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NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Mathematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-reponses du TD 3 Modeles dynamiques : autres exemples Exercice 1. : On suppose que l'on alimente un bassin d'elevage de poissons par un flux constant de larves dont ils se nourissent. La dynamique des deux populations de larves et de poissons dans ce bassins ressemble a celle d'un modele de Lotka-Volterra mais elle en differe par le fait que le taux de croissance intrinseque des larves n'est pas proportionel a la taille de cette population mais constant au cours du temps. On a donc dans ce cas un modele du type { x? = ?1 ? ?1xy y? = ??2y + ?2xy (1) ou x(t) repesente la taille de la population de larves (en milliers) et y(t) celle de la population de poissons. Ce type de modele s'appelle un modele ressource-consommateur. On suppose que ?1 = 20, ?1 = 0.04, ?2 = 0.75 et ?2 = 0.03. 1. Quel est, selon ce modele, le taux de mortalite par tete des poissons ? Que represente les coefficients ?1 et ?2 ? 2. Ecrire le systeme differentiel pour ce modele puis calculer les equations des deux isoclines x? = 0 et y'=0 et en deduire les coordonnees de l'equilibre.

  • taux de croissance intrinseque des larves

  • population initiale des scorpions rouges

  • bassin d'elevage de poissons

  • coordonnees des quatres points d'equilibre du systeme

  • scorpions noirs

  • dessin du champ

  • equilibre

  • point d'equilibre correspondant


Publié le : mardi 29 mai 2012
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NOM : PRENOM :
Date : Groupe :
Mathe´matiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-re´ponsesduTD3 Mode`lesdynamiques:autresexemples
. .
Exercice 1.:ppsoqeeunOusenteunbalonalimaveledegnisse´drupauxnisponssoedattnocsn larves dont ils se nourissent. La dynamique des deux populations de larves et de poissons dans ce bassins ressemble`acelledunmod`eledeLotka-Volterramaiselleendie`reparlefaitqueletauxdecroissance intrins`equedeslarvesnestpasproportionel`alatailledecettepopulationmaisconstantaucoursdu temps.Onadoncdanscecasunmod`eledutype 0 x=α1β1xy (1) 0 y=α2y+β2xy
o`ux(tatelntseeledllaitalupoparalednoives(enmilliers)etpee´r)y(t) celle de la population de poissons. Cetypedemode`lesappelleunmod`eleressource-consommateur. On suppose queα1= 20,β1= 0.04, α2= 0.75 etβ2= 0.03. 1.Quelest,seloncemode`le,letauxdemortalite´parteˆtedespoissons?Querepre´sentelescoecients β1etβ2?
0 2.Ecrirelesyste`medi´erentielpourcemode`lepuiscalculerles´equationsdesdeuxisoclinesx= 0 et y=0etend´eduirelescoordonne´esdel´equilibre.
3. Dans le quadrantx0, yneeldleess4r´aengsicohnsaqcuunisee,dtueixoslceracsdletr0 d´elimitentplacerune`echeindiquantladirectionduchampsdevecteursassocie´.
4.Peut-onende´duirelecomportementdesdeuxpopulationslorsquettend vers +?
1
1 5.Onobservequelesdeuxpopulationstendentversl´equilibrelorsquettend vers +. Sur la figure pre´ce´dente,tracerunetrajectoireayantcecomportementpuistracercidessouslesgraphesdex(t) ety(te.toircejartetteca`tnandpoesrrco)
Exercice 2.:orgusen,iosrteud´esertorpionsdsnoicsedpopxtalutreneuedti´eontiocpmeialteduO´n respectivement,quisenourissentdelamˆemeressourceetquelonmod´eliseparlesyste`mesuivant: 0 x= 0,1x(30,06x0,02y) (2) 0 y= 0,1y(10,01x0,02y)
1.Pr´ecisezquelestletauxdecroissanceintrinse`querteacalicapiotit´ebqueKde la population de scorpions rougesy(t) lorsque l’autre population de scorpions noirsx(t) est absente.
2.Pre´ciserquelleest,danscecas,lecomportementdelapopulationdescorpionsrouges(enesquissant l’allure du graphe dey(t)) lorsque l’on ay(0) = 30.
3.Calculerlesisoclinespuislescoordonn´eesdesquatrespointsd´equilibredusyst`eme.
4.Lequelparmicese´quilibrecorrespond`alacoexistencedesdeuxpopulations?Expliquerpourquoi.
1 Une´quilibreverslequellestrajectoiresvoisinestendentenspiralantestappele´unfoyer stable.
2
5.Voiciledessinduchampsdevecteursassoci´e`a(2).Ajouterlesisoclinesetv´erierquelese`chesy sont bien horizontales et verticales respectivement.
40
35
y 30
25
20 30
Modèle de compØtition
35
40 x
45
50
6.Lepointde´quilibrecorrespondanta`lacoexistencedesdeuxpopulationsestunnoeud stable. Pourquoi,a`votreavis,nest-cepasunfoyerstable?
7.Silapopulationinitialedesscorpionsrougesest20etcelledescorpionsnoirsde30,d´ecrire l´evolutionx(t) ety(tomecnoleˆM.ele`dstueeqemesilnsio)edhccanudesedeuxpopulationss tailles initiales sont de 50 et 40 respectivement.
3
Exercice 3.: 1.Letrac´esuivantrepe´sentelechampsdevecteursassoci´ea`unautresyste`mededeuxesp`ecesen comp´etition 0 x= (1x2y)x (3) 0 y= (12xy)y ou`x(t) ety(t) s’expriment en milliers d’individus. Ajouter sur ce dessin les isoclines et les points d´equilibre.
coexistence improbable: extinction de l'une des deux especes
1
0.8
0.6 y
0.4
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.81 x
2.Parmicese´quilibres,lesquelssontattractifs,re´pulsifs,nilunnilautre?Celuidontlesdeuxcom-posantes sont non nulles s’appelle uncol.
3. Tracerla trajectoire issue de (1,1). Peut-on parler dans ce cas de coexistence des deux populations ? Expliquer pourquoi.
4.Mˆemequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1,1ε), pourε >0 petit.
5.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1ε,1).
6.Expliquerpourquoiladynamiquedecemode`leconduiteng´en´erala`lextinctiondelunedesdeux populations.
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