Lycée Brizeux Samedi mars PCSI A B

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Lycée Brizeux Samedi 10 mars 2012 PCSI A & B Devoir surveillé no 5 Electrocinétique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signalerez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Étude d'un bobinage On se propose de déterminer les caractéristiques électrocinétiques d'un petit bobinage, modélisé à priori par une inductance pure L en série avec une résistance r ; on dispose pour cela d'un générateur (dit « générateur basse fréquence », ou « GBF »), d'un oscilloscope, de multimètres numériques, de boîtes de résistances à décades et de condensateurs étalonnés de capacités diverses. A Étude rapide du bobinage Le grand nombre de spires nécessite une grande longueur de fil, ce qui confère au dipôle une résistance non négligeable. Une mesure au multimètre donne une valeur de r = 7, 9 ?.

  • diagramme de bode asymptotique en gain et en phase

  • tension

  • grandeur complexe

  • expressions du gain en décibel et de la phase

  • fréquence de résonance


Publié le : jeudi 1 mars 2012
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Lycée Brizeux Samedi 10 mars 2012
PCSI A & B
oDevoir surveillé n 5
Electrocinétique
– La durée de l’épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin
du temps prévu.
– L’usage de la calculatrice est autorisé.
– Tous les problèmes et exercices sont indépendants
– Les résultats devront être encadrés.
– Toute application numérique ne comportant pas d’unité sera considérée comme fausse.
– Si au cours de l’épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d’énoncé, vous le signalerez
sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que
vous avez été amené à prendre.
– Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question.
ProblèmeI Étude d’un bobinage
On se propose de déterminer les caractéristiques électrocinétiques d’un petit bobinage, modélisé à
priori par une inductance pureL en série avec une résistancer; on dispose pour cela d’un générateur
(dit « générateur basse fréquence », ou « GBF »), d’un oscilloscope, de multimètres numériques, de
boîtes de résistances à décades et de condensateurs étalonnés de capacités diverses.
A Étude rapide du bobinage
Le grand nombre de spires nécessite une grande longueur de fil, ce qui confère au dipôle une
résistance non négligeable. Une mesure au multimètre donne une valeur de r = 7; 9
.
2A.1 Le fil de cuivre du bobinage présente une section de l’ordre de 1; 0mm , et la littérature donne
7 1pour le cuivre pur une conductivité = 6; 0:10 S:m ; en déduire une estimation de la longueur du
fil.
Les multimètres disponibles ne possédant pas de fonction inductancemètre, on détermine la valeur
de l’inductance L en étudiant la résonance de courant dans un circuit RLC série.
Étude théorique :
Un circuit R, L, C, série est alimenté par une tension sinusoïdale e(t) de la forme E cos!t.0
A.2 En utilisant les impédances et les notations complexes, dé-
terminer l’amplitude réelle I de l’intensité du courant i(t), en0
fonction de E , R, L, C et !. En déduire l’existence d’une ré-0
sonance d’intensité et exprimer la pulsation de résonance ! etr
I (! ).0 r
A.3 À quelle pulsation le courant est-il en phase avec la tension
d’alimentation? La présence d’une résistance r indissociable du
dipôle d’inductance L modifie-t-elle cette propriété?
Mise en pratique :
1. grâce au GBF, on alimente en régime sinusoïdal un circuit série {R, bobine L et r, C};
2. on visualise à l’oscilloscope la tension du générateur et celle aux bornes de R;
3. on détermine expérimentalement la fréquence de résonance de courant;
14. on en déduit par calcul la valeur de L.
Répondre aux questions suivantes concernant les opérations décrites ci-dessus :
A.4 Expliquer pourquoi le circuit de la figure ci-dessus ne permettra pas en l’état de visualiser les
deux tensions. Proposer un nouveau branchement en identifiant clairement les bornes du GBF et de
l’oscilloscope.
A.5 Proposer une méthode permettant de déterminer rapidement et précisément la fréquence de
