Master Agregation Mathematiques Universite de Nice Sophia Antipolis UE5 Integrales a parametres

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Master 2 Agregation, Mathematiques, Universite de Nice Sophia-Antipolis, UE5 - 4 - Integrales a parametres. Etude de ∫ b a f(t, x) dt dans le cadre de l'integrale de Riemann Soit U un ouvert de Rn, E un espace de Banach, a < b deux reels et f : [a, b]? U ? E. On s'interesse a la regularite de ? : U ? E definie par ?(x) = ∫ b a f(t, x) dt. Th. 1, Resultat de continuite : On suppose que f est continue sur [a, b]?U . Alors ? est continue sur U . Th. 2, Resultat de derivation : On suppose que n = 1, que f est continue et admet une derivee partielle par rapport a la seconde variable (ici x) telle que ∂xf soit continue sur [a, b]? U . Alors ? est de classe C1 sur U et ??(x) = ∫ b a ∂xf(t, x) dt pour tout x ? U . Exercice 1 [Cours, Dvlpt] (Continuite et derivation dans le cadre de Riemann) 1) On cherche a demontrer le Th. 1. a) Rappeler la definition de l'uniforme continuite d'une application g entre deux espaces metriques (F, d) et (G, ?).

  • changement de variable ?

  • t2 dt ≥

  • resultat de continuite

  • cadre de l'integrale de riemann

  • theoreme

  • seconde variable

  • integrale

  • e?tx ? e?t

  • uniforme continuite de ∂xf

  • e?t2 dt


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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Master2Agr´egation,Mathe´matiques,Universit´edeNiceSophiaAntipolis, UE5  4 s.rent´eIsea`rgla`mteapar
Z b Etude def(t, x)dte´rgladedeleitneRiemannadrdacelsn a n SoitUun ouvert deR,Eun espace de Banach,a < besdte´leuerxf: [a, b]×UE. Z b Onsint´eressea`lare´gularite´deΦ:UEeepndi´Φ(arx) =f(t, x)dt. a Th.1,Re´sultatdecontinuite´:On suppose quefest continue sur [a, b]×U. AlorsΦ est continue surU. Th.2,Re´sultatded´erivation:On suppose quen= 1, quefeetcesed´eriv´atmdtenunoitunee partielleparrapporta`lasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b]×U. Z b 1Alors Φ est de classeCsurU(et Φx) =xf(t, x)dtpour toutxU. a Exercice1[Cours,Dvlpt](Continuit´eetde´rivationdanslecadredeRiemann) 1)Oncherche`ad´emontrerleTh.1. a)Rappelerlad´enitiondeluniformecontinuit´eduneapplicationgpsexsecartneuedeesetm´quri (F, d) et (G, δ). b) SoitxUetVun voisinage compact dexdansU. Conclureen majorantkΦ(x)Φ(y)kpour yassez proche dexdansV. 2)Oncherchea`de´montrerleTh.2. a)Rappelerlin´egalite´desaccroissementsnispourg: [a, b]FavecFun e.v.n. b) SoitxUetα < βtels quex[α, β]Uoiifrojrumsetcior`´ees)llauvnrecri(epatnniiu´Et. dexfsur [a, b]×[α, β]. c) At[s´xnadea, bΓo,]nitnd´et(y) =f(t, y)y∂xf(t, x). Soitε >qu’il existe0. Montrerη >0 tel que si|xy| ≤η, alorskΓt(x)Γt(y)k ≤ε|xy|pour toutt[a, b]. Z b Φ(x+h)Φ(x) End´eduireunemajorationdexf(t, x)dtpourhassez petit, et conclure. ha Exercice2(Calculduneint´egrale) Z π/2 2 2 2 On poseG(x, yln() =xsinθ+ycosθ)pour>x, y0. π0 a)Calculerlesd´eriv´eespartiellesdeG. 1 b) Ayse,e´xopnoF(x) =G(x, yque). MontrerFestCsur ]0,+[ et obtenir queF(x) = 2 ln(x+y) +Cpourx6=yavecCune constante.. c)End´eduirelavaleurdeG(x, y) pour toutx, y>0. Exercice 3(Un exemple classique) f(x)f(0) SoitfC(R,Renit).Ond´G:]0,+[RparG(x) =six6= 0. x a) Quelle valeur fautil pourG(0) afin queGsoit continue sur [0,+[ ? b) ExprimerGomcnteiunmee´rgladee´epdnnatduparam`etrex´dneiudeuqereetGestCsur (n) [0,+[. CalculerG(0). Exercice 4(Calcul de la Gaussienne) 2 2 Z(t+1)x 1 e Soitg: [0,+[Rein´dartpg(x) =dt. 2 01 +t
