Notes de M2

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
ALGEBRE APPROFONDIE Notes de M2 (1995–1996) Chris Peters Universite de Grenoble I Saint-Martin d'Heres, France 26 Mai, 1997

  • theoreme des syzygies de hilbert

  • ideaux

  • anneau

  • anneau de series formelles

  • homomorphisme d'anneaux

  • application de z ?

  • anneaux z

  • ideaux primaires


Publié le : mercredi 20 juin 2012
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` ALGEBRE APPROFONDIE Notes de M2 (1995–1996)
Chris Peters
Universite´deGrenobleI Saint-MartindHe`res,France
26 Mai, 1997
Sommaire
Chapitre1.Anneauxetide´aux. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 § de base1. Notions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 §in,ore´zstnetopliv.D2derseuis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 §ead´prux.I3xamiuaxmeeisrm,. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §auxid´erlesnssutaoi´pre4O.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 §5isnetxE.onetcontractiondsedie´uax. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §raZedeigolopot:ekiislpe´C.mo6riqum´etg´eoment. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 §nudennatcarsnoireinauegt`Corpsdef7.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Chapitre 2. Modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 § de base1. Notions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §2. Sommes et produits. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 § de Nakayama3. Lemme. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §4. Suites exactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 § tensoriel5. Produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 §6. Produit tensoriel et suites exactes. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 §.7sebreAlg`. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Chapitre 3. Anneaux et modules de fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 § anneaux :1. Fractions. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §2. Fractions : modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 § local-global3. Principe. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 § d’un anneau, support d’un module4. Spectre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Chapitre4.Anneauxetmodulesnœth´eriensetartiniens. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 §uxahıˆdscennaeena:.C1ontidion. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 §debasedeHilbert.2hTe´roe`em. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 § de chaˆıne :3. Conditions modules. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 §4. Modules et anneaux de longueur finie. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chapitre5.D´ecompositionprimaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 §1.Id´eauxpriamrise. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 §ertcnudnoiteps:´ethenrineannœau2ilacA.pp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 §de´ticinU.3ontisipoomecd´esseamripsir. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 § et support4. Assassin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 Chapitre 6. Extensions finies. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 §1.ypeniresoudetsnneite`xEetsnoi. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 §2 “Going-up” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .45 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §.Th´eor`emedenoramilasitnoedoNtereh3. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 §4. Nullstellensatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chapitre7.Anneauxdevaluationsdiscr`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 § de base1. Notions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 §aract´erisation2C.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 §3. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chapitre 8. Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 §e.1rgeDde´eantrenscncda. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 §isnednovenu´ira´eetnea2.Dim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 §3. Dimension de Krull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 §eKrumesdor`eth´e4seL.ll. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 §5. Quelques applications. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §s6.uarxnAenilree´ug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
