Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine On considere l'application lineaire

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 09-10 semaine 10 ————————————————————————————————————————— 1) On considere l'application lineaire : f : R4 ? R2 , (x1, x2, x3, x4) 7? (x1 + x2 + x3 + x4, x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4) . Determiner le noyau et l'image de f . Cette application est-elle injective ? surjective ? Soit y1 , y2 deux reels, preciser un vecteur u de R4 tel que f(u) = (y1, y2). 2) Soit E un R-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1, e2, e3) une base de E. On considere f l'application lineaire de E vers E telle que : f(e1) = e1 + e2 + e3 , f(e2) = 2e1 ? e2 + 2e3 , f(e3) = 4e1 + e2 + 4e3 Calculer f(e1 + 2e2). Determiner le noyau et l'image de f . Ces sous-espaces vectoriels de E sont-ils supplementaires ? Quelle est la matrice de f dans la base B ? ————————————————————————————————————————— 1 ) Le noyau de f est par definition constitue des vecteurs x = (x1, x2, x3, x4) de R4 tels que f(x1, x2, x3, x4) = 0.

  • dimension

  • solution au systeme

  • imf

  • imf ?

  • systeme d'equations de imf

  • base de imf echelonnee dans la base

  • y1 ?


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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NometPr´enom:L1MPAlg`ebre09-10semaine10 ————————————————————————————————————————— 1)Onconside`relapplicationlin´eaire: 4 2 f:RR,(x1, x2, x3, x4)7→(x1+x2+x3+x4, x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4). D´eterminerlenoyauetlimagedefsurjective ?application est-elle injective ?. Cette 4 Soity1,y2urescevnruetxdreuel´eprs,ci´eudeRtel quef(u) = (y1, y2). 2) SoitEunR-espace vectoriel de dimension 3 etB= (e1, e2, e3) une base deEcnnoO.reeis`d fai´edereoitanilnpalcilpEversEtelle que : f(e1) =e1+e2+e3, f(e2) = 2e1e2+ 2e3, f(e3) = 4e1+e2+ 4e3 Calculerf(e1+ 2e2dtelimyaagueelenoineretmrD.e´)f. Cessous-espaces vectoriels deE sont-ilssupple´mentaires?Quelleestlamatricedefdans la baseB? ————————————————————————————————————————— 4 1 ) Le noyau defsede´utitsnocnoirseuctvenitrd´estpaex= (x1, x2, x3, x4) deRtels que f(x1, x2, x3, x4uqe´oitaC.0=ette`aut()eqn´vauix1, x2, x3, x4ysudnoit:eme`tslusost)e ( x1+x2+x3+x4= 0 x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 0. Cesyst`emeamˆemessolutionsquelesyst`emetriangul´epourlordrenatureldesvariables: ( x1+x2+x3+x4= 0 +x2+ 2x3+ 3x4= 0. Lesvariableslibresdecesyt`emetriangule´sontx3etx4.obOnant:ree´osvlitneetln Kerf ={x3(1,2,1,0) +x4(2,3,0,1) tels quex3, x4R}. Nousavonsappliquerlalgorithmeder´esolution.NouspouvonsdoncconclurequeKerfadmet 4 pour base le couple de vecteurs deR: (1,2,1,0),(2,3,0,vectoriel Kerf est1). L’espace donc de dimension 2. La formule de dimension, nous apprends: 4 dimR= dim Imf + dim Kerf. Soit, 4 = dim Imf +2. Ainsi,l’espace vectoriel Imf est de dimension 2.Comme il s’agit d’un 2 2 sous-espace vectoriel deRImf =qui est aussi de dimension 2, nous avons :R. Le noyau defencteurnul,donctsaprse´udtiuaevfL’image den’est pas injective.fco¨ıncide 2 avecRl’espace but def. Donc,fest surjective. 2 4 Delasurjectivite´defpoueeqltsu´elr,i(tuotruy1, y2)R, il existe (x1, x2, x3, x4)R tels quef(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2). Fixons(y1, y2); les (x1, x2, x3, x4) qui conviennent sont les solutionsdusyste`me: ( x1+x2+x3+x4=y1 x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4=y2.
