Nouvelles expressions des formules de Hasse et de Hermite pour la fonction Zêta d'Hurwitz

Marc-Antoine Coppo

Description

Niveau: Supérieur
Nouvelles expressions des formules de Hasse et de Hermite pour la fonction Zêta d'Hurwitz Marc-Antoine Coppo CNRS - Université de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire J.A. Dieudonné Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 2 Expositiones Mathematicae 27 (2009), 79-86. Résumé This article presents an interesting relation between the Hurwitz zeta function ?(s, x) and a modification of the Bell polynomials through the rewriting of two classical identities discovered by Hasse and Hermite respectively. Some applications of these new expressions to Euler's sums are also underscored. MSC 2000 : Primary 11M35 ; secondary 40-02, 40-03. 1 Introduction La fonction zêta d'Hurwitz (cf. [1] 1.3.1) est définie pour <(s) > 1 et x > 0 par la série : ?(s, x) = ∞∑ n=0 1 (n+ x)s . Introduite en 1882 par Hurwitz1, cette fonction a fait l'objet au cours des decennies qui ont suivi (et jusqu'aux années 1930) de travaux devenus classiques de Lerch, Mellin, Hermite et Hasse. En sommant pour n ≥ 0 l'expression : ?(s) (n+ x)s = ∫ +∞ 0 e?(n+x)tts?1 dt on obtient la représentation intégrale : ?(s, x) = 1 ?(s) ∫ +∞ 0 e?xtts?1 1 ? e?t dt (1)

• polynômes de bell


• représentation explicite des équations de korteweg de vries et de kadomtsev-petvisashvili


• formule exponentielle

Sujets

• Antipolis
• Universidad de Niza Sophia Antipolis
• Polynômes de Bell

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Nouvelles expressions des formules de Hasse et de Hermite pour la fonction Zêta d’Hurwitz

Marc-Antoine Coppo CNRS - Université de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire J.A. Dieudonné Parc Valrose F-06108 Nice Cedex 2 [e-mail]

Expositiones Mathematicae27(2009), 79-86.

Résumé This article presents an interesting relation between the Hurwitz zeta functionζ(s, x) and a modification of the Bell polynomials through the rewriting of two classical identities discovered by Hasse and Hermite respectively. Some applications of these new expressions to Euler’s sums are also underscored. MSC 2000 : Primary 11M35 ; secondary 40-02, 40-03.

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Introduction

La fonction zêta d’Hurwitz (cf. [1] 1.3.1) est définie pour<(s)>1etx >0par la série : ∞ X 1 ζ(s, x) =. s (n+x) n=0 1 Introduite en 1882 par Hurwitz , cette fonction a fait l’objet au cours des decennies qui ont suivi (et jusqu’aux années 1930) de travaux devenus classiques de Lerch, Mellin, Hermite et Hasse. En sommant pourn≥0l’expression : Z +∞ Γ(s) −(n+x)t s−1 =dte t s (n+x) 0 on obtient la représentation intégrale : Z +∞ − xt s−1 1e t ζ(s, x) =dt(1) −t Γ(s) 1−e 0 1.Zeitschrift für Mathematik und Physik, t. XXVII

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qui fait apparaitreζ(s, x)comme une transformée de Laplace (enx) et comme une transformée de Mellin (ens). L’apparition des polynômes de Bell (cf. [7] chapitre 5) remonte quant à elle au milieu du 19ème siècle avec les travaux de Faà de Bruno (cf. [6] pour une approche historique). Dans ce travail, nous considérerons une forme modifiée de ces polynômes, définis par la fonction génératrice : ∞ ∞ X X n t n exp(x n ) =P n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )t .(2) n n=1n=0

