Master de Mathematiques Universite de Lyon Annee

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Master 2 de Mathematiques Universite de Lyon Annee 2010/2011 Exercices sur les formes modulaires, 2 Exercice 1. Une identite entre fonctions modulaires. On s'interesse a la serie ∑ n?Z 1 cos(npiz) pour z dans le demi-plan de Poincare H ; on note f(z) la fonction somme de cette serie. On introduit aussi p(z) = eipiz, de sorte qu'on peut ecrire la fonction ? : z 7? ∑ n?Z eipin 2z sous la forme ?(z) = 1 + 2 ∑ n≥1 p(z)n = 1 + 2 ∑ n≥1 pn. Pour cet exercice, on admet que la fonction reelle d'une variable reelle x 7? 1 cosh(pix) est egale a sa transformee de Fourier. 1) Justifier que la fonction f est une fonction holomorphe sur H qui satisfait : f(z+ 2) = f(z) pour tout z ? H. 2) Prouver qu'on a : f(?1 z ) = ( z i )f(z) pour tout z ? H. 3) Demontrer l'identite : ∑ n?Z 1 cos( ?pi(u+n) z ) = z i ∑ n?Z e2ipinu cos(pinz) pour tout z ? H et tout u ? R.

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Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Master2deMath´ematiques Universite´deLyon Ann´ee2010/2011
Exercices sur les formes modulaires, 2
Exercice1.Uneidentite´entrefonctionsmodulaires.nOsni´tlas´erieeresse`a X 1 pourzrae´iocndnPemidela-pdalensH; on notef(z) la fonction somme de cette cos(nπz) nZ X2 iπz iπnz s´erie.Onintroduitaussip(z) =eroseuqetpno´tue,decrirelafonctionθ:z7→e nZ X X n n sous la formeθ(z) = 1 + 2p(z1 + 2) =p. n1n1 1 Pour cet exercice, onadmetabrir´leuedvane´rnolleeofalitcnqeueellex7→leest´ega cosh(πx) `asatransforme´edeFourier. 1) Justifier que la fonctionfest une fonction holomorphe surHqui satisfait :f(z=+ 2)f(z) pour toutzH. 1z 2) Prouver qu’on a :f= (( ))f(z) pour toutzH. z i X X 2iπnu 1z e 3)De´montrerlidentit´e:=pourtoutzHet toutuR. π(u+n) icos(πnz) cos( ) nZz nZ 4)Quellefonctionsimplementconstruite`apartirdeθe´setauqselemeˆmontillnensioncfov´ereisquecellese´nonce´esen1et2? X n 5)Justierquonpeute´crire:f(z) = 1 + 4anp,uo`anidalre´ecnertneelenombreste nZ de diviseurs dend’un certain type et le nombre de diviseurs dend’un autre type. X 2n 6)Justierquonpeut´ecrire:θ(z) =1 + 4bnp`u,obnest le nombre de couples (x, y) nZ 2 2 dansN1×Ntels quex+y=n. X 1 2 De´sormais,onveutde´montrer:()θ(z.) = cos(nπz) nZ 7)Quellecons´equencearithme´tiquetirerdecetterelation?    1 20 1 On note Γ le sous-groupe de SL2(Z)engendr´eparmselirtasecte. 0 11 0 8) Justifier qu’un domaine fondamental pour l’action de Γ surHpgrmohoaroenstedsehina´p par : FΓ={zH: 0Re(z)2,|z| ≥1 et|z2| ≥1}. 1
Faire un dessin. On admet provisoirement que la fonctionθne s’annule pas surHcnitnoteonconsid`erelafo f(z) surHarep´deing:z7→ 2 θ(z) 9)Justierquepourvoirquecettefonctionestconstantee´galea`1,ilsutdevoirquelleest holomorphe surHet telle que : 1 limg(z) =limg(1) = 1. Im(z)+Im(z)+z On veut maintenant prouver queθne s’annule pas surH. Onva utiliser la fonction de Y Y 1 1 2n2n1 12 24 Dedekindη:z7→p(1p) et la fonctionF:z7→z7→p(1 +p). Onadmet n1n1 1 l´equationfonctionnelle:F=( )F(z) pour toutzH. z 2 10) Justifier que l’on a :θ(z)Im(z)+η(z)F(z) . 2 11)Comparerdemˆemeθetη(z)F(zOn pourra utiliserun voisinage convenable de 1.) dans η(z) − −1 la formuleF(z+ 1) =e G(z)`ouG(z) =, et le calcul deG(2z)G( ). 24 z η(2z) Y 2n2n1 2 12)Ende´duirequonalaformuleθ(z) =(1p)(1 +p) , et qu’en particulier la n1 fonctionθne s’annule pas surH. Onrevientnalementauproble`medelidentit´e(). r X X z 2 iπn2 +2iπnt iπz(n+t) z 13) Justifier la formule :e=epour toutzHet touttR. i nZnZ 1 4z 1 2 14) Prouver queθ(1)pquand Im(z)+. 2 z i 1 15)Trouverune´quivalentsimilairepourf(1) quand Im(z)+. z 16) Conclure.