résonance à l’aide de l’oscilloscope.
A.6 On repère la résonance à la fréquence f = 774 Hz, avec C = 470 nF ; en déduire la valeur0
de L.
B Comportement électrocinétique du bobinage à basse fréquence
Soit Z l’impédance complexe du bobinage (on notera Z =jZj).
On se propose de tester la validité du modèle Z =r +jL! grâce au montage de la figure ci dessus.
Le GBF est utilisé en régime sinusoïdal de fréquencef. Le blocK est un interrupteur à trois bornes
qui permet de mesurer soit la valeur efficace U de u , soit la valeur efficace U de u .A AO B BO
Étude du montage :
B.1 Rappeler la définition de la valeur efficace d’un courant ou d’une tension variable; exprimer
Z en fonction de R et des valeurs efficaces U et U . Quel est le rôle de R?A B
B.2 Supposons que l’on dispose d’une série de valeurs [f;Z(f)]. Expliquer comment tester par une
représentation graphique la validité du modèle Z =r +jL! (en fonction de f, non de !).
Mise en pratique :
On dispose des résultats de mesures présentés ci-dessous, obtenus pour R = 500 :
f(Hz) 10 20 30 40 50 60 70 80
U (mV ) 99 146 203 253 317 365 432 492A
U (V ) 5,4 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4 5,4B
B.3 N.B. : n’abordez cette question que si vous savez comment obtenir les valeurs der etL. Le seul
calcul des valeurs de Z ne donnera pas lieu à attribution de points. Déterminer r etL en expliquant
la méthode utilisée; le modèle est-il bien validé?
B.4 Les valeurs mesurées justifient-elles qu’on néglige souvent l’aspect résistif des dipôles inductifs
du type bobine?
2ProblèmeII Obtention d’un filtre ADSL
Les lignes téléphoniques acheminent les signaux téléphoniques traditionnels (fréquences f com-
prises entre 0 et 5; 0 kHz) qui permettent les échanges de conversation et les signaux informatiques
« Internet »(fréquences f comprises entre 25 kHz et 2; 5 MHz) (figure ci-dessous).
Tous les signaux (tension et intensité) considérés dans cet exercice sont supposés alternatifs sinusoï-
2daux : les grandeurs complexes associées sont soulignées (avec j = 1).
A Les deux types de filtres
Quatre grands types de filtres sont disponibles : filtres passe-bas, passe-haut, coupe-bande et
passe-bande.
A.1 Préciser, sans calcul, le type de filtre à utiliser pour ne «récupérer» que les signaux informa-
tiques.
A.2 Même question pour les signaux « téléphoniques »(destinés à la conversation).
B Étude d’un filtre
Soit le filtre suivant, constitué de deux résistors identiques de résistance R et de deux bobines
idéales identiques d’inductance L. La tension d’alimentation et la tension de sortie de ce quadripôle
s’écrivent respectivement : u =U cos!t et u =U cos(!t +’). (figure ci-dessous)e em s sm
B.1 En dessinant un schéma équivalent en basse fréquence (f ! 0), puis en haute fréquence
(f !1), déterminer sans calcul al nature de ce filtre. En déduire la nature des signaux que le
quadripôle laisse passer.
!0 0B.2 Établir une première relation entre u , u et u puis une seconde entre u et u .e s s
usB.3 En déduire l’expression de la fonction de transfert H = et montrer qu’elle peut s’écrire
ue
2x !sous la forme H(jx) = , où x = est la pulsation réduite et ! une grandeur que vous2 01 x +3jx !0
exprimerez en fonction de R et L.
B.4 En déduire la valeur numérique du gain maximal G .max
B.5 Donner les expressions du gain en décibel et de la phase lorsque x! 0, x = 1 et x!1.
B.6 En déduire le diagramme de Bode asymptotique en gain et en phase de ce filtre. Esquiver sur
ces graphes, l’allure de la courbe réelle correspondante.
3 4B.7 On donneL = 1; 40:10 H etf = 1:50:10 Hz. La valeur numérique de la pulsation réduitec
de coupure est établi par le calcul : x = 2; 67. Calculer la résistance R des résistors à utiliser pourc
fabriquer le filtre.
3Problème III Le guidage des avions, un instrument essentiel : l’al-
timètre
A Principe de l’altimètre
Le principe général d’un altimètre est très simple. Il est décrit sur la figure 1. Un oscillateur
embarqué dans l’avion émet un signal sinusoïdal s(t) modulé en fréquence (dont la fréquence varie
au cours du temps).
Figure 1 – Principe de l’altimètre
