MAT432 Controle Classant du Novembre

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
MAT432 : Controle Classant du 13 Novembre 2003 Une copie ou un des problemes ou exercices est traite a fond aura une meilleure note qu'une copie qui ne traite que les questions les plus faciles de chaque probleme ou exercice. Les references au cours sont admises, mais de- vront etre precises Exercice I : Montrer la convergence et calculer l'integrale suivante : I = ∫ +∞ 0 log(x) (1 + x)4dx. Exercice II : On note ? le reseau Z2 de R2 et f une fonction de L2? (avec les notations du livre). On ecrit son developpement de Fourier sous la forme : f(x, y) = ∑ (m,n)?Z2 amne2ipi(mx+ny). 1) Montrer que la serie ∑ (m,n)6=(0,0) 1 (m2+n2)2 converge. 2) En deduire que, si ∑ (m,n)?Z2(m2 + n2)2|amn|2 < +∞, alors f est continue (indication : on adaptera une preuve faite en cours dans le cas unidimensionnel). Exercice III : On considere l'operateur A defini sur L2(R) par : f ? L2(R), A(f) = af ou a est la fonction definie par a(x) = 11+x2 .

  • coefficients de fourier de la derivee z

  • pi-periodique

  • ieme coefficient de fourier de la fonc- tion periodique

  • l2 ≥

  • ?? tz

  • tion des cn


Publié le : samedi 1 novembre 2003
Lecture(s) : 8
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 4
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MAT432:ContrˆoleClassant du 13 Novembre 2003 Unecopieou`undesproble`mesouexercicesesttraite´ a`fondauraunemeilleurenotequunecopiequinetraite quelesquestionslesplusfacilesdechaqueprobl`emeou exercice.Lesr´efe´rencesaucourssontadmises,maisde-vrontˆetrepr´ecises
Exercice I :vnocegreeecnlactMtronlaereculerlint´egral suivante : Z +log(x) I =dx. 4 (1 +x) 0
2 2 Exercice II :etonnO´eseΓlerauZdeRetfune 2 fonction deLe)vrn´.Onsiolidunseltato(cevaceirstno Γ d´eveloppementdeFouriersouslaforme: X 2(mx+ny) f(x, y) =amne . 2 (m,n)Z P 1 1)Montrerquelas´erie22 2converge. (m,n)6=(0,0) (m+n) P 2 22 2 2)End´eduireque,si2(m+n)|amn|<+, (m,n)Z alorsfest continue (indication :on adaptera une preuve faite en cours dans le cas unidimensionnel).
Exercice III :ocnOetrura´eoplre`eidnsAnsirude´ 2 L(R) par : 2 fL(R), A(f) =af 1 ou`asefaltn´epariectonndioa(x) =2. 1+x 1) Montrer queAa-jduaot.iotnteur´erainuecontponutse 1
2) Montrer queAn’a aucune valeur propre. 3) Montrer queAλest inversible pourλ,r´eelλ6∈[0,1]. 4) Montrer que, si 0< λp´oaterrue,l1Aλn’est pas 1 surjectif (ruarnoopid´econsrerx0tel queλ=2). 1+x 0 5)D´eterminerlespectredeA. 1/2 Pour simplifier les notations nous poseronsF1= (2π)F 1/2 etF1= (2π)F. 2 6) PourfL(R), on pose
R(f) =F1(aF1(f)).
Montrer queR´preutonsenutie.euatonrc 7)De´terminerlespectredeR. 2 8) On suppose quefCteuqse`auvire´dseqsujsee´ lordre2sontdecarre´sommable,calculerR((I+ Δ)(f)), 2 2d f ou`Itienedt´etsedilL(R) et Δ(f) =2. dx
Probl`emeI:lafonctionGamma. 1) PourtR,t >0´x,euqlesepromeihedtlaiomdneloho z de la fonctionz7t? 2) Pourzoecn´x`drenoisctonafel]0den,io,+[ dans C: t z1 t7.e t Montrerquecettefonctionestint´egrablesur]0,+[, d`esqueRe(z)>0.
On pose alors Z +t z1 Γ(z) =e tdt. 0
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3) Montrer que la fonction Γ est holomorphe sur le demi-planRe(z)>0. (Oansruocudeme`reoh´ntauerqulipp enve´riantleshypoth`eses). 4) Pourxr´tisimof,rentuerqsleecirtemetoptn
Γ(x+ 1) =xΓ(x).
5)End´eduireque,pourRe(z)>0, on a Γ(z+ 1)= zΓ(z). 1 1 6) Calculer Γ(1), Γ() puis Γ(n) et Γ(npour+ ),nentier 2 2 strictement positif. 7) On pose, Γ(z+n) f(n, z) = (z+n1)∙ ∙ ∙(z+ 1)z pournest le domaine d’holomorphie deentier. Quel f(n, z)? 8) Montrer quef(n+p, z) =f(n, z) pour toutn, pen-tiers positifs et pourzassez grand. 9) Montrer que Γ se prolonge en une fonction holomor-phe surC\ {−N}a`d-se-t(crsue,irCde´eivprsreitnes ne´gatifsounuls).
Probl`emeII:lin´egalit´eisop´erim´etrique. SoitDun compact connexe par arc deC. Onsuppose quesonbordoriente´estconstitue´duneseulecourbede 1 classeC,not´eeC. OnnoteLla longueur deCetA l’aire deDsuppose la courbe. OnCunerapee´rte´marap
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fonction 2π-p´eridoqieu, z: [π, π]−→C s7z(s)
1 1) Posonsω= (xdyydxen,ligiucvrarelt´eglinimerExpr.) R 2 ω, en fonction deA. C 2) On notecnlen-ieoceme`Fedtneicdeerriou-ncfola tionpe´riodiquezge´tila:e´.Quelestlesensdel X ins z(s) =cne? nZ
0 3)CalculerlescoecientsdeFourierdelad´erive´ezde z(en justifiant leur existence). 0 4) CalculerAen fonction du produit scalaire (z|z) (pro-2 duit scalaire dansL([π, π])).On utilisera la question 1. 5) Donner, en la justifiant, une expression deAen fonc-tion descn. On suppose maintenant que la courbeCrapeer´etm´rapa, l’intervalle [π, πtean.notsssceiveteua`courtpar],es 6) Exprimer cette vitesse en fonction deL. 7)Exprimerlecarr´edelalongueurenfonctiondescn. R π 02 (on calculeraindication :|z(s)|dsersine`xuamdede π die´rentes). 8)Enutilisantlesquestions5et7,de´montrerlin´egalit´e 2 isop´erime´triqueL4πA. 1 9) Quels sont les coefficients de Fourier des courbesC quire´alisentle´galit´e?D´ecrirecescourbes.
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