Mathématiques MA32 Résumé de cours et TD

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  • cours - matière potentielle : utiles
Mathématiques MA32 Résumé de cours et TD DUT Génie Electrique 2ème année 1 Suites numériques ..................................................................................................................................................2 2 Suites de fonctions .................................................................................................................................................4 3 Séries numériques ..................................................................................................................................................5 4 Séries entières .........................................................................................................................................................7 5 Transformée en Z ...................................................................................................................................................9 6 Applications de la transformée en Z ....................................................................................................................11 7 Applications de la transformée en Z (suite) .........................................................................................................13 NOTE : Ce document contient les énoncés de travaux dirigés ainsi que des rappels de cours utiles pour résoudre les exercices proposés.
  • série entière
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  • nx nx
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Publié le : mardi 27 mars 2012
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Mathématiques MA32
Résumé de cours et TD
DUT Génie Electrique
ème2 année
1 Suites numériques .............................................................................................................................. .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . 2
2 Suites de fonctions ............................................................................................................................. .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . 4
3 Séries numériques . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . 5
4 Séries entières ........................................................................................................................................................ . 7
5 Transformée en Z .................................................................................................................................... . .. . . .. . . . . . . . . 9
6 Applications de la transformée en Z ................................................................................................ . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7 Applications de la transformée en Z (suite) .......................................................................................... . . . . . . . .. . . . . . . 13
NOTE : Ce document contient les énoncés de travaux dirigés ainsi que des rappels de cours utiles pour résoudre
les exercices proposés. Il ne vous dispense pas de connaître les formules trigonométriques et les relations
usuelles.
P-A DEGRYSE
A. KIBANGOU
B. RAISON
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1 Suites numériques
1.1 Définition
Une suite réelle est une fonction de N dans . Elle est définie de façon :R
u = f (n)• explicite si ;n
u = f (u ), u connu• par récurrence si on a .n + 1 n 0
Remarque :
n n nPour démontrer qu’une propriété est vraie pour tout , on démontrer la propriété pour .0 0
nOn démontrer ensuite que si la propriété est vraie pour n 1 , alors elle est vraie pour .
1.2 Propriétés
u M : u M , n• est majorée si ;n n
u m : u m, n• est minorée si ;n n
u• est bornée si elle est majorée et minorée ;n
u u (> ) u• est (strictement) croissante si ;n n + 1 n
u u (< ) u• est (strictement) décroissante si ;n n+ 1 n
• Une suite croissante ou décroissante est dite monotone ;
u u > 0, n• est à termes positifs si ;n n
u u u < 0, n• est alternée si ;n n n + 1
limu = u, finiu• est convergente si n ;n n
u• est divergente si elle n’est pas convergente.n
1.3 Théorèmes
u u• convergente bornée ;n n
u u• bornée / convergente ;n n
u u• croissante et majorée convergente ;n n
u u• décroissante et minorée convergente ;n n
Remarque : suites adjacentes
u v u v n v uSi est une suite croissante, est une suite décroissante, si pour tout et la suite converge n n n n n n
u vvers 0, alors les suites et sont dites adjacentes. Elles sont convergentes et de même limite.n n
1.4 Suites types
u = u + r, r 0• suite arithmétique de raison r: ; toujours divergente.n + 1 n
u = qu q < 1• suite géométrique de raison q : ; convergente si : .n + 1 n
1.5 Travaux dirigés
[1] Etudier la convergence des suites définies par leur terme général :
2n 1 ln n3 2 2u = , u = n 2n , u = , u = n nln nn n n n
3n + 5 n
[2] Etudier la convergence des suites définies par leur terme général :
1 1 1
u = nsin , u = ncos , u = n + 1 n, u =
n n n n nn n n + ( 1)
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[3] Etudier la convergence des suites définies par leur terme général :
n
1/ n 1n n nu = 2 + 3 , u = n, u = 1 +( )n n n
n
[4] Raisonnement par récurrence : démontrer l’inégalité de Bernoulli :
nx > 0soit , pour tout n N , 1 + x 1 + nx( )
2nn 6[5] Raisonnement par récurrence : démontrer que pour tout , 2 n + 2( )
n n
n 1 4k 2 = n + k[6] Raisonnement par récurrence : démontrer que pour tout , ( ) ( )
k = 1 k = 1
3
u u = 0 v[7] Soit la suite définie par et u = u + 4 . Soit la suite telle que pour tout n N , n 0 nn + 1 n4
v = u 16 .n n
u ,u ,uCalculer .1 2 3
3 y = xDéterminer le point d’intersection des droites d’équation y = x + 4 et et représenter graphiquement
4
ules premiers termes de la suite .n
vMontrer que la suite est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.n
v uDéterminer la limite de et en déduire celle de .n n
u = cosn[8] Montrer que la suite , , est divergente.n Nn
u = cos n + 1 + 1 u = cos n + 1 1 u + uIndication : calculer ( ( ) ) et ( ( ) ) puis . Passer ensuite à la limite. n + 2 n n + 2 n
u u u = cosnCalculer ensuite en fonction de et passer également à la limite. En déduire que la suite 2n n n
n’admet pas de limite.