8 1Ce signal se propage verticalement à la vitesse c = 3; 00:10 m:s . Il ne sera pas tenu compte
du déphasage dû à la réflexion ni également de 1’effet Doppler. Une antenne fixée sur l’avion per-
met à l’altimètre de mesurer son altitude z à partir du temps mis par l’onde radioélectrique pour
effectuer l’aller-retour entre le sol et l’avion. La fréquence f (t) du signal s(t) émis par l’oscillateurs
de l’altimètre varie périodiquement au cours du temps selon le graphe représenté sur la figure 2.
Figure 2 – Fréquence du signal émis par l’avion
A.1 A partir du graphe de la figure 2, établir la loi de variation de la fréquence f (t) sur unes
période, en fonction de t, f , f et t .0 0
La quantité f (t) est en fait la fréquence instantanée du signal s(t) émis par l’altimètre. Celas
signifie ici que s(t) =Acos((t)) avec
d (t)1f (t) =s 2 dt
A.2 A partir de l’expression de f (t) et en supposant que (t = 0) = 0, en déduire l’expression des
(t). Montrer que s(t) s’écrit :
s(t) =A cos(! (1 +! t)t)0 1
favec ! = .1 2f t0 0
Tracer l’allure du graphe de s(t) sur une période.
On note , le temps nécessaire au signal pour faire l’aller retour. On a alors r(t) =as(t ).
4A.3 Déterminer l’expression de en fonction de l’altitudez de l’avion et de la vitesse de propaga-
tionc de l’onde radioélectrique qu’il émet. Quelle est la valeur numérique de si l’altitude de l’avion
est z = 3000 m?
Quelle est la signification physique de a?
Le schéma bloc décrivant le fonctionnement de l’altimètre est décrit sur la figure 3. On admet
que f <<f et <<t .0 0
Figure 3 – Schéma de principe de l’altimètre
A.4 Montrer que le signal de sortie du multiplieur n(t) =ks(t)r(t) peut s’écrire comme la somme
de deux signaux sinusoïdaux :
2kA a 2 2n(t) = cos(2! ! t +! (1 ! )) + cos((2! 2! ! )t + 2! ! t ! +! ! )0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 12
Donner l’expression des 2 fréquences instantanées :
– f qui ne dépend pas du temps en fonction de , f et t ;1 0
– f (t) qui varie avec t en fonction de t, , f, t et f .2 0 0
A.5 Pour les avions standards, on a toujours <<t et <<f . En déduire que les fréquences0 f 0
finstantanées sont alors f = et f = 2f .1 2 0t0
A.6 Quel type de filtre doit on utiliser et comment calibrer ce dernier pour pouvoir obtenir un
signal de sortie u(t) qui permette de déterminer facilement la valeur de l’altitude z de l’avion. On
justifiera la réponse et on pourra proposer un moyen effectif pour obtenir cette valeur.
A.7 Parmi les filtres dont les schémas sont représentés sur la figure 4, quel est celui qui vous
paraît le plus adapté à l’application d’altimétrie étudiée précédemment? On justifiera sa réponse en
commentant les caractéristiques de chacun d’entre eux.
B Etude du filtre
On choisit d’utiliser le filtre représenté sur la figure 5. On supposera l’amplificateur opérationnel
idéal et fonctionnant en régime linéaire.
B.1 Quelles sont les hypothèses permettant de considérer l’amplificateur opérationnel comme
idéal?
B.2 Quelle est sans calcul la nature de ce filtre?
B.3 En utilisant le théorème de Millman au point A et au point B, déterminer la fonction de
transfert :
V 2H(j!) =
V 1
B.4 Mettre la fonction de transfert sous forme canonique et montrer qu’elle s’écrit alors sous la
forme
H0H(j!) = ! ! 21+2 j ( )
! !0 0
Calculer H . Donner 2 relations entre , ! et les éléments du circuit.0 0
5Figure 4 – Différents filtres
Figure 5 – Filtre présent dans l’altimètre
B.5 On souhaite obtenir une fréquence propre f = 100 MHz et un coefficient d’amortissement0p
2 = . On choisit R = 4; 7M
. Calculer C et C .1 22
B.6 Tracer le diagramme de Bode asymptotique ainsi que l’allure des courbes réelles.
B.7 En déduire que ce filtre convient pour déterminer et donc l’altitude de l’avion.
6Exercice1 Pompe à vide
Le schéma suivant représente, en coupe, un réservoir R, un cylindre C (leurs parois sont diather-
manes, c’est-à-dire perméables à la chaleur) et un piston P dont la course est limitée par le fond
A et la cale B. Quand le piston est en A, le volume du cylindre limité par le piston est V , quandA
