Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine Soit P le sous espace vectoriel de R4 defini par le systeme d'equations lineaires

Publié par

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 08-09 semaine 9 ————————————————————————————————————————— Soit P le sous-espace vectoriel de R4 defini par le systeme d'equations lineaires : { x + y + z + t = 0 y + 2z + t = 0 1) Sans calcul, justifier que P est de dimension 2. Puis determiner une base (u1, u2) de P . Soit v1 = (1, 1, 1, 1) et v2 = (1, 0, 1, 0). On note V = vect(v1, v2). 2) Montrer que (v1, v2) est une base de V . 3) Montrer que P + V = vect(u1, u2, v1, v2). En deduire une base de P + V echelonnee par rapport a la base canonique de R4. 4) En deduire que P et V ne sont pas supplementaires. Donner une base de P ? V . Soit v3 = (1, 1, 0, 0). On note W = vect(v1, v3). 5) On admettra que P et W sont supplementaires. Expliciter la projection sur W parallelement a P . ————————————————————————————————————————— 1) Un vecteur (x, y, z, t) ? P si et seulement si (x, y, z, t) une solution du systeme d'equations lineaires homogenes : { x + y + z + t = 0 y + 2z + t = 0 .

  • v??1

  • x? z

  • solution du systeme d'equations lineaires

  • v2 ?

