Lycee La Martiniere Monplaisir

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Lycee La Martiniere Monplaisir Jean-Marie Monier Agregation interne de Mathematiques 2007-2008 Epreuve du samedi 1er decembre 2007 Si un(e) candidat(e) repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il (elle) la signale sur sa copie et devra poursuivre sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il (elle) est amene(e) a prendre. Definitions et notations On note D le C-espace vectoriel des applications f : R ?? C 2pi-periodiques, continues par morceaux et telles que : ? t ? R, f(t) = 1 2 ( lim t? f + lim t+ f ) , et C le C-sous-espace vectoriel de D des applications 2pi-periodiques et continues de R dans C. On munit D du produit scalaire hermitien (. | .) defini par : ? (f, g) ? D2, (f | g) = 1 2pi ∫ pi ?pi f(t) g(t) dt, et de la norme ||.||2 associee, definie par : ? f ? D, ||f ||2 = ( 1 2pi ∫ pi ?pi |f(t)|2 dt ) 1 2 .

  • somme pi ?

  • loi de composition interne

  • pr ?

  • ?? ∞

  • coefficient de fourier exponentiel

  • coefficients de fourier trigonometriques de ? ?

  • n?n?

  • agregation interne de mathematiques


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Lyc´eeLaMartinie`reMonplaisir Jean-Marie Monier Agre´gationinternedeMath´ematiques2007-2008 ´ Epreuvedusamedi1erde´cembre2007
Siun(e)candidat(e)repe`recequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonc´e,il(elle)lasignalesursacopieetdevra poursuivresacompositionenindiquantclairementlesraisonsdesinitiativesquil(elle)estamen´e(e)a`prendre. De´finitionsetnotations On noteDleC-espace vectoriel des applicationsf:R−→C2πinntsueueiqcos,e´p-doir   1 par morceaux et telles que :tR, f(t) =limf+ limf , + 2 t t etCleC-sous-espace vectoriel deDdes applications 2πerio-p´esetdiqunieuoctndseR dansC. On munitDdu produit scalaire hermitien (.|.ra:)d´enip Z π 1 2 (f, g)∈ D,(f|g) =f(t)g(t) dt, 2ππ Z1 π122 et de la norme||.||2e´,eosicsaar:niepd´ef∈ D,||f||2=|f(t)|dt . 2ππ Z π 1 Pour toutef∈ D,on note :||f||1=|f(t)|dt. 2ππ Pour toutef∈ D,on notef:R−→C, t7f(t) etf:R−→C, t7f(t). int Pour toutnZ, on noteen:R−→C, t7e. Pour toutnZet toutef∈ D,on notecn(f) le coefficient de Fourier exponentiel Z π 1 int d’indicendefe´d,:aripncn(f) = (en|f) =f(t)e dt. 2ππ Une suite complexe (αn)nZrnix´depaeeZest dite sommable si et seulement si les deux X X s´eriescomplexesαnetαnsont absolument convergentes ; dans ce cas, on note ∗ ∗ nNnN ++++   X XX X αnr:panied´xeleocpmbmerelonαn=αn+α0+αn. n=−∞n=−∞n=1n=1 2 On note`l’ensemble des suites complexes (αn)nZseapxee´nrdiZtelles que la suite 2 ) sommable. (|αn|nZsoit πt On noteϕ:R−→Cl’application 2πpmi,eriadoireuqint´e-p,v´eriaϕ(t) =pour 2 toutt]0 ;π].
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Q1Soitf∈ D. a.Montrer quefestbee.Oorn´ennto||f||= Sup|f(t)|. tR Z a+2π b.Montrer quef(t) dtned´ependpasdeadansR. a Z +c.Montrer que|f(t)|dtconverge si et seulement sif= 0. −∞ ´ d.Etablir que, sif∈ C,alorsfofine´mrutseueinrsuntmentcoR. ´ Q2 a.Etablir que (en)nZest une famille orthonormale dansDpour (.|.). 2 b.Pour tout (n, p)Z,calculercn(ep). c.Montrer :f∈ D,nZ, cn(f) =cn(f) etcn(f) =cn(f). 2 22 Q3 a.Soientα= (αn)nZ` , β= (βn)nZ`edstdeux´el´emen` .uerqsulaeitDome´ertn (αnβn)nZest sommable. 2 b.d´edEnqueuire`est unC-espace vectoriel pour les lois usuelles, et que l’application +X (α, β)7αnβn(avec les notations dea.nptunied´)eherialacstiudorienrmit n=−∞ 2 sur` ,quieon´tesar, . > .< . X sinnt ´ Q4Etablir que, pour toutt]0 ;π],uopateegrasle´irnemue´iruqeconver n nN πt somme (onpourra utiliserϕ). 2 2 D,la suite (c(f)) Q5 a.Montrer que, pour toutefnZ`taitneppraa`et :cn(f) =o(1). n|n| −→ ∞ 2 On noteΓl’application deDdans`ottueuq,ia`fdeD,associe (cn(f)). nZ b.Montrer queΓ:redia-erialacs`-tsec,rvelonseduiteproil´netseectaeri 2 (f, g)∈ D, <Γ(f), Γ(g)>= (f|g) et montrer queΓest injective. Q6 a.emD´troneqsuuetrtpoouer,f, g∈ D,l’applicationfg,lu´eonvo´eecppeladeefetg, donne´epar: Z π 1 tR,(fg)(t) =f(u)g(tu) du, 2ππ estcorrectementd´enieetest2πire´p-.euqido b.Montrer que, pour toutesf, g∈ C,on a :fg∈ C. Onadmetdore´navantque,pourtoutesf, g∈ D, on a :fg∈ C. Cecid´enituneloidecompositioninternedansD.
