Notes de MGeom2

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Niveau: Supérieur
GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Notes de MGeom2 (1997–1998) Chris Peters Universite de Grenoble I Saint-Martin d'Heres, France 27 Janvier 2000

  • variete differentiable

  • espaces topologiques

  • droites passant par l'origine de rn

  • espace quotient de rn par la relation d'equivalence determinee


Publié le : samedi 1 janvier 2000
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´ GEOMETRIE ´ DIFFERENTIELLE Notes de MGeom2 (1997–1998)
Chris Peters
Universit´edeGrenobleI Saint-MartindH`eres,France
27 Janvier 2000
Sommaire
Chapitre 0. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Chapitre1.Vari´te´sdi´erentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 e § de base1. Notions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 § tangent et cotangent2. L’espace. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §br´e3.Fitorisvecles. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §enerabtisle.4oFmrseid´. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §5. Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ´ §Va6.sekotSest´´erietrdbo`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Chapitre 2. Cohomologie de De Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 §1)e(IIac´roPniemedL.me. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §2. Mayer-Vietoris. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §3. Calcul de quelques groupes de De Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 §4. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Chapitre3.Quelquesexercicessuppl´ementaires. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chapitre 0. Introduction
Ce cours est la suite du cours ”MGeom I”. Les notions suivantes sont supposees connnues : ´ 1.Lanotiondunesous-varie´t´edeRn, 2. La notion de vecteur tangent et cotangent, 3.Formesdi´erentiablessurRnofedsemre´dseinrdsuouesrtveesdetint´egrationRne´eegedd n,tcapmoctroppsu`aet 4.Lespartitionsdunite´subordonn´ee`aunrecouvrementouvertdunesous-vari´ete´deRn.
Voici un liste partielle des livres qu’on pourra consulter. Re´f´erences Livres [A] Auslander, L., R. MacKenzie: Introduction to Differentiable Manifolds, Dover (1977), CommentairenuettxcealssqieuCestlituN.seaevi`rtuecavsedercxeesic.uosrenadesbieaucapt´ [B-Jinger(19ogie,SpraitlpoloiDeertn,)37o¨kc]rBrhu¨fniEeidnignuK..,,Terh:icanJ¨ Commentaire§1–§ilutpoes5ntsociceexerupdaucoayeb;sliocruruel.reainteme´le´e´sopxE.s [B-T (1982),] Bott, R., L. Tu: Differential forms in algebraic topology, Springer Verlag CommentaireSeul certaines paragraphes du premier Chapitre sont utiles; l’exposition est un peu tropavancee,maislasuitedeMayer-Vietorisestbienexplique´e. ´ [R0),riVae:.d,GamRh]neat´reseide´´t(196mann,Herbles Commentaireehe´rpmosednoisnletituonacrlouspiprtCsahItsIseeILeleelestformesdi´erenti pourlintegration.Expose´avance. ´ ´ er, F.W.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie groups, Springer Verlag [W99)3,]nra1W( CommentaireauveoutrnyupcoaubeicrexedeviN.secletitosessretuonhcsetipamerpre`iLestrois interm´ediaire. Article [B L. E. J.: Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Ann.] Brouwer,70(1911), 161–152
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Chapitre1.Vari´et´esdi´erentiables
§ de base1. Notions
