Lycee La Martiniere Monplaisir

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Lycee La Martiniere Monplaisir Jean-Marie Monier Agregation interne de Mathematiques 2008-2009 Epreuve du samedi 6 decembre 2008 Si un(e) candidat(e) repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il (elle) le signale sur sa copie et devra poursuivre sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il (elle) est amene(e) a prendre. Notations • n designe un entier superieur ou egal a 1 • Mn(R) est l'algebre des matrices carrees d'ordre n, a coefficients reels • GLn(R) est le groupe multiplicatif des matrices carrees d'ordre n, a coefficients reels, inversibles • Dn(R) est l'ensemble des matrices carrees d'ordre n, a coefficients reels, diagonales • Pour A ?Mn(R), SpR(A) est le spectre de A, ensemble des valeurs propres de A • In est la matrice identite, carree d'ordre n, neutre pour la multiplication • Notations analogues pour C a la place de R. Le but du probleme est la resolution d'exemples d'equations ou de systemes d'equations dont l'inconnue ou les inconnues sont des matrices carrees. I. Exemples d'equations matricielles dans M2(R) 1. Expliciter, pour chacune des equations suivantes, d'inconnue X ? M2(R), l'ensemble des solutions : a) X2 = 0, b) X2 = ? I2, c) X2 = ( 0 1 0 0 ) .