Les premiers polynômes de Bell modifiés sont les suivants : 1 1 2 3 P= 1 ;P(x) =x;P(x+x 0 1 1 1 2 (x 1 , x 2 ) = 1 2 ) ;P 3 (x 1 , x 2 , x 3 () = x+ 3x 1 x 2 + 2x 3 ) ;etc. 1 2 6 Il y a une dizaine d’années, on s’est aperçu que ces polynômes intervenaient en Physique mathématique où ils permettent de donner une représentation explicite des équations de Korteweg de Vries et de Kadomtsev-Petvisashvili (cf. la proposition 8 dans [8]). L’objet de cet article est d’établir une intéressante connexion entre la fonctionζ(s, x) et les polynômesP n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )au travers de la reformulation de deux identités clas- siques respectivement dues à Hasse (cf. [3] p. 461) et Hermite (cf. [4] p. 540) :

Théorème 1.SoitP n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )le n-ème polynôme de Bell modifié défini par (2). n Z 1 X 1 (m) Soith(x) =. Soitλ n+1 =x(1−x)∙ ∙ ∙(n−x)dx. Pour tout entier n m (i+x) 0 i=0 s >1et tout réelx >0, on a : ∞ X n! (1) (s−2) (s−1)ζ(s, x) =P s−2 (h(x),∙ ∙ ∙, h(x))(3) n n (n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) n=0

et ∞ X 1 1λ n+1 (1) (s−1) ζ(s, x)−= +P s−1 (h(x),∙ ∙ ∙, h(x)). n n s−1s (s−1)x2x(n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) n=1 (4)

Remarquons que l’identité (4) se prolonge ens= 1par la formule :

∞ X 1 1λ n+1 lim (ζ(s, x)−) = lnx−ψ(x+) = , s−1 (s−1)x2x(n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) s→1 n=1

oùψdésigne la fonction digamma d’Euler (cf. [1] 1.2), ce qui donne en particulier pour x= 1la somme classique (cf. [5] p. 280) pour la constante d’Euler :

∞ X 1λ n+1 −ψ(1) =γ= +. 2 (n+ 1)(n+ 1)! n=1

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Pours= 2, la formule de Hermite (4) s’écrit : ∞n X X 1 1λ n+1 1 ζ(2, x)−= +. 2 x2x(n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n)i+x n=1 i=0 En spécialisant enx= 1, on obtient : ∞ X 2 π3λ n H n = + 6 2n!n n=2 oùH n désigne le n-ème nombre harmonique. Indiquons à présent quelques cas particuliers remarquables de la formule de Hasse (3) pour de petites valeurs des. Pours= 2, l’identité (3) s’écrit : ∞ X n! ζ(2, x) =(5) (n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) n=0 1 ce qui donne en spécialisant (5) enx=: 2 ∞ 2 2n+1 2 X 1π2 (n!) ζ(2,) = 3ζ(2) = =. 2 2 (n+ 1)(2n+ 1)! n=0 Pours= 3, l’identité (3) s’écrit : ∞n X X n! 1 2ζ(3, x) =(6) (n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n)i+x n=0 i=0 En spécialisant (6) enx= 1, on retrouve la célèbre relation d’Euler (cf. [9]) : ∞ X H n 2ζ(3) = 2 n n=1 1 Enfin, en spécialisant (6) enx=, on obtient : 2 ∞ 2n+1 2 X 1 2 (n!) 1 ζ(3,) = 7ζ((3) = H 2n+1 −H n ). 2 (n+ 1)(2n2+ 1)! n=0 D’autres applications intéressantes du Théorème 1 aux sommes d’Euler sont données à la fin de l’article.

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Démonstration du Théorème 1

2.1 Propriétés des polynômes de Bell modifiés Dans ce paragraphe nous introduisons lespolynômes de Bell modifiés(qui sont ap- pelés polynômes de Schur dans [8]) puis nous démontrons un lemme crucial dans la démonstration du Théorème 1.

