Lycée Brizeux Samedi novembre PCSI A

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Lycée Brizeux Samedi 21 novembre 2009 PCSI A Devoir surveillé no 3 Mécanique & Optique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Etude d'un skieur Ce problème propose d'étudier les différentes étapes de l'entraînement d'un skieur au saut à ski puis au super G. Toute l'étude se fera dans le référentiel terrestre supposé galiléen Rg. Le champ de pesanteur est supposé uniforme : ??g = ?g??ey avec g = || ??g || = 9, 8 m.s?2. Le skieur, assimilé à un point matériel M de masse m = 80 kg (le poids tient compte de l'équipement) est en contact avec la neige. Dans tout le problème la réaction tangentielle de ce contact est modélisée par une force de frottement solide ?? RT de facteur de frottement f = 0, 05 vérifiant les lois de Coulomb. Cela signifie, avec RN la norme de la réaction normale exercée par la neige, que : – l'intensité de cette force est inférieure à f.

  • tremplin de saut

  • plan incliné faisant l'angle ?

  • skieur

  • force de frottement solide de norme constante

  • distance focale

  • force

  • nez du tremplin

  • vecteurs vitesse


Publié le : dimanche 1 novembre 2009
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LycÉe Brizeux PCSI A
o Devoir surveill n3
Samedi 21 novembre 2009
MÉcanique & Optique La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. L’usage de la calculatrice est autorisÉ Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants Les rÉsultats devront tre encadrÉs. Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraneront la perte de tous les points de la question.
Problme IEtude d’un skieur Ce problme propose d’tudier les diffrentes tapes de l’entranement d’un skieur au saut À ski puis au super G. Toute l’tude se fera dans le rfrentiel terrestre suppos galilenRg. Le champ de pesanteur est −→ −→−→2 suppos uniforme :g=geyavecg=||g||= 9,8m.s. Le skieur, assimil À un point matrielMde massem= 80kg(le poids tient compte de l’quipement) est en contact avec la neige. Dans tout le problme la raction tangentielle de ce −→ contact est modlise par une force de frottement solideRTde facteur de frottementf= 0,05 vrifiant les lois de Coulomb. Cela signifie, avecRNla norme de la raction normale exerce par la neige, que : – l’intensitde cette force est infrieure Àf.RNlorsqueMest immobile par rapport au sol. – l’intensitde cette force vaut constammentf.RNet est dirige en sens oppos À la vitesse de MlorsqueMglisse sur la neige. Les diffÉrentes parties de ce problÈme sont largement indÉpendantes.
A Etudedu tÉlÉski Le skieur est tir À vitesse constante par le tlski le long d’une pente rectiligne incline d’un angleα= 30par rapport À l’horizontale. On suppose que la force exerce par le tlski est de la −→ −→ formeFm=FmeX.
A.1Faire le bilan des forces appliques au pointM. A.2Enoncer le principe d’inertie.
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A.3En dduire littralement la valeur deFmen fonction def,m,getα. Faire l’application numrique.
B SautÀ ski Hormis pour les applications numÉriques, les quatre sous parties suivantes sont indÉpendantes. On modlise un tremplin de saut À ski (deOÀC) par un plan inclin de longueurOB, inclin d’un angleαpar rapport À l’horizontale, suivi d’un nez de tremplin modlis par un arc de cercleBCde rayonRet d’angleα.
B.1 PrÉliminaires B.1.1Pour quelle valeurα0deα? Onle skieur va-t-il commencer À glisser sur le plan inclin donnera l’expression littrale puis numrique deα0. On prendra par la suiteα= 45.
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B.2 PremiÈrephase du mouvement : trajet OB