u = sin n[9] Même question avec la suite .n
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2 Suites de fonctions
1. Définition.
f (x)Le terme général se note où x est la variable et n le numéro de l’élément de la suite.n
2. Propriétés.
lim f (x) = f (x), x I f (x)n n• Si , on dit que converge simplement vers f(x) sur n
I.
f (x ), x I• convergence simple convergence de la suite numérique n 0 0 .
lim[sup f (x) f (x)]= 0
n f (x)• Si n , on dit que n converge uniformément vers f(x) x I
sur I.
3. Théorèmes.
f (x)n• Si sur I, est continue et converge uniformément vers f(x), f(x) est continue
sur I.
f (x) lim f (x)dx = f (x)dx• Si sur I, est continue et converge uniformément vers f(x), alors .nn n I I
'f (x)• Si sur I, est dérivable et converge simplement vers f(x), et si f (x) converge n n
' '' f (x) = lim f (x)f (x)uniformément sur I vers , alors n
n
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3 Séries numériques
3.1 Définition
uSoit la suite telle que définie au chapitre précédent.n
n
uOn appelle série de terme général , la suite des sommes partielles S = u . n n kk = 0
SOn dit que la série converge si converge. Alors S = u . Dans le cas contraire, la série diverge.n kk = 0
3.2 Condition nécessaire de convergente
limu = 0uSi la série est convergente alors n .k n
3.3 Remarques
limu 0n u• la réciproque de ce théorème est fausse. En outre, si alors diverge.kn
limu = 0n• n’implique pas que la série converge.
n
3.4 Séries types
kq < 1 S = q = 1/(1 q)• géométrique : convergente si . Alors
k = 0
• à terme de signe quelconque :
n n
o La série u est absolument convergente si u est convergentek kk = 0 k = 0
o Convergence absolue convergence
o Convergence / convergence absolue
u• alternée : convergente si la suite est décroissante vers 0.n
• à termes positifs :
L < 1, convergence.nCritère de Cauchy : L = lim u
n
n L > 1, divergence.o .
Critère de d'Alembert : L = limu un+ 1 n L = 1, pas de conclusion.n
convergente si >11/ n• de Riemann : n = 1 {divergente si 1
Remarque :
n n
S = u S ' = v u vSoit et deux séries à termes positifs tels que à partir d’un certain rang K. Si n k n k k kk = 0 k = 0
S ' S S S ' converge alors converge aussi. Si diverge alors diverge aussi.n n n n
3.5 Notations
n
u u S = u SAttention, on a pris soin de noter le terme général ou et la série . Le terme est obtenu en n k nn kk = 0
u k = 1 à nsommant les différents pour .k
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3.6 Travaux dirigés
n
S = u[1] Etudier la convergence des séries admettant pour terme général :n kk = 0
2k + k 2u = cos(1/ k) , u = (critère de Riemann)k k 4k 3k
n
S = 1/ k u = 1/ k[2] Démontrer que la série ( ) diverge.n kk = 1
n !k
S = u u =[3] Etudier la convergence de la série admettant pour terme général (critère de n k k kk = 0 k
d’Alembert)
n kS = u[4] Etudier la convergence de la série admettant pour terme général u = (critère de n k k kk = 0 a
d’Alembert) avec a>0 et R
k
n 2k + 1S = u[5] Etudier la convergence de la série admettant pour terme général u = (critère de n k kk = 0 3k 2
Cauchy)
k
n 1( )S = u[6] Etudier la convergence de la série admettant pour terme général u =n kk = 1 k k
n 2
kS = u[7] Etudier la convergence de la série admettant pour terme général u = en k kk = 0
2
u =[8] Démontrer que la série de terme général converge. Calculer sa somme (sa limite).k 24k 1
