) = 0. r dt 3 2 2πr 2Ms2π2πM ˙Pour une trajectoire circulairer¨ = 0soit=G2etT= =d’oÙT690= =jours r ω˙ θ GMS
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−→2 ˙ A.5La projection du principe fondamental de la dynamique suivanturdonnem(r¨) = MSm2−→ ˙ G2. En notantL=mr θ, la projection du moment cintique suivantuz(perpendiculaire r au plan de la trajectoire) on obtient :   mMSLdLmMS mr¨ =G+ =− −G 2 32 r mrdr2mr r
A.6L’nergie mcanique se conserve puisque le pointMn’est soumis qu’À des forces conser-1 2 vatives.Em=mr˙ +Ep(r)Ep(r). 2 – EnergieEA:r˙ = 0,r=cst: Trajectoire circulaire. – EnergieEB, La trajectoire est borne et est elliptique. – EnergieEC, le mouvement n’est pas born, c’est un tat de diffusion et la trajectoire est hyperbolique.
B Tempsde transit À l’aide d’une voile solaire B.1Les valeurs du rayon de l’orbite circulaire correspondent au minimum de l’nergie poten-tielle effective. On observe sur la figure que le rayon est peu modifi. B.2On applique le thorme du moment cintique dans le rfrentiel hliocentrique : dL −−→−→ −→ =OMF=rFθuz dt 2 ˙ d(mr θ B.3et pour une trajectoire circulaire la projectionD’aprs la question prcdente on a dt d( −→2MS2m GMSr ˙ ˙ du PFD suivanturfournit l’quation :=G2soitr θ=GMSrsoit= r dt 3 dr1dr Fθ2 2m GMS=rFθd’ou=Cr(t)avecC= dt2mr dt GMS 3 3 2 23 2 B.4Par intgration de cette quation diffrentielle, on obtientrr=Cr atT Msoit M T2T 3 3 2 2 2(rr) M T tT M=28ans 3Cr a T
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