Z x 2 1t a) Montrer quegestCculdeireuncaldnetude´eg(x) en fonction def(x) =e dt. 0 Z +2 t b)Ende´duirelavaleurdee dt. 0 —————————————————— Z v(x) Etude def(t, x)dteredlni´tgeareldeRiemanndslanadec u(x) SoitUun ouvert deR,Eun espace de Banach,a < brxuelee´tesdf: [a, b]×UE. Soit u, v:U]a, b[. Z v(x) Onsinte´resse`alar´egularite´deΦ:UEΦ(arepnie´dx) =f(t, x)dt. u(x) Th.3,R´esultatdede´rivation:On suppose quefnoctunitse´eriuneddmeteetaperaeillaptr´vee rapporta`lasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b]×U. Onsuppose de plus queuetv.selbavisontd´er Z v(x) 1′ ′Alors Φ est de classeCsurUet Φ (x) =f(v(x), x)v(x)f(u(x), x)u(x) +xf(t, x)dtpour u(x) toutxU. Exercice5[Cours](De´rivationavecbornesvariables) Z v 2 a)Oncherchea`d´emontrerleTh.3.SoitH:]a, b[×UEein´dperaH(u, v, x) =f(t, x)dt. u 2 Etudierlesde´rive´espartiellesdeHE.dne´udriqeeuHusel]restdi´erentiaba, b[×U. ′ ′ b) On poseθ(x) = (u(x), v(x), x). Exprimerfonction deΦ endH,θetθet conclure. Z 2 x 1 c)Exemple:Calculerlade´riv´eedeF(x) =u(xt)dtavecude classeC. 0 Exercice 6(Exemple d’application) Z Z2 1x t1 1 Calculerdtcela, on posera. PourF(x) =dtraver]su0leuqdnoire´,1[ et on 0lntxlnt e´tudieralalimitedeF(x) en 1. —————————————————— Z b Etude def(t, x)dtpeeil´se´ar´gneralet´egneinouru a n SoitUun ouvert deR,Eun espace de Banach, [a, b]]− ∞,+] etf: [a, b[×UE. (On peutfairedese´tudessemblablespourf:]a, b]×UEavec [a, b][−∞,+[ etf:]a, b[×UE avec [a, b]R.) Z b Onsint´eressea`lare´gularite´deΦ:UEneiedp´arΦ(x) =f(t, x)dt. a Th.4,R´esultatdecontinuite´(viaCVU):On suppose quefest continue sur [a, b[×Uet que pour R β tout compactKdeU,f(t, x)dtconverge vers Φ(xme´esuntni)urmforKquandβb. a Alors Φ est continue surU. Th.4bis,Re´sultatdecontinuite´(viaDomination):On suppose quefest continue sur [a, b[×U R b et qu’il existe une fonction positivegtelle quegtocetgeernvanierv´kf(t, x)k ≤g(t),(t, x)a [a, b[×U. AlorsΦestbiende´nieetestcontinuesurU. Th.5,R´esultatdede´rivation(viaCVU):On suppose quen= 1, quefest continue et admet une de´rive´epartielleparrapporta`lasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b[×U. R β On suppose que pour toutxU, Φ(x) converge et que pour tout compactKdeU,xf(t, x)dt a convergeuniforme´mentsurKquandβb.
Z b 1Alors Φ est de classeCsurUet Φ(x) =xf(t, x)dtpour toutxU. a Th.5bis,Re´sultatded´erivation(viaDomination):On suppose quen= 1, quefest continue etadmetuned´eriv´eepartielleparrapport`alasecondevariable(icix) telle quexfsoit continue sur [a, b[×Usuppose que pour tout. OnxU, Φ(x) converge et qu’il existe une fonction positive R b gtelle quegconeevtevgratne´irkxf(t, x)k ≤g(t),(t, x)[a, b[×U. a Z b 1Alors Φ est de classeCsurU(et Φx) =xf(t, x)dtpour toutxU. a Remarque :On a rarement des majorations par une fonctiongvalables sur toutU. Commela continuite´etlade´rivationsontdespropri´et´eslocales,ilsutdavoircettemajorationlocalement pour conclure. Exercice7[Cours,Dvlpt](Continuite´etde´rivabilit´epourlesinte´gralesg´en´eralise´es a`parame`tre) 1)Oncherchea`d´emontrerlesth´eor`emes4et4bis. a)Montrerleth´eor`eme4. b)Onseplacemaintenantdansleshypoth`esesduth´eor`eme4bis.MontrerqueΦestbiend´enie surU. Z bn c) Pourbnbaveca < bn< b, montrer quef(t, x)dtcnoustnr´emeformeunivergUvers a Z b f(t, x)dtet conclure. a 2)Montrerdemeˆmelesth´eor`eme5et5bis. Exercice8(Calculduneint´egrale) Z +sin(tx) SoitF(x) =dt. 2 0t(1 +t) ′′ a) Montrer queFsedtuefxiodse´irblvaures]0,+[ et queF(x)F(x) est constante pour x >0. Z +cos(tx) b)Ende´duireF(x) etdt. 2 01 +t Exercice9(Calculduneinte´graleII) Z txt +ee Pourx >0, on poseG(x) =dt. 0t a) Montrer queGtbesndieqsiueune´p,eiGablesur]std´erive0,+[. CalculerG(x). Zatbt +ee b)Ende´duirelavaleurdeG, puis celle deI(a, b) =dtpour>a, b0. 0t Remarque:lint´egraleI(a, b)`imerpalumroferemoladeleennyepueatsuisesaclculer`alaidede (voir Gourdon). Exercice10(Calculduneint´egraleIII) Z +2 tCalculerF(x) =ecos(tx)dt. (EtudierF.) 0 Exercice 11(Avec Cauchy uniforme) Z +2 +ixt Pourf: [1,+[Resopno,etnassoicr´edF(x) =e f(t)dtque. MontrerFest bien 1 d´enieetcontinuesur]0,+[. Exercice 12[Dvlpt] (Fonction Gamma) Z +t x1On pose Γ(x) =dte teMeoni.ed´ueenrbqirsetΓntetCsur ]0,+[. 0
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