NOM Date PRENOM Groupe

Description

Niveau: Supérieur
NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Mathematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-reponses du TD 3 Modele dynamique pour deux especes en competition Cette feuille-reponses est prevue pour une seance complete (2 heures environs). Le systeme de Lotka-Volterra nous a permis de modeliser la dynamique de deux populations presentant une relation de type proies-predateurs. Nous allons a present modeliser la dynamique de deux populations en competition, par exemple parce qu'elles partagent la meme nourriture ou le meme territoire. Notre objectif est d'etudier les possibilites de coexistence de ces deux populations. On choisit de faire les hypotheses suivantes : – En l'absence de l'autre espece, chacune des deux especes suit un modele logistique (x?(t) = (?1 ? ?1x(t))x(t) et y?(t) = (?2 ? ?2y(t))y(t)). – le taux de mortalite supplementaire pour chacune des especes du a la presence de l'autre espece est proportionnel a la fois a la taille de l'une et de l'autre des deux populations (et donc proportionel a leur produit). Sous ces hypotheses, le systeme peut s'ecrire : { x?(t) = (?1 ? ?1x(t) ? ?12y(t))x(t) y?(t) = (?2 ? ?2y(t)? ?21x(t))y(t) (1) ou les constantes ?1, ?2, ?1, ?2, ?12

• taux de mortalite supplementaire


• population initiale des scorpions rouges


• systeme de lotka-volterra


• isoclines du systeme


• comportement de la population de scorpions noirs


• scorpions noirs


• meme question

Sujets

• Équations de Lotka-Volterra

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

Mathe´matiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-re´ponsesduTD3 Mode`ledynamiquepourdeuxespe`cesencompe´tition

Cettefuelinsesle-r´epo)s.rinoesvnueerestpnurue´seve´ropeuetl`2he(ceanmpco

. .

Lesyst`emedeLotka-Volterranousapermisdemode`liserladynamiquededeuxpopulationspre´sentant unerelationdetypeproies-pre´dateurs.Nousallonsa`pre´sentmod´eliserladynamiquededeux populations encomp´etitionmpxepale,repaemenourrgentlamˆelpsraatcrqe’ulereot.Nreoiitrretemeˆmeluoeruti objectifestd’e´tudierlespossibilit´esdecoexistencedecesdeuxpopulations.Onchoisitdefaireles hypothe`sessuivantes: 0 –Enl’absencedel’autreespe`ce,chacunedesdeuxesp`ecessuitunmod`elelogistique(x(t) = (α 1 − 0 β 1 x(t))x(t) ety(t) = (α 2 −β 2 y(t))y(t)). –letauxdemortalite´suppl´ementairepourchacunedesespe`cesduˆa`lapr´esencedel’autreespe`ceest proportionnel`alafoisa`latailledel’uneetdel’autredesdeuxpopulations(etdoncproportionel `aleurproduit). Sousceshypothe`ses,lesyste`mepeuts’´ecrire:  0 x(t) = (α 1 −β 1 x(t)−γ 12 y(t))x(t) (1) 0 y(t) = (α 2 −β 2 y(t)−γ 21 x(t))y(t)

o`ulesconstantesα 1 ,α 2 ,β 1 ,β 2 ,γ 12 , etγ 21 s.vepoestisiusppsoe´ostn

Exercice 1.:etypoiscparfussianimelyddoe`dememeorafslouesquce´natirO ( x(t) 0 x(t) =r 1 x(t)(1−)−γ 12 x(t)y(t) K 1 (2) x(t) 0 y(t) =r 2 x(t)(1−)−γ 21 x(t)y(t) K 2 Indiquer le sens des 6 coefficients,r 1 ,K 1 , ... et donner leur expression en fonction des coefficients du syst`eme(1)

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