Le skieur s’lance du pointO(origine des temps et du repre d’espaceeX, eYavec une vitesse 1 initialev0=v0eXv0= 10km.h. Il est soumis, en plus des forces de contact et de pesanteur, À −→ −→ une force de frottement due À l’air de la formeF=kvXeXaveck= 10SI. B.2.1Quelle est l’unit SI de la constantek. B.2.2Etablir l’quation diffrentielle vrifie par la vitessevXdu skieur. t τ B.2.3Montrer que la vitesse du skieur se met sous la formevX(t) = (v0vlim)e+vlimavec τetvlimdes constantes positives que l’on prcisera. B.2.4Donner la signification physique et la valeur numrique deτetvlim(on n’oubliera pas de prciser les units). B.2.5En tenant compte des conditions initiales, exprimer la positionX(t)du skieur au cours du temps. 1 B.2.6La vitesse du skieur lorsqu’il arrive au pointBestvB= 90km.h. Calculer littralement puis numriquement le tempsTmis par le skieur pour effectuer le trajetOB. B.2.7En dduire numriquement la longueurOBdu tremplin. B.2.8Pour une longueurOBdonne, comment pourrait-on augmenter la vitesse du skieur? B.3 DeuxiÈmephase du mouvement : Trajet BC
On nglige À prsent l’action de l’air sur le skieur(k= 0). On supposera la force de frottement solide de norme constante gale Àf mgcosα. On donneR= 10m. B.3.1Donner la dfinition d’une force conservative. B.3.2Faire le bilan des forces conservatives appliques au skieur. Exprimer le travail de cette force deBÀCen fonction deαpuis faire l’application numrique. B.3.3Faire le bilan des forces non conservatives appliques au skieur. Montrer que le travail de ces forces deBÀCs’crit :WBC=f mgRαcosα, puis faire l’application numrique. B.3.4Enoncer le thorme de l’nergie cintique. B.3.5En dduire littralement puis numriquement la vitesse du skieur au pointC. B.3.6Quelle est la direction de la vitesse enC? Quel est l’intrt d’avoir un nez de tremplin horizontal ? B.4 TroisiÈmephase du mouvement : chute libre
On prendraCcomme nouvelle origine des temps et origine du rfrentiel(C, x, y)dfini sur le schma. Pass le pointC». Il n’est soumis qu’À l’action de la, le skieur se retrouve «dans le vide pesanteur. Il arrive enCavec une vitesse initialevC=vCexdtermine prcdemment. B.4.1Dterminer les quations horairesx(t)ety(t)du mouvement du skieur. B.4.2Dterminer l’quation de la trajectoire du skieur. La piste de rception est un plan inclin faisant l’angleα= 45avec l’horizontale tel que la diffrence de hauteur entre le dbut de la piste de rception et le nez du tremplin soith= 10m. B.4.3A quelle abscissexmaxle skieur atterrira-t-il sur la piste? (On donnera l’quation vrifie parxmaxque l’on rsoudra numriquement). Le recordman du monde de saut À ski, Bjørn Einar Romøren, sauta À 239 mtres le 20 mars 2005, avec une vitesse enCsimilaire À celle calcule B.3.5sur un tremplin de taille identique. B.4.4Comparer et commenter cette distance avec celle trouve en B.4.3. Quels sont, À votre avis, les paramtres que l’on a oublis dans cette tude et qui permettraient d’expliquer une telle diffrence ?
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C SuperG Lors d’une descente de super G, le skieur, repr par le pointMde coordonnes(x;y)dans le rfrentiel R(O;ex, ey, ez), part du point(0, d0)puis est astreint a suivre une trajectoire sinusodale de slalom entre des portes espa-ces d’une distanceLde manire À conserver a tout moment une vitesse dont la composante suivantOxest constante : 1 x˙ =v0= 40km.h. On s’intresse dans cette partie À la cinmatique du skieur. C.1Expliquer en quelques mots, en quoi consiste la cinma-tique du point. C.2La trajectoire se met sous la formey(x) =Acos(Bx). ExprimerAetBen fonction ded0etL. C.3Exprimerx(t)puisy(t). C.4En dduire les expressions des vecteurs vitesse et acc-lration du skieur. C.5Pour que le skieur reste en piste, il doit conserver À tout moment une acclration infrieure À0,7g. A quelle distance minimumLmindoit-on placer les portes. On donned0= 3m. Faire l’application numrique.
Exercice 1Dplacement d’un animal On repre la position d’un animal (point matrielMde massem) se dplaÇant dans un plan par ses coordonnes polairesretθde pÔleO. L’allure de la trajectoire pourθvariant de0À2πest la suivante :