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´ Q7Etablir les formules suivantes, pour toutesf, g∈ Det tousn, pZ: 1)fg=gf2)cn(f) = (fen)(0)3)fen=cn(f)en ( 1 sin=p 4)enep=δn,pen,ou`δn,p=5)cn(fg) =cn(f)cn(g) 0 sin6=p ∨ ∨∨ ∨ 6)fg=fg7)(fg) =fg8)(f|g) = (f(g))(0). Q8 a.´Dretenemirϕϕ(on exprimeraϕϕ(t) en fonction det). Tracerlacourberepre´sentativedeϕϕcm).´e:2tinu( b.rte´euqiedsoueFerriigtromoncseoreeltndsceilculCaϕϕuotteend´eduire,pourt +X cosnt t[0 ;π],erielvalauedrlesamoemed´s. 2 n n=1 2 c.rtout(ou´dnEiudep,era, b)[0 ;πque] tela6beta+b6π,les valeurs des sommes ++X X sinnasinnbcosnacosnb dese´rieset. 2 2 n n n=1n=1 k l Q9Soientf, g∈ Cl, k,N∪ {+∞}.Montrer que, sifest de classeCsurRetgde classeC k+l surR,alorsfgest de classeCsurRet que, pour tout (i, j)∈ {0, ..., k} × {0, ..., l}: (i+j) (i) (j) (fg) =fg . Q10Soientf∈ D, kN. kk a.Montrer que, sifest de classeCsurR, alors :cn(f) =o(n). |n| −→ ∞ k k2 ´ b.Etablir que, sik>2 et sicn(f) =o(n),alorsfest de classeCsurR. |n| −→ ∞ k Q11Soientf∈ C, kN.On supposek>4 etfde classeCsurR.inoerlt´rDemueqeixts gCtelle que :gg=f. 2 1r Q12Pour touttRet toutr]0 ; 1[,on notePr(t) =. 2 12rcost+r a.Pourr]0 ; 1[,ndectiostririvaioatdensrelate´eiduselrPr`a[π;π], et tracer sa 3 courberepr´esentativedanslecasre=:1cm).(unit´ 4 b.Montrer que, pour toutr]0 ; 1[, Prest dansCet que : +X n tR, Pr(t) = 1 + 2rcosnt. n=1 c.Calculercn(Pr) pour toutr]0 ; 1[et toutnZ. ´ 2 d.Etablir :(r, s)]0 ; 1[, PrPs=Prs.
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Q13 a.´Dme,pertronteourtouf∈ C:||Prff||−→0. r−→1 b.iueruqteuoetEnd´edf∈ Cest limite uniforme surRnudiusedetstedmenee´´lCde classeCsurR. 1 Q14 a.Soitf∈ D.Montrer que, sifest de classeCsurR, alors la suite (n cn(f)) est nZ 2 dans` . b.uredsu´eiaptelctqudreo´raLa.est-elle vraie ?On pourra examiner le cas def∈ D 3 2 telle quef(t) =tpour toutt[π;π]. Pour toutef∈ D,on noteLf:D −→ D:lraappneidne´taoilpcig∈ D, Lf(g) =fg. Q15Soitf∈ D. a.Montrer queLfetuotruseltin´eaireetque,pog∈ D: ||Lf(g)||6Min (||f||||g||1,||f||2||g||2,||f||1||g||). b.Montrer que, sifertea`avseptiasroleelals,urle´esrLfest un endomorphisme 2 sym´etriquedeD,a`d-se-tce:ir(g1, g2)∈ D,(Lf(g1)|g2) = (g1|Lf(g2)). Q16Pour toutnZ,d´eterminsereestlctverseuelrelavssrueporpismeorpherdsrppodnmoleeLen, cest-a`-direlescouples(λ, f) deC×(D − {0}) tels queLen(f) =λf. Pour toutef∈ Det touth]0 ;π[,on notefh:R−→Ced´epnicaliontiappl:ra Z t+h 1 tR, fh(t) =f(u) du. 2hth Q17Montrer que, pour toutef∈ Det touth]0 ;π[, fhdtemenel´´esteC. On note, pour touth]0 ;π[,Shl’application deDdansD´tlee´emtnq,`uiouatfdeD, associefh. Q18Montrer que, pour touth]0 ;π[, Shvitcejrusnon,eriean´lionticalippnuaeetse. Q19Calculer, pour toutef∈ Det touth]0 ;π[,les coefficients de Fourier exponentiels cn(fh) defhen fonction dehet descn(f). h Q20Soith]0 ;π[.tnerqreumo´eDShest injective si et seulement si/Q. π Q21Soitf∈ C. a.:eremD´tron||fhf||−→0. + h−→0 b.Ee´dnriudeuttoue´rseluatdtQe31q,e,sansutiliserlef∈ Cest limite uniforme surR 1 dunesuitede´l´ementsdeCde classeCsurR. 0 ||f||1 c.Montrer que, sifest de classeCsurR,alors :h]0 ;π[,||fhf||6h. 2 ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗ − ∗
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