1.1.D´enition.Unepolo´etoegiqu´itevrade dimensionnpa´eer´potocepaesqugilosenutseX localementhome´omorphea`Rn. Donc chaque pointxXadmet une voisinage ouvertUtuedeemsihpromoe´mohnUsur un ouvert deRn: h:Uh(U)Rn h(x) = 0. On appelle (U h)une carte locale autour dex. Les fonctionsy7→xj(yseine´drap) h(y) = (x1(y) . . .  xn(y)) s’appellentocro´eessdonnli´eesealsoscoac. 1.2. Remarques. 1.Ilyadesespacestopologiquesnon-se´pare´esetlocalementhom´eomorphes`aRn. 2. Le nombrene´datinderulsnaqguieacspid-a`-tsenuuqerologttop,ceiquetsnuoienirnaniav topologiques´epare´nepeutpasenmˆemetempsˆetrelocalementhome´omorphe`aRn`aetRm, m6=nr([ouwe`aBr,duenttuesC.elicideme`roe´hBr]). On verra plus tard que pour les varie´te´sdie´rentiablescelad´ecouleimm´ediatementduth´e`medesfonctionsimplicit eor es. 3. Souvent on exige de plus queXsoitparacompactesadee´onbmarlbdee.c,.d`adm.ateetebun la topologie.
1.3. Exemples. 1. Un ouvert deRneirde´tmideisneonestunevan. ´ 2.Unesous-varie´t´edeRnde dimensionmnutse)1mte´iravemedide´enions(MGeovoirm, 3. SiXetYonsisontdeuxvsdsdeminera´itee´n, resp.m, le produitX×Yede´et´variseenut dimensionn+m, 4. Un tore de dimensionnest l’espace quotient deRntereim´nee´edivquenald´cepalraalernoit par un reseau ´ Γ =Ze1Ze2∙ ∙ ∙ ⊕Zenou`{e1 . . .  en}est n’importe quelle base deRntuneCes´et´vari.onsiededenimn. 5. L’espace projectivePn(R) des droites passant par l’origine deRn+1nemidede´te´iravnetues-sionn. 6. L’espace projectivePn(C) des droites passant par l’origine deCn+1nutsete´iravemedide´en-sion 2n.
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SoitXiqogolopn.Uueenavu´tteire´atlasest un recouvrement{U h}deXpar des cartes. Les fonctions de transitionhU V´eniesssontd(esrtcauxdedenoitcesretnilruU h) et (V k) par la formule hU V=kh1:h(UV)k(V). Ce sont des applications parmi des ouverts deRnet on peut donc se demander si ces fonctions sont de´rivables.SilesfonctionsdetransitionsontCon parleduelbaenti´erasdinatl. 1.4.De´nition. 1. Uneneitbaele´id´reeti´arvri´et´etestunevaumeudinlopoqigo´eintreatunsdlae.iabl 2. Unepplianoidacitneit´releabesestuneapplicatoicnnoitun,etreneti´areve´idse´lbaitner localementd´erivabledanslescartes. 3. Unemsihpromoe´ida-er´tienosesidtiilerevnticalippeaunstelequetelctivbijebaelneit´renoid ble.Silyaundi´eomorphismeentredeuxvari´ete´s,cesdeuxvarie´t´essontidmorp´eohes. 1.5. Exemple.suotxedlpmeedsescledei-usssntsoertnailbse.svari´et´esdi´eexpmeLes 1.6.De´nition.Un sous-espaceZleabte´iide´re´itnedunevarX(de dimensionn+k) est une sous-vari´et´esi chaque pointzdeZadmet une carteUneer´ntcezsseolacelordonn´eavecco {x1 . . .  xn+k}telles que UZ={yU;xn+1(y) =. . .=xn+k(y) = 0}. Le nombreks’appelle lacodimensiondeZ. Unesous-varie´te´commeci-dessusestelle-mˆemeunevariete´di´erentiable(dedimension=n): ´ onprendcommeunatlaslar´euniondesUZci-dessus lorsquezZparcourtZ. 1.7. Exemples. 1.Unsous-espaca`elPineairede(.)n´Rn+m+1de dimensionnouesunitn´e1d+ede´te´irav-sPn+m(R) die´omorpheR 2.Conside´ronslapplication
f: [02π]R2 f(t cos() = (2t2π)sin 2(tπ2)). Limagenestpasunesous-vari´et´eduplan,carlorigineestunpointdouble.Onpeute´viter decre´erunpointdoubleenconside´rantlarestrictiong=f|]02π[ qui est un bijection sur l’image, mais l’image deg´irav-srac,e´tnusauosenptsegastpesneom´hounihmsomprseru e son image.
§ tangent et cotangent2. L’espace
2.1.D´enition.SoitXetnuvera´ite´edi´erentiablexXun point. 1. Unegerme d’une fonctionenxeclastuneelcniuav´qessdeonti´esdesedncfosedseinnads voisinages ouvertes dexnois`dre,e`ooucnfetgnadsse´tnelagiellessoalentesseme´uqvicmo une voisinage dexmpcondeitio´enededamnielodadsniresfet deg. 2. Unegerme de courbeenxunstesaaspantrelcndeseocruebpseclassed´equivax,oon`u conside`redeuxcourbesγ:]a a[X γ(0) =xetγ0:]a0 a0[X γ0(0) =xcomme e´quivalentessiγ=γ0sur une voisinage de 0.
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