θ Il dcrit une spirale logarithmique d’quationr=aedans le sens desθcroissants, avecaconstante positive. 1. Dansun premier temps la loi horaire estθ=ωtoÙ la vitesse angulaireωest une constante positive. 1.a. Reproduirela figure ci-dessus et dessiner aux pointsA,BetDles vecteurs de la base locale(ur, uθ). 1.b. Exprimerdans cette base locale les vecteurs vitesse et acclration du point matriel. 1.c. Calculerla norme du vecteur vitesse. Le mouvement est-il uniforme? π 1.d. Donnerles composantes du vecteur vitesse aux pointsA(θ= 0)etD(θ= )en fonction 2 2 deaet deω, et celles du vecteur acclration aux mmes points en fonction deaetω. 2 1.e. Enprcisant l’chelle choisie pouret, dessiner les vecteurs vitesses et acclration aux pointsAetD. Commenter. 2. Dansun deuxime temps le mouvement est uniforme de vitessev0. Trouver la loi horaire vrifie parθen prenantθ= 0pourt= 0.
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Problme IIÈtude d’un Microscope Un microscope peut tre modlis par deux lentilles convergentesL1etL2alignes sur le mme 0 e imagef= 2mm.Lmodlise l’oculaire axe optique.L1modlise l’objectif et À une distance focal1 2 0 0 et a une distance focale imagef= 30mm. La distanceΔentre le foyer imageFdeL1et le foyer 2 1 objetF2deL2vautΔ = 160mm. On rappelle que la distance minimale de vision distincte d’un oeil normal vautdm= 25cm. C’est la plus petite distance entre l’oeil et un objet pour laquelle on peut voir l’objet net (limite d’accommodation). D’autre part un oeil normal voit net sans accommoder si l’objet est À l’infini. On observe À l’aide du microscope un petit objetAB,Atant plac sur l’axe optique etABperpendiculaire À l’axe optique. L’oeil est plac sur l’axe optique aprs l’oculaire.
A PrÉliminaires A.1Ètablir la formule de conjugaison de Newton pour une lentille mince et donner deux formules de Newton pour le grandissementγd’une lentille mince. A.2Proposer deux mthodes permettant de mesurer la distance focale d’une lentille mince conver-gente. Dcrire les protocoles exprimentaux et donner les avantages et les inconvnients de ces deux mthodes.
B Positionnementde l’objet B.1OÙ doit tre placApour que l’oeil observeAB?À travers le microscope sans accommoder Faites l’application numrique. B.2Soient deux rayons parallles mergents du microscope parL2. Dessiner leur trajet À travers le microscope et trouver ainsi graphiquement la position deAB. Pour le dessin sur votre copie, vous 0 0 prendrezf= 2cm,f= 4cm,Δ = 6cmet des rayons mergents faiblement inclins par rapport 1 2 À l’axe optique. B.3Dfinir la profondeur de champ ou la latitude de mise au point du microscope. 0 B.4On suppose pour cette question qu’un oeil normal est plac enF. Calculer la profondeur de 2 champ de ce microscope. Commenter.
C Expressiondu grossissement On considre dans la suite du problme que l’image de l’objet par le microscope est À l’infini. C.1Sous quel angle maximalθ0un oeil normal voit-ilAB?sans le microscope AB.Δ C.2Montrer que l’angleθsous lequel l’oeil voitABavec le microscope s’critθ=0 0. f f 1 2 θ0 0 C.3On dfinit le grossissementGparG=. CalculerGen fonction deΔ,fetfpuis faire θ01 2 l’application numrique.
D Positionde l’oeil D.1Le cercle oculaire est l’image de la montureL1parL2. Son centreCest sur l’axe optique. Faire une figure puis expliquer pourquoi on doit placer son oeil au niveau du cercle oculaire. 0 D.2Que vaut la distanceCF? 2 0 D.3Quel est le diamtreDdu cercle oculaire sachant que le diamtre de la monture deL1vaut D= 11cm? Commenter.
E Pouvoirde rÉsolution du microscope E.1Comme la rtine est discontinue, granulaire, l’oeil ne peut distinguer deux rayons rayons lumineux l’un de l’autre s’ils font entre eux un angle infrieur À= 1,5minutes d’arc(1 minute 1 d’arc=. Quelle est la taille du plus petit objetABque l’on pourra distinguer? On donnera son 60 0 0 expression en fonction deΔ,,fetf. Faire l’application numrique. 1 2
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