il est en B : V . Le système est de plus, muni de deux soupapes : S permettant le passage duB 1
gaz uniquement de C vers l’extérieur et S uniquement de R vers C, et ce, dès que la différence de2
pression entre les parties inférieure et supérieure de la soupape est positive. Le cylindre est relié, par
un tube de volume négligeable devant les autres volumes du système, au réservoir R de volume V ,0
très supérieur àV , contenant de l’air, supposé gaz parfait, dans lequel on souhaite «faire le vide».B
1. Dans l’état initial, le piston est en B, le cylindre et le réservoir contiennent de l’air à la pression
atmosphériqueP et à la temperatureT . On pousse le piston jusqu’en A exactement contre le0 0
fond (on considère qu’iciV = 0) et on le ramène en B assez lentement pour que la températureA
reste T . Expliquer les differents transferts de gaz au cours de cet aller-retour. Montrer que la0
V0pression P dans R quand le piston revient en B est : P =P .1 1 0V +VB 0
2. Si les transferts de gaz s’effectuent encore de la même facon, exprimer litteralement la pression
P après un deuxième aller-retour du piston.2
3. Donner, dans ce cas, la forme générale de P après le nième aller-retour. Quelle est la limiten
de P quand n!1?n
4. En réalité, quand le piston est en A, le volume V entre le piston et le fond n’est pas nul. LaA
limite théorique précédente ne peut pas être atteinte. Pourquoi? Determiner la véritable limite
théorique de cette pompe à vide. Pourquoi appelle-t-on V le « volume nuisible »?A
7Exercice2 Un peu de pratique...
Onsouhaiteobservéàl’oscilloscopelesignalsuivantdélivréparunGBF:v(t) =v +v cos(2ft)0 m
avec f = 1 kHz, v = 5 V et v = 8 V.0 m
1. Lors de l’observation, on constate que le signal «défile sur l’écran». Pourquoi le signal défile?
Que faut-il faire pour le stabiliser?
2. On souhaite régler précisément les valeurs de v et v à l’aide d’un multimètre numérique.0 m
Comment faut-il procéder? (on détaillera notamment le mode utilisé pour le multimètre : AC,
DC, AC+DC).
3. Le GBF étant parfaitement réglé, on observe ce signal à l’oscilloscope et on constate que l’on
observe un signal centré sur zéro volt. Que doit on faire pour observer l’ensemble du signal sur
l’oscilloscope?
4. On considère désormais un circuit RLC alimenté par un GBF. On souhaite visualiser sur la
voie 1 de l’oscilloscope la tension aux bornes du GBF et sur la voie 2 l’image du courant qui
traverse le circuit. Faites le schéma du montage et indiquer les branchements de l’oscilloscope.
Peut-on observer à l’aide de l’oscilloscope la tension aux bornes du condensateur et le courant
qui traverse le circuit? Expliquer.
5. L’utilisateur souhaite maintenant alimenter un haut-parleur avec un signal sinusoïdale de fré-
quence variable et d’amplitude égale à 5 V à partir d’un GBF. Il règle dans un premier temps
l’amplitude du GBF à vide et constate que cette amplitude chute brutalement lorsqu’il relie
le GBF au haut-parleur. Expliquer. Que faudrait-il faire pour garantir une tension de 5 V aux
bornes du
Exercice3 Oscillations couplées de deux masses
Deux masses m et m , assimilés à des points matériels A et B, sont reliés par un ressort deA B
constante de raideur k et de longueur à vide l . On se limite à l’étude des mouvements rectilignes0
suivant un axe (Ox) et on néglige tout frottement. Dans l’état initialx (t = 0) = 0 etv (t = 0) =vA A 0
et le ressort est allongé de a soit x (t = 0) =l +a et v (t = 0) = 0. On laisse ensuite le systèmeB 0 B
évolué librement. Le référentiel d’étude est supposé galiléen.
1. Que peut-on dire du mouvement du centre d’inertie G du système constitué par les deux
masses? Justifier.
On note l(t) la longueur instantanée du ressort.
2. En définissant le mobile réduit M de masse réduite , déterminer l’équation différentielle
vérifiée par l(t).
3. Déterminer la loi horaire l(t) en fonction de l ,a, k et .0
4. En déduire les équations horaires x (t) et x (t) des deux masses.A B
5. On considère le cas où m m . Quels sont alors les mouvements de A et B? Interpréter.A B
8

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