MATH II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


00 MATH. II - MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2000 MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE FILIÈRE MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP. L'emploi de la calculette est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Le but de ce problème est d'établir que le réel ln2 est irrationnel. 1. Fonction h : Soit la série entière de terme général unx, n = 0,1,2, ... définie par la relation suivante : unx = C2nn xn. Rappel : pour tout entier strictement positif n et tout entier naturel p tel que 0 ? p ? n, Cnp = n p est le cardinal de l'ensemble des parties ayant p éléments d'un ensemble de n éléments.

  • réel

  • signe des réels

  • entier

  • expression de hx sur l'intervalle ouvert

  • intervalle ouvert de convergence

  • pnqn ?

  • coefficients bn

  • filière mp

  • candidats de la filière mp


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : maths-france.fr
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00 MATH. II - MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES
DEUXIÈME ÉPREUVE
FILIÈRE MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE EIVP.
L’emploi de la calculette est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la
copie : MATHÉMATIQUES II - MP.
L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 6 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Le but de ce problème est d’établir que le réel ln2 est irrationnel.
1. Fonction h :
Soit la série entière de terme général u ´xˆ, n = 0,1,2,... définie par la relation suivante :n
n nu ´xˆ = C x .n 2n
Rappel : pour tout entier strictement positif n et tout entier naturel p tel que 0 ? p ? n,
np
C = est le cardinal de l’ensemble des parties ayant p éléments d’un ensemble de nn
p
0éléments. Par convention : C = 1.0
Soit R le rayon de convergence de la série entière de terme général u ´xˆ ; la somme h den
cette série entière est la fonction définie à l’intérieur de l’intervalle ouvert ?R, R par la
relation :
n nh´xˆ = C x .> 2n
n 0
a. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme général u ´xˆ.n
b. Démontrer que, sur l’intervalle ouvert de convergence ?R, R , la fonction h vérifie
l’équation différentielle linéaire du premier degré.
´1? 4xˆ h´´xˆ = 2 h´xˆ.
1/6-
=Kc. En déduire l’expression de h´xˆ sur l’intervalle ouvert ?R, R .
2. Fonctions M :p
Soit p un entier strictement positif ´p ? 1ˆ ; soit M la fonction définie sur la demi droitep
ouverte ?K,1 parlarelation:¯ ˜
1M ´xˆ = .p p´1? xˆ
Déterminer le développement en série entière de la fonction M dans un voisinage de 0.p
p 1k kExprimer le coefficient de x àl’aidedeC = Cp k 1 p k 1
3. Fonction f :
Soit f la fonction définie par la relation :
1f´xˆ = .
21? 6 x+ x
a. Quel est l’ensemble de définition D de la fonction f ?f
b. Déterminer pour quelles valeurs du réel x la relation suivante
1 xf´xˆ = .h .
21? x ´1? xˆ
est vérifiée. En déduire que, dans un voisinage de 0, la fonction f est égale à la somme d’une
série de fonctions f ,n = 0,1,2,..., définies par la relation :n
nf ´xˆ = V M ´xˆ x .n n 2n 1
LesV sont des scalaires qui seront déterminés ; il vient par suite :n
nf´xˆ = V M ´xˆ x .> n 2n 1
n 0
c. Déduire des résultats précédents l’existence d’un développement en série entière de la
fonction f dans un voisinage de 0 :
nf´xˆ = a x .> n
n 0
Exprimer chaque coefficient a à l’aide de la somme d’une série. Préciser le rayon den
nconvergence de la série entière de terme général a x ,n = 0,1,2....n
d. Démontrer que la fonction f vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre :
a´xˆf ´´xˆ+ b´xˆf´xˆ = 0,
dans laquelle les deux fonctions a et b sont des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. Les
déterminer.
e. En déduire que les coefficients a ,n = 0,1,2,... du développement en série entière de lan
fonction f vérifient, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, la relation de récurrence (R) suivante
:
2/6-
??K+++==?K+´Rˆ -n ? 1, n+ 1 a ? 3 2n+ 1 a + na = 0.´ ˆ ´ ˆn 1 n n 1
Déterminer les coefficients a , a , a et a .0 1 2 3
4. Fonction g :
Le but de cette question est la recherche d’une fonction g qui possède les deux propriétés :
i. les valeurs de g´0ˆ et de g´´0ˆ sont données par les relations suivantes :
g´0ˆ = 0, g´´0ˆ = 1.
nii. le réel g´xˆ est la somme d’une série entière de terme général b x , n = 0,1,2, dont lesn
coefficients b , n = 0,1,2, vérifient la relation de récurrence suivante :n
´Rˆ -n ? 1, n+ 1 b ? 3 2n+ 1 b + nb = 0.´ ˆ ´ ˆn 1 n n 1
a. Démontrer que les coefficients b ,n = 0,1,2, sont bien déterminés ; calculer b , b , b etn 0 1 2
b .3
nEn supposant le rayon de convergence de la série entière de terme général b x , n = 0,1,2,n
strictement positif, déterminer une équation différentielle du premier ordre vérifiée par la