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Les polynômes de BellB n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )peuvent être définis récursivement par la for- mule : n   X n B n+1 (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n+1 ) =B k (x 1 ,∙ ∙ ∙, x k )x n+1−k ;B 0 = 1(7) k k=0 Ils vérifient laformule exponentielle(cf.[7]) : ∞ ∞ n n X X t t exp(x n ) =B n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n ).(8) n!n! n=1n=0

La formule de récurrence (7) permet de donner une expression déterminantielle des polynômes de Bell (cf. [6], [8]) :   x 1 −01 0 ∙ ∙ ∙0 x 2 x 1 −1 0∙ ∙ ∙0 x 3 2x 2 x 1 −1∙ ∙ ∙0 x 4 3x 3 3x 2 x 1 ∙ ∙ ∙0 B n (x 1 , x 2 ,∙ ∙ ∙, x n ) = det . . ..∙ ∙ ∙0     . . . .∙ ∙ ∙ −1         n−1n−1n−1n−1 x n x n−1 x n−2 x n−3 ∙ ∙ ∙x 1 1 2 3n−1 Définition 1.Les polynômes de Bell modifiésP n (x 1 , x 2 ,∙ ∙ ∙, x n )sont définis par la relation : 1 P n (x 1 , x 2 ,∙ ∙ ∙, x n ) =B n (0!x 1 ,1!x 2 ,∙ ∙ ∙,(n−1)!x n ). n! Ils vérifient donc la formule exponentielle modifiée : ∞ ∞ X X n t n exp(x n ) =P n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )t .(9) n n=1n=0 Lemme 1.Pour toutm≥0etx >0, on a l’identité : Z +∞ m t n! −xt−t n(1) (m) e(1−e)dt=P m (h(x),∙ ∙ ∙, h(x))(10) n n (m)!x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) 0

n X 1 (j) avech(x) =. n j (i+x) i=0 Démonstration.L’identité (10) s’obtient en dérivantmfois par rapport àxl’identité eulérienne (cf. [1] 1.1.27) : Z +∞ n! −xt−t n e(1−e)dt=. x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) 0 Posons en effet : n! S(n,0, x) = x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n)

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et m (−1) m S(n, m, x) =DS(n,0, x) m! La série de Taylor deS(n,0, x−t)entà l’origine s’écrit :

∞ X m S(n,0, x−t) =S(n, m, x)t m=0

En écrivant : n n Y X t t −1 S(n,0, x−t) =S(n,0, x) (1−) =S(n,0, x) exp(−ln(1−)) i+x i+x i=0i=0

on déduit alors, en développant le logarithme en série entière, l’expression :

n∞ X X m t S(n,0, x−t) =S(n,0, x) exp( ) m m(i+x) i=0 m=1

c’est à dire : ∞ ∞ X X m t m(m) S(n, m, x)t=S(n,0, x) exp(h(x) ) n m m=0m=1

D’où, par identification avec (9) l’identité :

avec

n X 1 (m) h(x) = n m (i+x) i=0

(1) (m) S(n, m, x) =S(n,0, x)P(x)). m (h n (x),∙ ∙ ∙, h n

qui est équivalente à (10).

2.2 Deux représentations intégrales de la fonction zêta d’Hurwitz On commence par modifier quelque peu l’expression (1) donnée dans l’introduction.

Lemme 2.On a les identités : Z +∞ s−2 t t −xt (s−1)ζ(s, x) =e( )dt −t 1−eΓ(s−1) 0

(11)

et Z +∞ s−1 1 1 1 1 1t −xt ζ(s, x)− −=e(− −)dt(12) s−1s−t (s−1)x2x1−e t2 Γ(s) 0 Démonstration.Les identités précédentes se déduisent aisément de l’expression (1) dont elles constituent deux variantes. On notera que (11) est une expression meilleure que (1) car tous les termes qui figurent sous l’intégrale sont sous contrôle.