Exercice2.Identite´sdeJacobi.Odte´vnuererl:montcmoubliedaefJoar X2Y m m2n2n1 2n11 (∗∗)q w= (1q)(1 +q w)(1 +q w) mZn1 × pour toutqCde module<1 et toutwC. Y 2n2n1 2n11 1)Justierquonpeut´ecrireA(q, w(1) =q)(1 +q w)(1 +q w) sous la forme n1 X n A(q, w) =an(q)w. nZ 211 2) Justifier queA(q, qw) =q w A(q, w). 2 n 3)Ende´duirequean(q) =q a0(q) pour toutnZ. 4) Conclure en faisantw= 1.
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Y X(3m+1)m n m 5)Entirerlidentite´dEuler:(1q() =1)q. 2 n1mZ Y Xm(m+1)Xm(m+1) n3m m 6)Entirerlidentite´:(1q) =(1)mq= (1) (2m+ 1)q. On 2 2 n1mZmN 1 1 pourra remplacerqparqetwparq wdans la formule de Jacobi (∗∗) et faire apparaˆıtre 2 2 unede´rive´een1parrapporta`lavariablew.
Exercice 3.Sommes de Gauss.On souhaite calculer certaines sommes de Gauss par une me´thodeduea`Dirichlet(1835). X 2 ak On rappelle que pouraZetnun nombre entier1, on noteGu(a, n) =u, kmodn o`uuest une racine primitiventatonalenoie;t´niuisilutoni`emedel-G(a, n) pour le choix 2u=e. Soitf2: [0;π]Cunitrapecromxuaeunonefioctonncrevie´e,poss´edantuned´ n `adroiteen0eta`gaucheen2π. PourtouthZ, on introduit le coefficient de Fourier : Z 2π 1 iht ch(f) =f(t)edt. 2π 0 NZ +X 2 ix 1) Rappeler ce que vautlimch(fustj)e´tgearelecedlnionvergentierlacedx. N+−∞ h=N 2 x i Onposed´esormaisf(x) =e, ainsi quefk(x) =f(x+ 2) pour toutkZ. 2πn     1 11 2)V´erierqueG(1, n) =f0(0) +f0(2π) +f1(0) +f1(2π) +. . .+fn1(0) +fn1(2π) . 2 22 Z 2Xx2 1 iihx 3) Prouver queG(1, n) =edx. 22π 0 hZ Z Z X(xn2h π)X(xn(2h+1)π) 2002202 in i 4) Prouver que 2πG(1, n) =edx+i edx. 2200000 hZhZ Z +2 n ix 5)End´eduireque2πG(1, n) = (1 +i) 2πn edx. −∞ Z Zr ++π 2 2 6)End´eduirequecos(x)dx= sin(x)dxque= etG(1, n) vaut respective-2 −∞ −∞ √ √ment (1+i)n,n, 0,i nsuivant quenestcongru`a,1,03uo2udom.4ol
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