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4 Séries entières
4.1 Définition.
nf (x) = a x aOn appelle série entière (de la variable x) une série de la forme . Dans cette série est une suite n n
n = 0
de nombres réels et x la variable réelle. On appelle somme partielle de la série entière le polynôme de degré n
n
nS = a xdéfini par .n n
k = 0
aTout ce qui suit est valable pour x et complexes.n
4.2 Propriétés
• Rayon de convergence : c’est le réel R tel que pour :
o x < R la série converge.
o x > R la série diverge.
o x = R pas de conclusion a priori
• La somme ou le produit de deux séries entières de rayon de convergence R et R est une série entière 1 2
min(R ,R )de rayon de convergence .1 2
x < R• constitue le domaine D de définition de f(x).
• Dans D, la série entière converge absolument et uniformément.
f (x)• Dans D, est continue, dérivable et intégrable. Les séries « dérivée » et « intégrée » ont même
rayon de convergence. De plus :
n 1f '(x) = na x
nn = 1x D b b
nf (x)dx = a x dx
nn= 0a a
Ce qui signifie que ces séries sont intégrables et dérivables terme à terme.
4.3 Calcul du rayon de convergence R
1Critère de Cauchy : R = lim
n an n
• anCritère de d'Alembert : R = lim
an+ 1n
• Remarque : Si ces limites existent, elles sont égales.
4.4 Exemples : développements en série usuels
1 2 n= 1 + x + x + ... + x + ...; R = 1•
1 x
x 2 ne = 1 + x + x 2 + ... + x n!+ ...; R =•
2 n + 1 nln(1 + x) = x x 2 + ... + ( 1) x n+ ...; R= 1•
3 n 2n+ 1sin x = x x /6 + ... + ( 1) x /(2n+ 1+)! ...; R=•
2 n 2ncos x = 1 x / 2 + ... + ( 1) x /(2n+)! ...; R=•
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4.5 Travaux dirigés
a[1] Pour les exemples du cours, donner l’expression des et retrouvez la valeur du rayon de convergence.n
n na x = ln x x[2] On définit une série entière à partir de son terme général ( ) . Déterminer le rayon de n
convergence de la série entière.
n
nxn a[3] On définit une série entière à partir de son terme général a x = . Donner l’expression de . nn n + 1
Déterminer le rayon de convergence de la série entière.
nxn 1na x = 1( ) a[4] On définit une série entière à partir de son terme général . Donner l’expression de n nn n + 1( )
. Déterminer le rayon de convergence de la série entière.
nxna x = a[5] On définit une série entière à partir de son terme général . Donner l’expression de . n n2n + 1( )
x = RDéterminer le rayon de convergence de la série entière. Analyser la convergence de la série pour
4.6 Remarque
Lorsqu’on a défini les séries entières, le passage à la « transformée en z » (notée TZ) est immédiat.
