Notes diverses de SM2b

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Notes diverses de SM2b U.J.F. (Grenoble I) SM2b Groupe 5 (Sm2b5) 16/01/2001 2000-2001 Enseignant : Yves.Carriere@ujf-grenoble. Repartition des cours : Cours de Math (Monsieur Bertin) d'1h30 le Mercredi : 1) Matrices 2) Espaces vectoriels 3) Applications lineaires 4) Fonctions de plusieurs variables 7) Integrales multiples Une feuille d'exercices est distribuee chaque 15 jours en amphi par Monsieur Bertin Cours d'1h45 par groupes sur 3 semaines du 20/02 au 17/03, pour le groupe 5 le Mardi : 5') Courbes parametrees 6) Application de l'algebre lineaire a la geometrie : Le plan et l'espace, produit scalaire, distances et angles, droites et plans, isometries vectorielles. Repartition des Cours-TD : - 4 semaines du 16/01 au 10/02 : 2 seances de TD de 1h45 : Mardi 13h30 a 15h15 DAR 602 et Jeudi 7h30 a 9h15 DSU B012. - 4 semaines du 20/02 au 17/03 : 1 seance de cours d'1h45 le Mardi (sauf le 27/02 qui est la journee du Lyceen) et 1 seance de TD d'1h45 le Jeudi. - 5 semaines du 20/03 au 27/04 : 2 seances de TD de 1h45 les Mardi et Jeudi On utilisera le Vendredi 2 a 4 fois sur la periode pour un test en temps limite (examen blanc), rattrapages divers, revisions etc.

