Lycee La Martiniere Monplaisir

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Lycee La Martiniere Monplaisir Jean-Marie Monier Preparation a l'Agregation Interne de Mathematiques 2009-2010 Epreuve du samedi 21 novembre 2009 Si un(e) candidat(e) repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il (elle) la signale sur sa copie et devra poursuivre sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il (elle) est amene(e) a prendre. I. Fonction ? d'Euler 1. Montrer que, pour tout x de R, l'application t 7?? tx?1e?t est integrable sur ]0; +∞[ si et seulement si x > 0. On note ? : ]0; +∞[ ?? R l'application definie par : ?x ? ]0; +∞[, ?(x) = ∫ +∞ 0 tx?1e?t dt . 2.a. Etablir : ?x ? ]0; +∞[, ?(x+ 1) = x?(x) . 2.b. En deduire : ?n ? N, ?(n+ 1) = n! . 3.a. Demontrer que ? est de classe C∞ sur ]0; +∞[ et que : ? k ? N, ?x ? ]0; +∞[, ?(k)(x) = ∫ +∞ 0 (ln t)ktx?1e?t dt .

  • pix ?

  • ln ?

  • constante ? d'euler

  • existence des coefficients de fourier trigonometriques de fx

  • tx?1e?t dt

  • ?? n∞

  • e?t

  • dt


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Lyc´eeLaMartinie`reMonplaisir Jean-Marie Monier Pre´parationa`lAgr´egationInternedeMathe´matiques2009-2010 ´ Epreuve du samedi 21 novembre 2009
Siun(e)candidat(e)rep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd´enonce´,il(elle)lasignalesursacopieetdevra poursuivresacompositionenindiquantclairementlesraisonsdesinitiativesquil(elle)estamen´e(e)`aprendre.
I. FonctionΓd’Euler
x1t 1.Montrer que, pour toutxdeR, l’applicationt7tgr´eleabesnttieus]r;0+[ si et seulement six >0. On note Γ :]0; +[−→Rnied´onticalippal:pera Z +x1t x]0; +[,Γ(x) =te dt . 0 ´ 2.a.Etablir :x]0; +[,Γ(x+ 1) =xΓ(x). 2.b.:eriuedd´EnnN,Γ(n+ 1) =n!. 3.a.eD´emontrreuqΓesedtcealssCsur ]0;+[ et que : Z +(k)k x1t kN,x]0; +[,Γ (x(ln) =t)te dt . 0 1 3.b.Γ(Montrer :x). + x x−→0 3.c.Dresser le tableau des variations de Γ.On montrera qu’il existex0tel que Γ soit strictementde´croissantesur]0;x0] et strictement croissante sur [x0; +[,et quex0]1; 2[. 3.d.Γerepr´esentativedrTrecaocalebru.
II. Constanteγd’Euler Z n 1 1 On note pour toutndeNtel quen>2, wn= dt. n1t n n n X X 1 1.Montrer :n>2, wk= 1 + lnn. k k=2k=1 n X 1 1 ´ 2.Etablir, pour toutn>2 :a.06wn6b.wk61. n1n k=2 X 3.End´eal´sreeiudriqeeuwnconverge. n>2 +n X X 1 En notantγ= 1wn,= lnon a donc :n+γ+o(1). nk n=2k=1
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III. Fonctionζde Riemann et fonctionT +X 1 On note, pourx]1; +[, ζ(x) =. x n n=1 (k) 1.Montrer queζalceessts´deeedteinCsur ]1; +[,et exprimer, pour toutkN, ζ commesommedunes´erie. ´ 2.elreidutEactlseontiiaarsvdeeix´tnoevζ. +n X (1) On note, pourx]0; +[, T(x) =. x n n=1 3.Montrer queTruseunit+;0]ed´steontceeni[. 1x 4.Montrer :x]1; +[, T(x) = (21)ζ(x). 1 5.Montrer :ζ(x)dneeteimetaliliuer´ddeζen 1. x1 x−→1 xxxx 6.Montrer :ζ(x+) = 1 + 2oet(2 )T(x) =+1 + 2o(2 ). x−→+x−→+Quelles sont les limites deζet deTen +? 7.Dresser le tableau de variation deζepr´rbertatiesenev.artteuocasrec
IV. Formule de Gauss et formule de Weierstrass
Soitx]0; +[. 1.er:rD´emont Z n n t x1 t1dt−→Γ(x). n0n Indication:On pourra envisager la suite d’applications (fn: ]0; +[−→R)n>1dn´eie par :   n t x1 t1sit]0;n[ n fn(t) = 0 sit[n; +[. Z 1 n! x1n 2.Montrer :nN, u(1u) du=. 0x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) x n n! 3.dnEude´su:sdeGamuleaforirel−→Γ(x). nx(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) n  Yx x1 ´k γx4.Etablir la formule de Weierstrass :x+ ee 1−→. nkΓ(x) k=1
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V. Fonctionψ On noteψ: ]0; +[−→Rine´dno:rapelacatippli 0 Γ (x) x]0; +[, ψ(x) =. Γ(x)
1.On note, pournN, gn: [0;+[−→Rpalcilpoita´endienr:pa   x x x[0; +[, gn(x1 +) = ln. n n X Montrerquelase´riedapplicationsgn+converge simplement sur [0;[,et que, pour n>1 toutx+de ]0;[ : +X gn(x) =( ln Γ(x) + lnx+γx). n=1 2.ntmo´eDr:re +X 1 1 x]0; +[, ψ(x) =− −γ+x . x n(x+n) n=1 3.nEde´deriu: Z Z ++0 −t0 −t Γ (1) =e lntdt=γet Γ(2) =te lntdt= 1γ. 0 0
4.Montrer queψ; +est strictement croissante et concave sur ]0[. ´ 5.Etablir :ψ(x)lnxilaletimde´deriuenetdeψen +. x−→+
VI.Formuledescomple´ments
Pourx]0; 1[,on noteFx:R−→Rl’application 2π´p-oirequlee:qudielet t[π;π], Fx(t) = cosxt.
1.Justifier, pourxl,e´x[1;0]oescdeceenstxiescientsdeFourierrtginomoe´rtqieu deFx, et les calculer. ´ 2.EidutalreergeconvelasnceddeFee´irreeduoirFxpourxtd[e;1]0nimrete´asre somme. +X 1 2x1 3.iude:er´dnEx]0; 1[,cotanπx=. 2 2 πx πnx n=1  ! n  2 Y xsinπx ´ 4.Etablir :x]0; 1[,1. nk πx k=1 3
5.nest:esedulrmeml´mpcode´dnEofaleriu π x]0; 1[,Γ(x) Γ(1x) =. sinπx 6.´Diudeeder:.5 Z +π 2 t e dt=. 02 7.a.:lasee´rgsinterlelculCa Z1Z1 2 2 ln sinπxdxet lncosπxdx 0 0 Z 1 (onpourrafaireintervenirlinte´gralelnsinπxdx). 0 7.b.E´endriud:e Z 1 1 ln Γ(x) dx= ln(2π). 02
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