En effet, la définition de la transformée en z est :
Défintion
nF(z) = f z
n f = f (nT )On appelle transformée en z de f(t), la fonction F(z) définie par : , où et .z C n e
n
Zf (t) F(z)On écrit :
Zf F(z)ou bien { }n
Zf F(z)ou encore { }t
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5 Transformée en Z
5.1 Préliminaire
+Soit f(t), une fonction du temps, définie sur ou . On note f la suite des valeurs échantillonnées de f(t) R nR
f = f (nT )avec une période d’échantillonnage T . On a donc : .e n e
5.2 Définition
nF(z) = f znOn appelle transformée en z de f(t), la fonction F(z) définie par : , où ou C .z R
n
Z Z Zf (t) F(z) ou bien { f } F(z) ou encore { f } F(z)On écrit : n t
5.3 Existence
nF(z) = f z• Fonction causale. On a f(t)=0, t < 0. En conséquence : . C’est une série entière en nn = 0
1 dont le rayon de convergence est noté R (voir chapitre précédent). Il en résulte : z
1z < R z > 1/ R= R R = 1/ R. F(z) existe donc à l’extérieur d’un disque de rayon .1 1
+ 1
n nF(z) = f z f z• Fonction quelconque. On a alors : . La série entière converge pour n n
n = n =
z < R R < z < R. Donc globalement la transformée en z existe pour . F(z) existe donc dans une 2 1 2
couronne de rayons R et R .1 2
5.4 Propriétés
Zf (t) F(z), z D Z1 f (t+) g(t) + F(z) G(z), z D D• Z n 1 2g(t) G(z), z D
2
Zf (t)* g(t) = f g F(z).G(z)• t k kk =
z dF(z)
• t. f (t) z.T .e dz
Z kf (t kT ) z F(>z), k 0, retarde• Z + kf (t + kT ) z F(z>), k 0, avance
e
• Pour les signaux causaux, les relations qui changent sont :
t Zf (t)* g(t) = f g F(z).G(z)
t k kk = 0
k 1Z + k pf (t + kT ) z [F(z) f z ]
e pp = 0
et qui sont spécifiques :
lim f (nT ) = lim F(z)
e
n 0 z (théorèmes de la valeur initiale et finale)lim f (nT ) = lim(z 1)F(z), R 1e 1
n z 1
[1] Remarque : On a noté " * " le produit de convolution.
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5.5 Travaux dirigés
[1] Calculer la transformée en Z des fonctions suivantes :
f = 0 k< 4ka/ { f = 1 k 4
k
f = 1 pour k = 0,1kb/ { f = 0 ailleurs
k
f = 1 pour k = 2,4k
f = 0.5 pour k = 1,3c/ k
f = 0 ailleurs
k
f = 0 k< 0k(échelon unitaire) d/ { f = 1 k 0
k
[2] Rappelez la TZ d’un échelon unitaire et donner alors la relation qui permet de passer de la transformée de
l’échelon unitaire à la transformée de la question 1a/ ci-dessus. Retrouver alors le résultat obtenu.
y = .y + (1 ).u[3] Soit l’équation de récurrence .k k 1 k 1
Utiliser les propriétés vues en cours pour donner la relation entre Y(z) et U(z). En déduire la fonction de
H ( z ) = Y ( z ) /U ( z )transfert en z du système .
y uA partir de l’équation de récurrence, tracer lorsque est un Dirac, puis un échelon unitaire (pour k k
).= 0.5
A quoi correspond ce système ?
y = y 0.5y + 0.5u[4] Soit l’équation de récurrence .k + 1 k k 1 k 1
y uTracer la réponse indicielle (c’est-à-dire lorsque est un échelon unitaire).k k
H ( z ) = Y ( z ) /U ( z )A partir de l’équation de récurrence, donner l’expression de la fonction de transfert .
Quel est l’ordre du système (le degré de la fonction de transfert en z) ?
Donner les pôles de la fonction de transfert.
Y z( ) 1
H z = =( )[5] Soit un système échantillonné dont la fonction de transfert en z est .1 2U z 1 1.4z + 0.49z( )
Donner l’ordre du système (c'est-à-dire le degré du dénominateur de la fonction de transfert en z).
Donner les pôles du système.
y uDéterminer l’équation de récurrence (c’est-à-dire en fonction de ).k k
y uTracer lorsque est un échelon unitaire.k k
z 1u yU z = =En utilisant la transformée en z de ( ( ) ), déterminer la valeur finale de .k k1z 1 1 z
H z( )En déduire une manière simple de calculer le gain statique de .
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