( x1+x2+x3+x4=y1 +x2+ 2x3+ 3x4=y2y1. Lesvariableslibresdecesyt`emetriangul´esontx3etx4noite´dsseC.ulosensemblcriventl:e S={(y2y1,2y1y2,0,0) +x3(1,2,1,0) +x4(2,3,0,1) tels quex3x4R}. Nous obtenons, si nous prenonsx3=x4cilu`ire:e=la0,lusoontirtpa (y2y1,2y1y2,0,0) Ainsi,nousavonsmontr´equelequadrupletdere´els(y2y1,2y1y2,0,´erie0:)v f(y2y1,2y1y2,0,0) = (y1, y2). 2) L’applicationf:eriae´niltnate´ f(e1+ 2e2) =f(e1) + 2f(e2) = (e1+e2+e3) + (2e1e2+ 2e3) = 5e1e2+ 5e3. Consid´eronsunvecteuruE(. Notonsx1, x2, x3balansda(seoocses)see´nodre1, e2, e3) : u=x1e1+x2e2+x3e3. Levecteuruest dans Kerfsi et seulement sif(u) = 0, Soit x1f(e1) +x2f(e2) +x3f(e3) = 0. On obtient : (x1+ 2x2+ 4x3)e1+ (x1x2+x3)e2+ (x1+ 2x2+ 4x3)e3= 0. Commme (e1, e2, e3) est une famille libre,uKerfeluesteiesistnemonrdoosscntsoes´e solutionsdusyst`eme: x1+ 2x2+ 4x3= 0 x1x2+x3= 0 x1+ 2x2+ 4x3= 0. Cesyste`mee´quivaut`a: ( x1+ 2x2+ 4x3= 0 x1x2+x3= 0. ouencoreausyst`emetriangule´(lordredesvariablesestlordrenaturel): ( x1+ 2x2+ 4x3= 0 3x2+ 3x3= 0. Enr´esolvantcesyst`eme,ontrouvequesessolutionssont: S={x3(2,1,1) tels quex3R}. Ainsi : Kerf ={x3(2e1e2+e3) tels quex3R}. 2
Le noyau defest donc un espace vectoriel de dimension 1 de base le vecteur non nul: 2e1e2+e3. Ilre´sultedelaformulededimension: 3 = dimE= dim Imf + dim Kerf = dim Imf + 1. Ainsi, l’image defecslrsouui,puesqsnem2noiaD.e`rpacevectorieldedi(seutenpse1, e2, e3) engendrentE,Imengefestrape´rdnf(e1), f(e2), f(e3eretD´).nne´efmceeholebasedeIminonsun dans la base (e1, e2, e3).   f(e1)f(e2)f(e3) 1 2 4 M(f(e), f(e), f(e)) =, (e1,e2,e32 3) 1   11 1 1 2 4   1 00   M(e1,e2,e3)(f(e1), f(e2)2f(e1), f(e3)4f(e1)) =133, 1 00   1 0 0   M(e1,e2,e3)(f(e1), f(e2)2f(e1), f(e3)4f(e1)(f(e2)2f(e1)) )=13 0. 1 0 0 Ainsi, Imf admet le couple de vecteurs (e1+e2+e3, e2)cohcleno´nmmbesaeentmevetilareee `alabase(e1, e2, e3) deEretrouve de plus que. Onf(2e1e2+e3erequ0=c,)a`idets 2e1e2+e3Kerf. Pourtouteapplicationlin´eairedesourceE: dimE= dim Imf + dim Kerf. Comme l’espace but defestE(fest un endomorphisme), Imf est aussi un sous-espace vecto-riel deEertnome´druoP.e-pscasedtseossutKerfsonrqueImfeesli,dtutaenesirppsueml´ montrerqueleurintersectionestr´eduiteauvecteurnul.
De´terminonsunsyst´emed´equationsdeImfrelativement`alabase(e1, e2, e3).Consid´eronsun vecteuruonrdooecd(see´x1, x2, x3) dans la base (e1, e2, e3:atamcerinols´drenois)C.   1 0x1   M(e1,e2,e3)(e1+e2+e3, e3, u) =1 1x2. 1 0x3 Suivonslalgorithmequidonneunsyst`emed´equationsrelativement`alabase(e1, e2, e3) de Imf quiestlespacevectorielengendre´par(e1+e2+e3, e2) :   1 00   M(e1,e2,e3)(e1+e2+e3, e2, ux1(e1+e2+e3) =1 1x2x1, 1 0x3x1
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