Chapitre9.Alge`brehomologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 §1. Complexes et leur (co)homologie. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 §sd´eescin2.Modulesprotcej,sfiejnifitctsseteuixaseesct. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 65 §3. Ext et Tor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 § homologique4. Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 §edemsyesgizydees5´hT.`roeiHblret. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Re´f´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 erenc
Chapitre1.Anneauxetide´aux
§ de base1. Notions
1.1.D´enition.UnanneauAestnoe)idit(+dansioaterp´xoeueddinumelbmesnenut(multiplication) telles que : 1) (Anutsuorgbaepile´en.)e+ 2. La multiplication est associative : a b cA(ab)c=a(bc) etdistributifparrapporta`laddition a b cA a(b+c) =ab+ac; (a+b)c=ac+ac. On ne regarde ici que des anneauxcommutatifs: a bA ab=ba
muni d’uneeu´tin1 :
aA1a=a1 =a.
Remarque.On ne supposera pas que 16= 0 et doncA={0} Enest un anneau. effet, si 1 = 0 on aaA a=a1 =a0=0etodcnofcre´emtnA={0}.
1.2.De´nition.Un sous-ensembleSd’un anneauAest unsous-anneau, siSest un sous-groupe pour l’addition, stable par multiplication et 1S.
1.3.D´enition.SoientA B application Unedeux anneaux.f:ABest unhomomorphisme d’anneaux, si : 1)a bA f(a+b) =f(a) +f(b), 2)a bA f(ab) =f(a)f(b), 3)f(1) = 1.
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1.4. Exemples. 1)Z,Q. De plusZest un sous-anneau deQ. 2) Uncorpskest un anneau (commutatif)6biel:stinversnon-nuletneme´le´euqahcequel0t= ak,a6= 0,bktel quebatnle´eme´.L=1beseteneuutqsie´tontb=a1(l’inverse dea :). ExemplesQ,R,C,Fp. 3) SoitAnannu(uaemmoctatu.)fianLaunelypoomnˆaialssco´ieets A[X] :={a0+a1X+∙ ∙ ∙akXk;k= 01 a . . . iA i= 0 . . .  k} avec l’addition et la multiplication usuelle.Aest un sous-anneau deA[Xalementsg´en´er]ulP. on aA[X1 . . .  Xna]l,annae`unvariables avec coefficients dansA. 4)Lanneaudes´eriesformellesa`coecientsdansunanneauA: A[X]:={XakXk;k0 akA} k=0 avecladditionetlamultiplicationusuelle(i.e.lamultiplicationestdonne´ePakXkpark=0 Pk=0bkXk=Pn=0Pk+`=nakb`Xn. 5)Lanneaudese´riesdeLaurenta`coecientsdansunanneauA: A{{X}}:={XakXk;`Zk` akA} k=` avec l’addition et la multiplication usuelle. 6) L’anneauZ/nZ(entiers modulon). L’applicationZZ/nZaunentierassocieaslcsaes`iuq modulonest un homomorphisme d’anneaux.
1.5.D´enition.Un sous-ensembleId’un anneauAest une´ladi, siIest stable par l’addition et siaA aII. N.B.Unid´ealeststableparadditionetmultiplicationetdoncpeutˆetreconsid´erecomme ´ sous-anneau(sans1),maislar´eciproqueestfaux.
1.6. Exemples. 1) SoitxAaeelgnnerde´apr.Lid´xest l’ensemble{ax;aA} le plus petit. C’est ide´alcontenantxiottns,eleme´areng´usPl.SAe´rdrapngenealeid´.LSconsiste en les combinaisonsline´airesniesd´el´ementsdeSleenncdome´eels´faledstnemro,{Pjn=1ajsj;ajA;sjS}. 2) SoientIetJxieuead´.LuxrseuemmodI+Jconsiste en les sommes de la formei+j, iI,jJstessauniiuead´edlC.A produit. LeurIJconsiste en les sommes finies des produitd´el´ementsdeIetJ:{Pkn=1akikjk;akA;ikI;jkJ} le plus petit. C’est ide´alcontenantlesproduitsij iI jJ. L’intersectionIJO.lae´dinuissuatesna IJIJ exemple pour. ParA=Z,I= (n),J= (m),I+J= (pgcd(m n)),IJ= (nm), IJ= (ppcm(n m)).
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SoitIede´lanudiA regarde le groupe quotient. OnA/I. La multiplication deApersiste en A/Icar sia0=a+i,b0=b+j,i jI, alorsa0b0=ab+aj+bi+ijencdaetdomˆemnsla classe moduloIqueabcarIae.lLpalpcitaoincanoniquetuesd´ni p:AA/I x7→x+I estunhomomorphismedanneauxayantlaproprie´te´suivante: ¯ 1.7. Lemme.ae´dxurentsilevonieequadcnbeuiroerpsnoIlyaunecJdeA/Ie´uasletdeixJde AcontenantIdreepaonn´J7→p(J)etJ¯7→p1J¯. Soitf:AB Leun homomorphisme d’anneaux quelconque.noyauKerf:=f1(0) est un eAetl’imageImf=f(A) est un sous-anneau deB. On a : id´al de 1.8.The´ore`me.Soitf:ABhomomorphisme d’anneau. Alorsfinduit un isomorphisme ¯ f:A/Kerf=Imf.
§poilntte´eez,nroesivdsruiD.2s
SoitAanneau commutatif avec 1. 2.1.De´nition. i.xAest unezrdeuisivde´orsiy6= 0 yAtel quexy= 0. ii.xAestnilpotentsinNtel quexn= 0. iii.xAestinversiblesiyAtel quexyLen=1.ledsembmenee´´levsrstniesdleibAest ungroupe,appele´groupe des unit´sdeAtenot´eA×. e iv. On dit queAeste`tnergisiAfu.0oraszee´rudsdidesevinasap
2.2. Exemples. 1) SoitZ/pqZavecpetqnombres premiers. classes de Lespetqero,dez´maisdsedtnossruesivi sip6=qla classep¯ depn’est pas nilpotente :p¯n= 0 veut direpn=xpqet doncpn1=xq, ce qui est impossible. 2) Les anneauxZ,Fp(ppremier),k[X1 . . .  Xn] (knt`eontips)sncoruserg. 3) Soitplbseedisvnreis´eelntmer.ies´LemerpFpsont les classes de 12 . . .  p1. Pourd´eterminerlenombrede´l´ementsinversiblesdansZ/nZon utilise : Th´eore`medesrestesChinois.SoientIetJued´dixxuaeedAavecI+J=A(on dit queIet JlppalsrolA.)srenioaticrangt´etsonx7→(x+I x+J)induit un isomorphisme : ϕ:A/(IJ) =A/I×A/J.
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