  • base canonique de r4

  • combinaison lineaire des vecteurs


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 28
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
NometPr´enom:L1MPAlg`ebre08-09semaine9 ————————————————————————————————————————— 4 SoitPle sous-espace vectoriel deRtaoisnilemde´uq:n´eairesdrapine´e`tsysel ( x+y+z+t= 0 y+ 2z+t= 0 1) Sans calcul, justifier quePneisdemisedtermid´etPuison2.(esabenurenu1, u2) deP. Soitv1= (1,1,1,1) etv2= (1,0,1,0). OnnoteV= vect(v1, v2). 2) Montrer que (v1, v2) est une base deV. 3) Montrer queP+V= vect(u1, u2, v1, v2ueenudriedabesnd´e).EP+Ve´nnrapece´oleh 4 rapporta`labasecanoniquedeR. 4)End´eduirequePetVernnDos.reaintmee´lppussaptnosenesadenubePV. Soitv3= (1,1,0,note0). OnW= vect(v1, v3). 5) On admettra quePetWons´epluptseriatnemcilpxE.siterlaprojectionusrWntaparlle´elem `aP. ————————————————————————————————————————— 1) Un vecteur (x, y, z, t)Psi et seulement si (x, y, z, tne)uudystse´osulitnoationsmed´equ line´aireshomoge`nes: ( x+y+z+t= 0 y+ 2z+t= 0. Les variablesx, y, z, t,tecmenee`emystsn´esrdonrellnatutemdxuedotnate´ttesanril´gutaee variables libreszettl’espace vectoriel de ses solutions est un. Ainsi,R-espace vectoriel de dimension2.R´esolvonscesyste`me.Onobtient: y=2zt ,puisx=yzt= 2z+tzt=z . Ainsi, P={(z,2zt, z, t) tels quez ,tR} ={z(1,2,1,0) +t(0,1,0,1) tels quez ,tR}. La famille (u1= (1,2,1,0), u2= (0,1,0,1)) est donc une base deP. 2)Parde´nition,Vseltesnmebledescombinaisoilsnae´nserivsedteecsurv1etv2. Donc,la famille (v1, v2are´ne´gedecirtstun)eilleefamVmontrer que c’ est une base, il suffit donc. Pour de montrer qu’il s’agit d’une famille libre.Soita, bR, tels queav1+bv2= 0.Il vient : (a+b, a, a+b, a=0.D)ou`a= 0, puisb= 0. 3) SoitwP+Vn´eioitend.draPP+V, il existew1Petw2Vtels quew=w1+w2. Commew1P,w1mmcoitcrnabiomece´seursvectbasedesail´nsinodeseaeri(u1, u2) :il existe,a, bRtels quew1=au1+bu2e,emmˆDe.w2Vetw2binaisoncommecomtirce´s lin´eairedesvecteursdesabase(v1, v2il existe,) :c, dRtels quew2=cv1+dv2. Il enr´esultew=au1+bu2+cv1+dv2. Donc,wvect(u1, u2, v1, v2)O.anodncmontr´e P+Vvect(u1, u2, v1, v2si). Inversement,wvect(u1, u2, v1, v2), il existea, b, c, dRtels quew=au1+bu2+cv1+dv2. Ainsi,w= (au1+bu2) + (cv1+dv2). Commeau1+bu2P etcv1+dv2V, on obtientwP+Vet vect(u1, u2, v1, v2)P+V. Finalement,P+V= vect(u1, u2, v1, v2). Nousconnaissonslescoordonn´eesdesvecteursu1, u2, v1, v2dans une base (la base canonique 4 deR). Utilisonsl’algorithme qui nous donnera une base de vect(u1, u2, v1, v2eeapno´nrchel)´e 4 rapport`alabasecanoniquedeR.
  1 01 1 21 1 0 MB(u1, u2, v1, v2) =, P+V= Vect(u1, u2, v1, v2). 1 01 1   0 11 0 ´ Etape 2 :On utiliseu1pour faire monter l’ordre des vecteurs suivants :   0 0 v=vu v=vu u1u2 2 12 11 1 1 00 0 0 00 0 , v21 32, P+V= Vect(u ,u ,v ,v). MB(u1, u2, v1) =1 21 2 2 1 00 00 11 0 0 0 u) =v(v) =v(v) = 2. On av(u1)< v(2 1 2 ´ Etape 3 :On utiliseu2pour faire monter l’ordre des vecteurs suivants :   00 000 0 2v=v u1u1 1+ 3u2v=v+ 2u2 2 2 1 00 0 00 0000 00 M(vu ,v ,u ,) =201 0, P+V= Vect(, vu ,). B11 21 2u2, v1 2   1 00 00 14 2 00 00 On av(u1)< v(u2)< v(v) =v(v) = 4 1 2 ´ Etape 4 :On utiliseu2pour faire monter l’ordre des vecteurs suivants :   00 00000 00 v=v(1/2)v u1u2v1 22 1 1 00 0 00 00000 M(u21 00, P+V= Vect(u ,vu ,). B1, u2, v1, v) =1 21 2   0 01 00 14 0 00 ).Lorithmeesttermin´eetlafamille: On av(u1)< v(u2)< v(v1’alg 00 = (0,0,0,4)) (u1= (1,2,1,0), u2= (0,1,0,1), v1 4 est donc une base deP+Vativerelnn´ehelocenabasa`tlamenedeueiqonec´R. 4 4 4) Dire quePetVires,cel´ementappustnostsiderP+V=RetPV{0}. Or,P+V=R 4 est impossible puisqueRest de dimension 4 et que nous venons de voir queP+Vest de dimension 3.Nous savons que : dimKP+ dimKV= dimK(P+V) + dimK(PV)
2
Ilenre´sulte2+2=3+dimK(PV). SoitdimK(PV) = 1.Une base de (PV) est donc forme´eparunvecteurnonnuldePVo;glrolraedelithmstioaquentdeonedr´np´eec:en 1 000 0000 0 =v=vv 2 21 2 1 0 0 = (v+ 2u2)(v1+ 3u2) 2 2 1 = (v2u1+ 2u2)(v1u1+ 3u2) 2 1 1 = (2v22u1+ 4u2v1+u13u2(2) =v2u1+u2v1). 2 2 Ilenr´esulte:u1u2= 2v2v1. Levecteuru1u2= (1,1,1,1) est dansPpuisque combi-naisonlin´eairedeu1,u2ecuvurte2rO.eli,e´tsalagv2v1qui est dansVcomme combinaison line´airedev1,v2. Ainsi,u1u2PV´rqeeuodcnomtnnnul.OnaeurestnotceveC. (u1u2= (1,1,1,1)) est une base dePV.
Uneautrefac¸onded´eterminerunebasedePVreniysnue`tsemcemosedterpamenctermrd´e d´equationshomog`enesdeVeretd´`antmeleelesabenurenim.oPruecal,oncommecommeusu 4 e´chelonn´eedeVdeonanueiqelatrsacelabane`tvimeRcalculs donnent que (: lesv1== 0 (1,1,1,1), v= (0,1,0,´eedecee1hoel)ntnsnubesa´eVedqueacesinona`tnaballativemere 4 Rdu cours nous permet alors de montrer que :. L’algorithme ( xz= 0 yt= 0. estunsyst`emed´equationsline´airesdeV. Ainsi,PVme´t´deauqenoitaetdmmmcoysess lin´eaires x+y+z+t= 0 y+ 2z+t= 0 xz= 0 yt= 0. Pour retrouverPVsse´uaeliuseltiacteur.´ra`uoserli,etseemt`eqececdryses 4 5) On admet donc queR=PWtout vecteur. Ainsi,u= (x, y, z, trctis)e´ue:uniq¸condefa u=l+waveclPetwW. LaprojectionpsurWa`parall´elementPest l’application : 4 4 p:RR, u7p(u) =w . Pre´cisonsp(u) =w`(eidedalax, y, z, texiste). Ila, bRtels quew=av1+bv3nr´e.Ile:etlus l= (x, y, z, t)a(1,1,1,1)b(1,1,0,0) = (xab, yab, za, ta)P . Ainsilescoordonn´eesdelri´e:ntev ( x+y+z+t4a2b= 0 y+ 2z+t4ab= 0.
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.