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Lemme 3.On a, pourt >0, les développements : ∞ X t1 −t n = (1−e)(13) −t 1−e(n+ 1) n=0 et ∞ Z X 1 1 1 1λ n+1 −t n − −= (1−e)oùλ n+1 =x(1−x)∙ ∙ ∙(n−x)dx(14) −t 1−e t2 (n+ 1)! 0 n=1 −t Démonstration.L’dentité (13) se déduit aisément (en posantz= 1−e) du dévelop- pement en série du logarithme : ∞ X n log(1−z)z −= (|z|<1), z(n+ 1) n=0 et l’identité (14) du développement en série du binôme : ∞ X n+1 z x (1−z) = 1−xz−x(1−x)∙ ∙ ∙(n−x) (|z|<1) (n+ 1)! n=1 après intégration terme à terme entrex= 0etx= 1.

2.3 Preuve des formules (3) et (4) Le Théorème 1 résulte directement des lemmes 1, 2 et 3 précédents. En effet, par (11) et (13), on a : Z ∞ X +∞ s−2 1t −xt−t n (s−1)ζ(s, x) =e( (1−e) )dt (nΓ(+ 1) s−1) 0 n=0 R P ce qui, après permutation de et (la série étant à termes positifs), s’écrit encore : ∞ Z X +∞ s−2 1t −xt−t n (s−1)ζ(s, x) =e(1−e)dt (nΓ(+ 1) s−1) 0 n=0 On applique alors l’identité (10) avecm=s−2ce qui donne la formule (3). De même, par (12) et (14), on a : Z ∞ X +∞ s−1 t 1 1λ n+1 n −xt−t ζ(s, x)− −=e( (1−e) )dt s−1s (s−1)x2x(nΓ(+ 1)! s) 0 n=1 R P ce qui, après permutation de et (la série étant à termes positifs), s’écrit encore : ∞ Z +∞ s−1 X 1 1λ n+1 t −xt−t n ζ(s, x)− −=e(1−e)dt, . s−1s (s−1)x2x(nΓ(+ 1)! s) 0 n=1 On applique alors l’identité (10) avecm=s−1ce qui donne la formule (4)

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Application aux sommes d’Euler

L’expression (facilement calculable) des polynômesP n pourn= 0,1,2,3: 1 1 2 3 P= 1 ;P(x) =x x) = (x+ 3x x+ 2x), 0 1 1 1 ;P 2 (x 1 , x 2 ) = (x 1 +x 2 ) ;P 3 (x 1 , x 2 , 3 1 1 2 3 2 6 permet d’écrire la formule (3) sous une forme plus explicite pours= 2,3,4,5:

Corollaire 1.Pourx >0, on a : ∞ X n! ζ(2, x) = (n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) n=0 ∞n X X n! 1 2ζ(3, x) = (n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n)i+x n=0 i=0 ∞n n X X X n! 1 1 2 6ζ(4, x+ ][( ) ) = 2 (n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n)i+x(i+x) n=0 i=0i=0

∞ X n! 24ζ(5, x) = (n+ 1)x(x+ 1)∙ ∙ ∙(x+n) n=0 n n n n X X X X 1 1 1 1 3 ×]+ 2 + 3 [( ) 2 3 i+x(i+x) (i+x) (i+x) i=0i=0i=0i=0 1 s Des relations :ζ(s,1) =ζ(s)etζ(s,) = (2−1)ζ(s)se déduisent alors les formules : 2 ∞ X 2 2n+1 2 π2 (n!) 3ζ=(2) = (15) 2 (n+ 1)(2n+ 1)! n=0

∞ X H n 2ζ(3) = 2 n n=1 ∞ 2n+1 2 X 2 (n!) 1 7ζ((3) = H 2n+1 −H n ) (n+ 1)(2n2+ 1)! n=0 ∞ ∞ (2) X X 4 2 π(H n )H n 6ζ= +(4) = 2 2 15n n n=1n=1 ∞ 4 2n+2 2 X π2 (n!) 1 (2) 1 2 (2) 45ζ= [((4) = H 2n+1 −H n ) + (H−H)] 2n+1 n 2 (n+ 1)(2n2 4+ 1)! n=0 ∞ ∞ (2) ∞ (3) X X X 3 (H n )H n H n H n 24ζ+ 3 + 2(5) = 2 2 2 n n n n=1n=1n=1

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