  • systemes d'equations

  • matrice m3

  • matrice dans la base canonique de r3

  • rang de la matrice

  • agregation interne de mathematiques


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Lyc´eeLaMartinie`reMonplaisir Jean-Marie Monier Agre´gationinternedeMath´ematiques2008-2009 ´ Epreuvedusamedi6de´cembre2008
Siun(e)candidat(e)repe`recequiluisembleˆetreuneerreurde´nonc´e,il(elle)lesignale sur sa copie et devra poursuivre sa composition en indiquant clairement les raisons des initiativesquil(elle)estamene´(e)a`prendre.
Notations neitnenueire´pusrgnsi´edu´egeuro1al`a Mn(Rresdeerdocsec´rramsedirtatsle)beerla`gn,co`a´reesleicnest GLn(Res´errcaesictrmasedfitacilpitlumlegroupe)estrdedronels,sr´eienteoc`,ca inversibles Dn(Rarscceriosdeer´erdr)estesbmlnemstaeledna`,neiceoctsr´eels,diagonaels PourAM(R),Sp (A) est le spectre deA, ensemble des valeurs propres deA nR In´rrac,e´titnedieedrordeetriclamaestn, neutre pour la multiplication Notations analogues pourCla`laapdeceR. Lebutduprobl`emeestlare´solutiondexemplesd´equationsoudesyste`mesd´equationsdont linconnueoulesinconnuessontdesmatricescarre´es.
´ I. Exemples d’equations matricielles dansM2(R) 1.cunercha,pouiterlpcixEencinuonntva,desnoitiuss´sedauqeXM2(R), l’ensemble des solutions :   0 1 2 22 a)X= 0,b)X=I2,c)X=. 0 0     1 111 11 2.On note iciA=, B=, C=. 1 11 111 Expliciter,pourchacunedes´equationssuivantes,dinconnueXM2(R), l’ensemble des solutions,etpre´ciserlastructuredecetensembledesolutionsetsadimension: a)AX=C,b)XB=C,c)AXB=C.
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II.Exemplesderacinescarre´esdematricescarr´ees   1 14a1 + 4a   Pour toutaR,on note :Ma=3a1 + 2a2 +aM3(R) etfal’endomorphisme 3a2a3 + 4a 3 3 deRdont la matrice dans la base canonique deRestMa. 1.sruelavs´Dteedrsnemierlentvauia, le rang de la matriceMa(1 + 3a)I3. Quelle valeur propre deMa?eedcne´ivmisiense-o-tinnaa Pre´ciserladimensiondusous-espacepropreassocie´.   1   2.Montrer queV=1est un vecteur propre deMas,puisd´etreimenlrseavelru 1 propres deMa. 3.a.Montrer que, pour toutaR, Maest trigonalisable dansM3(R). 3.b.e´DmretsmbsedeleerinenlaRtels queMasoit diagonalisable dansM3(R). 4.Dans cette question, on supposea= 1. 1 4.a.´DrmineeterPGL3(R) etDD3(R) telles queM1=,P DPmieretd´upsirne 2 une matriceXM3(R) telle queX=M1. 2 4.b.eiunninedt´etnerqrulixesietMoXM3(R) telles queX=M1. 2 5.Dans cette question on supposea= 0 et on noteN=M0I3.CalculerNet en 2 2 d´eduirelexistencede(α, β)Rtel que (αI3+βN) =M0. 1 6.Dans cette question, on supposea=et on noteu=f . 1 3 3    x0    eM W=16.a.D´einertermelsotsuW=yM3,1(R) tels qu. 1 3 z1   0 1 0 3  6.b.D´eterminernubesaeBdeRtelle que la matrice deudansBsoitU=0 0 0. 0 0 1 6.c.Deciredssmaterlermin´eteM3(R) qui commutent avecU. 2 End´eduirequel´equationX=U,d’inconnueXM3(R), n’a pas de solution. 2 d.ioatnLqu´eX=M, d’i 6.nconnueXM3(R), a-t-elle une solution ? 1 3
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´ III. EquationsAX=C, XB=C PourA, B, CMn(Rocsndie`´xee,sno)sontiuaeqs´lere (1)AX=C,(2)XB=C, d’inconnueXMn(R),et on noteS1(resp.S2) l’ensemble des solutions de (1) (resp. (2)). 1.Montrer que, siS16=,(alors ImC)Im (A). 2.On suppose dans cette question :Im (C)Im (A).   Ir0 2.a.On noter= rg(A), J=Mn(R). 0 0 Justifier l’existence deP, QGLn(R) telles queA=P J Q. 2.b.Montrer que (1) admet au moins une solution, et exprimer au moins une solution 11 de(1)a`laidedeC.P ,Q , 2.c.Quelle est la structure deS1est sa dimension ?? Quelle 3.a.Montrer :S26=⇐⇒Ker (B)Ker (C). 3.b.On suppose dans cette question :Ker (B)Ker (C). Quelle est la structure deS2? Quelleest sa dimension ?   1 01   4.Dans cette question, on note :A=21 1. 1 1 0 4.a.Quel est le rang deA?   I20 4.b.mxueirtaimredrenD´etsceP, QdeGL3(R) telles queA=P J Qo,u`J=. 0 0 4.c.hcsnad)1(erduosempxexeeusddeunaclessuivants:R´    0 1 11 1 2    α)C=1 0 1β)C=0 3 3. 1 1 22 11
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IV.Exemplesd´equationsmatriciellesfaisantintervenirdesexponentielles X 1 k On rappelle que, pour touteXMn(C),s´laeireXest absolument convergente, k! k>0 X doncconvergente,etquesasommeestnote´ee. X YY XX+Y On rappelle que, siX, YMn(C) commutent, alors ee =e e= e. X ´ A. Equatione =A X Onconside`rel´equation(1)e=A,pourAMn(Rt´eee)xXMn(R) inconnue. 1.On suppose ici queA) et que Spest diagonR. alisable dansMn(RR(A)+ 1.a.Montrer que (1) admet au moins une solution. 1.b.Montrer que, siXMn(R) est solution de (1), alorsXcommute avecA. 1.c.resde,selvslauesrrppoe,qureuiluep,dside´dnEAsontdeux`axuedtsidtcni,se alors (1) admet une solution et une seule.   1 1 2.le´uord´Rserou)p(1ontiuaeqA=. 0 2 B.Unexempledesyst`emede´quations ( Y X Xe +e =0 Onconside`relesyst`emede´quations(S) Y X e +Y0e = 2 d’inconnue (X, Y)(M3(R)). 2 1.Montrer que, pour tout (X, Y)(M3(R)),(X, Y) est une solution de (S) si et seulement si : 1 1X X XGL3(R), Y=X ,(E)X0e =e +. 2Montrer que, siXM3(Re(E)eri)v´Sipe,stC(X) = SpR(X),alors SpC(X) ={−1}, 0 et il existeNM3(R), nilpotente, telle queX=I3+Net il existeNM3(R), 10 00 0 nilpotente, telle queX=I3+N ,et queN N=N N=N+N . 3.tse)S(edsnoitulodessmbleenseuelerqromtnDe´{(I3,I3)}. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗
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