fonction g .
b. Etablir la relation :
x
g´xˆ = f´xˆ.X f´tˆ dt.
0
c. En déduire l’expression de chaque coefficient b au moyen des coefficientsn
a , k = 0, 1,2,..,n. En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière dek
nterme général b x , n = 0,1,2,...n
d. Soit n un entier strictement positif ; soit d le plus petit commun multiple des n premiersn
entiers 1,2,..., n. Démontrer que le réel d .b est un entier relatif : d .b 5 Zn n ´ n n ˆ
5. Etude des suites a et b :´ ˆ ´ ˆn nn N n N
Soit ´u ˆ la suite des réels définis par la relation suivante : pour tout entier n strictementn n 1,2,..
positif :
u = b a ? b a .n n n 1 n 1 n
a. Calculer u et u . Exprimer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, le terme u en1 2 n 1
fonction de l’entier n et de u . Etudier le signe des réels u , n = 1,2,..., et la monotonie de cetten n
suite. Déterminer le plus petit des majorants C de cette suite.
bnb. Démontrer que la suite des nombres réels est définie et strictement croissante ;an n N
déterminer, pour tout entier n strictement positif une majoration de la différence
b bn n 1?a an n 1
bnàl’aidedelaconstanteC et des deux réels a et a . En déduire que la suite estn n 1 an n N
convergente. SoitV la limite de cette suite :
3/6-
5?+?5??=5?+?+5?bnV = lim .an
n
6. Détermination de la limiteV :
SoitP un réel strictement positif donné. D’après la question précédente, il existe un entier N
tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, le rapport b /a est encadré parV?P etV+P:n n
bnV?P ? ? V+P .an
a. Démontrer que, lorsque le réel x tend vers 3 8 par valeurs inférieures, les deux fonctions
f et g croissent vers l’infini.
Soient f , g , U et V les fonctions définies par les relations suivantes :N N N N
N N
n nf ´xˆ = a x , g ´xˆ = b x , U ´xˆ = f´xˆ? f ´xˆ, V ´xˆ = g´xˆ? g ´xˆ.N > n N > n N N N N
n 0 n 0
b. Démontrer, lorsque le réel x est compris entre 0 et 3- 8 x 5 0, 3 8 ,
l’encadrement suivant :
V ´xˆNV?P ? ? V+P .
U ´xˆN
c. Démontrer que, pour tout entier naturel N donné, il existe une constante A qui majore les
deux fonctions f et g sur le segment 0, 3 8 .N N
En déduire que la fonction x — g´xˆ/f´xˆ a pour limiteV lorsque le réel x tend vers 3 8 par
valeurs inférieures.
d. Déterminer le réelV en admettant la relation ci dessous :
3 8
dx ln2= .X
20 21? 6 x+ x
7. Un équivalent du réel a àl’infini :n
SoitJ un réel strictement positif donné ; soit ´v ˆ la suite des réels définis par la relationn n N
suivante :
v = n .a .n n
a. Démontrer qu’il est possible de choisir le réelJ et deux suites A et B , qui ont´ ˆ ´ ˆn nn 1 n 1
chacune, lorsque l’entier n croît vers l’infini, une limite finie, tels que la suite v vérifie,´ ˆn n N
pour tout entier n supérieur ou égal à 1, la relation de récurrence suivante
1v ? 6 v + v = A .v + B .v .n 1 n n 1 ´ n n n n 1ˆ2n
b. Soit w la suite qui vérifie les relations suivantes´ nˆn 0,1,2,...
4/6-
+??=?55???J=K=w = 0, w = 3, -n ? 1, w ? 6 w + w = 0.0 1 n 1 n n 1
Déterminer les réels w ; en déduire un infiniment grand équivalent à w à l’infini.n n
c. En admettant que les deux réels v et w sont équivalents à l’infini, en déduire unn n
infiniment grand équivalent à a lorsque l’entier n croît indéfiniment.n
8. Le réel ln2 n’est pas rationnel :
Soit u le réel défini par la relation :
u = ln 3+ 8 .
a. Démontrer l’existence d’un entier N et d’une constante positive K , tels que, pour tout1 1
entier n supérieur ou égal à N , il vienne :1
nu nu1 e eK ? a ? 2 K .1 n 12 n n
b. A l’aide de la majoration démontrée à la question 5.d, établir qu’étant donné un réel a
strictement compris entre 0 et 2 ´0 < a < 2ˆ, il existe une constante K , telle que, pour tout2
entier n supérieur ou égal à N , l’encadrement ci dessous a lieu :1
bn anu0 ? V? ? K e .2an
c. Il est admis que le nombre N´nˆ des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier n
ndonné est un infiniment grand équivalent à :
ln n
nN´nˆ i .
lnn
En déduire qu’il existe un entier N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N ´n ? N ˆ,2 2 2
la relation ci dessous ait lieu.
1,1.nd ? e .n
d. Soient p et q les entiers (premiers entre eux) définis par les relations suivantes :n n
p = d .b ; q = d .a .n n n n n n
Démontrer l’existence d’un réel r, strictement positif, d’une constante K et d’un entier N3 3
tels que, pour tout entier n supérieur ou égal à N , l’encadrement ci dessous ait lieu.3
p Kn 30 ? V? ? .q r 1n ´q ˆn
Le résultat ci dessous est admis :
u0,61 < < 0,62.
u+ 1,1
e. Démontrer que, siV est rationnel, il existe une constante L, strictement positive, ne
dépendant que du rationnelV, pour laquelle l’inégalité ci dessous est vérifiée.
5/6-
?+?+pn LV? ? .q qn n
f. En déduire que le réel ln2 est irrationnel.
FIN DU PROBLÈME
6/6-

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