  • variable fk

  • champ

  • applications partielles

  • ir3

  • deuxieme application du theoreme des accroissements finis

  • derivees partielles d'ordre


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Notes diverses de SM2b U.J.F. (Grenoble I) SM2b Groupe 5 (Sm2b5) 16/01/2001 2000-2001 Enseignant : Yves.Carriere@ujf-grenoble. Re´partitiondescours: Cours de Math (Monsieur Bertin) d’1h30 le Mercredi : 1)Matrices2)Espacesvectoriels3)Applicationslin´eaires4)Fonctionsdeplusieursvariables7) Int´egralesmultiples Unefeuilledexercicesestdistribu´eechaque15joursenamphiparMonsieurBertin Cours d’1h45 par groupes sur 3 semaines du 20/02 au 17/03, pour le groupe 5 le Mardi : 5)Courbesparame´tr´ees6)Applicationdelalge`breline´aire`alage´ome´trie:Leplanetlespace, produitscalaire,distancesetangles,droitesetplans,isom´etriesvectorielles. Repartition des Cours-TD : -4semainesdu16/01au10/02:2se´ancesdeTDde1h45:Mardi13h30`a15h15DAR602et Jeudi7h30a`9h15DSUB012. -4semainesdu20/02au17/03:1s´eancedecoursd1h45leMardi(saufle27/02quiestlajourne´e duLyce´en)et1se´ancedeTDd1h45leJeudi. -5semainesdu20/03au27/04:2se´ancesdeTDde1h45lesMardietJeudi OnutiliseraleVendredi2a`4foissurlap´eriodepouruntestentempslimit´e(examenblanc), rattrapagesdivers,r´evisionsetc... En pratique pour le Groupe 5 : Du16/01au27/04:2s´eancesparsemainelesMardi9h30etJeudi7h30 Du20/02au27/04:2`a4s´eancessupple´mentaires(`apr´eciser)lesVendredi15h30enE205
***** Exercice 1 . — Soit la matrice A = 0111 . Calculer A 2 , A 3 puisd´eterminerparre´currence A n pour tout n IN. Quel est l’inverse de A ? l’inverse de A n ? Exercice 2 .Re´soudrelesyst`emedinconnues x, y, z x + 3 y + z = u x + y 2 z = v x + 4 y + z = w ende´duirelinversedelamatrice 111413 112 ice 3 . — Soient les m 100120321 et B = 2001 21 Exerc atrices A = 0 0 1 Trouver l’inverse de A ,ende´duirelesmatrices X v´eriantle´quation XA = B .
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U.J.F. (Grenoble I) SM2b Groupe 5 (Sm2b5) 6/02/2001 2000-2001 Exercice 1 .Onconside`relapplication f deIR 3 dans IR 3 d´eniepar: f ( x, y, z ) = x y, x + z , y + z . a.Montrerquecestuneapplicationlin´eaire. b.D´eterminerKer f = { ~u | f ( u~ ) = 0 } (le noyau de f ) et Im f (l’image de f ) (en donner des bases). c.Lesr´eels a, b, c ´etantdonne´s,r´esoudreetdiscuterlesyste`me: x y = a x + z = b  y + z = c c. Ecrire la matrice de f lorsquelonconside`reIR 3 muni de la base canonique. Exercice 2 . — Soit f lapplicationline´airedeIR 3 dans IR 3 de´niepar: f ( x, y, z ) = (3 x + y + z, x + 3 y + z, x + y + 3 z ) . Montrer que f estbijective.End´eduirequelesyste`me: 3 x xx +++3 yyy +++3 zzz ===111 a une solution unique. Trouver cette solution. Exercice 3 . — Soit f l’application de IR 4 dans IR 4 de´niepar: f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x 1 x 2 + x 4 , x 1 + x 2 x 4 , x 3 , x 3 ) . a.De´terminerKer f et Im f . b. Trouver les vecteurs ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) IR 4 tels que f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (2 , 2 , 3 , 3) . c.De´terminerlesvecteurs X IR 4 tels que : f ( X ) = (1 , 1 , 1 , 1) . d.Ecrirelamatriceassoci´eea` f dans la base canonique de IR 4 . Exercice 4 . — On note E = M 2 lespacevectorieldesmatricescarr´eesdordre2a`coecients r´eels.Soit A = 1224 ,onconside`relapplication f : E E de´niepar f ( X ) = AX . a) Montrer que f estlin´eaire. b)D´eterminerKer f et Im f . c) On note E 1 = 1000 , E 2 = 0010 , E 3 = 1000 et E 4 = 0001 .D´eterminerlamatrice de f dans la base canonique { E 1 , E 2 , E 3 , E 4 } . Exercice 5 .Mˆemeexerciceavec A = 11 11 avec en plus : d)De´terminerlinversede A .End´eduirelapplicationre´ciproquede f et l’inverse de M . Exercice 6 . — Soit E =IR 2 [ X ]lespacevectorieldespolynoˆmesen X `acoecientsr´eelsde degr´e 2 . a) Soit ϕ l’application de E dans E de´niepar: ϕ ( P ) = (2 X + λ ) P ( X ) ( X 2 1) P 0 ( X ) . Prouver que ϕ estline´aire.Ecriresamatrice M dans la base { 1 , X, X 2 } . b)Est-elleinjective,surjective?D´eterminersonnoyauetsonimageenfonctionde λ . 2
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U.J.F. (Grenoble I) Sm2b4 Fonctions de plusieurs variables 1-Ge´n´eralite´s: De´nition . — Une fonction de plusieurs variables est une application f : U IR (ou parfois C) ou` U IR n estledomaineded´enitiondelafonction.Onnotecettefonction f ( x 1 , . . . , x n ). Exemples : f ( x 1 , . . . , x n ) = x 1 + . . . + x n estunefonctionlin´eairede n variables. g ( x, y ) = x 2 + yx 2 1 estunefonctiondedeuxvariablesde´niesur U = { ( x, y ) | x 2 + y 2 6 = 1 } ⊂ IR 2 . h ( x, y, z ) = ln( e x + e y + e z )estunefonctiondetroisvariablesd´eniesurIR 3 tout entier. Ensemble (ligne) de niveau . — L’ensemble N ( c ) des points ( x 1 , . . . , x n ) de U ou ` f ( x 1 , . . . , x n ) = c est l’ensemble de niveau c de f . Si n = 2 on dit que N ( c ) est une ligne de niveau : si z = f ( x, y )d´esignelaltitudedunpointdunecarte U (des Alpes par exemple), N ( c ) est l’ensemble des courbes de niveau d’altitude c . Exercice 1 . — Tracer les courbes de niveau de f ( x, y ) = x 2 + y 2 et de g ( x, y ) xy . = Graphe de f . — C’est dans IR n +1 l’ensemble G despointsdecoordonn´ees( x 1 , . . . , x n +1 ) avec x n +1 = f ( x 1 , . . . , x n ). Si n = 2, le graphe G est une surface . Exercice 2 . — Representer le graphe de f ( x, y ) = x 2 + y 2 et de g ( x, y ) = xy . ´ Application partielle .Lakie`meapplicationpartiellede f en x = ( x 1 , . . . , x n ) est la fonction d’une variable f k ( t ) = f ( x 1 , . . . , x k 1 , t, x k +1 , . . . , x n )(onaxe´touteslesvariablessauflaki`eme). Exercice 3 . — Donner les applications partielles de f ( x, y, z ) = x 2 xy + z ln x en ( x, y, z ) = (1 , 1 , 2). De´riv´eespartielles . — Soit f k ( t )lakie`meapplicationpartiellede f en x = ( x 1 , . . . , x n ), la d´erive´e f 0 k ( x k )(sielleexiste)estnot´ee xf k ( x 1 , . . . , x n ):cestlad´eriv´eepartielle(dordre1)de f par rapport a x k au point x = ( x 1 , . . . , x n ). ` emeˆmedesde´rive´espartielles,on 2 ∂f e partielle Si xf k existe et admet ell note ∂x l fx k = x xlk (de´riv´e d’ordre 2) etc. Exercice 4 .Calculerlesde´rive´espartiellesdordre1et2de f ( x 1 , . . . , x n ) = x 12 + . . . + x 2 n . Exercice 5 . — Soient g ( x, y )ayantdesde´riv´eespartiellesdordre2.ettelleque g ( x, y ) = g ( y, x ) pour tout ( x, y ).Ve´rierque x 2 gy ( x, y ) = 2 gx ( y, x ) ∂y∂ Point critique. Extremum . — Soit f une fonction de n variables. Un point a ou` xf k ( a ) = 0 pour k = 1 , . . . , n estappel´e point critique . Soit maintenant a = ( a 1 , . . . , a n )unpointo`u f atteint un extremum f ( a ) (maximum ou minimum). Il est clair que toutes les applications partielles f k ( k = 1 , . . . , n )atteignentalorsunextremumaur´eel a k correspondantetdoncontuned´erive´enulleen a k . En un extremum a = ( a 1 , . . . , a n ), on a donc 0 xf k ( a ) = f k ( a k ) = 0 pour k = 1 , . . . , n . Proposition. — Unextremumestunpointcritique(maiseng´en´eralonnapaslare´ciproque!)
Exercice 6 . — Points critiques et extremums des fonctions : a) f ( x 1 , . . . , x n ) = x 12 + . . . + x n 2 b) g ( x, y ) = x 2 y 2 3
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