Observation et stabilisation d'ondes geometrie et cout du controle

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Observation et stabilisation d'ondes : geometrie et cout du controle Memoire presente pour l'habilitation a diriger des recherches, specialite mathematiques. Kim Dang PHUNG 17 decembre 2007 Table des matieres 1. Introduction 2. Travaux lies a la these 2.1 Un aperc¸u de l'etat de l'art pour l'equation des ondes 2.2 Stabilisation des equations d'Euler 2D incompressible par la force de Lorentz 2.3 Cout du controle approche de l'equation de la chaleur avec un potentiel 3. Principaux themes de recherche depuis la these 3.1 La constante d'observabilite sous la condition de controle geometrique de C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch 3.2 L'observation vis-a-vis de la geometrie 4. La fonction frequence et ses applications 4.1 L'approche originale de N. Garofalo et F.H. Lin 4.2 L'approche amelioree de I. Kukavica 4.3 Propriete quantitative de continuation unique pour le laplacien 4.4 Propriete quantitative de continuation unique pour l'operateur elliptique ∂2t +∆ 4.5 Propriete quantitative de continuation unique pour la somme de vecteurs propres 4.6 Application a l'equation de la chaleur 4.7 Application a l'equation des ondes 5. Principales nouveautes liees a l'equation de Schrodinger 5.1 De l'equation des ondes a celle de Schrodinger 5.2 De l'equation de Schrodinger a celle des ondes 6. Projet en cours sur l'equation de Schrodinger 7. Travaux en collaboration 8.

  • bord

  • region ?

  • cadre des problemes inverses

  • controlabilite exacte

  • controle

  • condition de controle geometrique

  • taille ? du voisinage


Publié le : samedi 1 décembre 2007
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Observation et stabilisation d’ondes :
g¶eom¶etrie et cout^ du contr^ole
M¶emoire pr¶esent¶e pour
l’habilitation a? diriger des recherches,
sp¶ecialit¶e math¶ematiques.
Kim Dang PHUNG
17 d¶ecembre 2007
Table des matieres?
1. Introduction
2. Travaux li¶es a? la these?
2.1 Un aper»cu de l’¶etat de l’art pour l’¶equation des ondes
2.2 Stabilisation des ¶equations d’Euler 2D incompressible par la force de Lorentz
2.3 Cout^ du contr^ole approch¶e de l’¶equation de la chaleur avec un potentiel
3. Principaux th?emes de recherche depuis la th?ese
3.1 La constante d’observabilit¶e sous la condition de contr^ole g¶eom¶etrique de C. Bardos, G.
Lebeau et J. Rauch
3.2 L’observation vis- a-vis de la g¶eom¶etrie
4. La fonction fr¶equence et ses applications
4.1 L’approche originale de N. Garofalo et F.H. Lin
4.2che am¶elior¶ee de I. Kukavica
4.3 Propri¶et¶e quantitative de continuation unique pour le laplacien
24.4 Propri¶et¶e quantitative de continuation pour l’op¶erateur elliptique @ +¢t
4.5 Propri¶et¶e quantitative de continuation unique pour la somme de vecteurs propres
4.6 Application a? l’¶equation de la chaleur
4.7 a? l’¶equation des ondes
5. Principales nouveaut¶es li¶ees a? l’¶equation de Schr˜odinger
5.1 De l’¶equation des ondes a? celle de Schr˜odinger
5.2 De l’¶ de Schr˜odinger a? celle des ondes
6. Projet en cours sur l’¶equation de Schr˜odinger
7. Travaux en collaboration
8. Publications
11 Introduction
L’objectif de ce m¶emoire consiste a? d¶ecrire mes activit¶es de recherche depuis l’obtention de la these?
jusqu’ amesr¶ecentstravaux. Mescentresderecherchesontlespropri¶et¶esqualitativesdes¶equationsaux
d¶eriv¶ees partielles (EDP) dans le cadre de la th¶eorie du contr^ole des EDP dans des domaines born¶es.
Les¶equationsquirentrentenjeusontcellesdelaphysiquemath¶ematique: les¶equationsdeSchr˜odinger
(m¶ecanique quantique), les ¶equations de Maxwell (¶electromagn¶etisme) et les ¶ hyperboliques,
les ¶equations d’Euler (m¶ecanique des uides) et les ¶equations paraboliques. Mes travaux englobent
des r¶esultats sur la contr^olabilit¶e exacte, le contr^ole approch¶e et optimal, et aussi des r¶esultats de
stabilisation (contr^ole en boucle ferm¶ee).
2 Travaux directement li¶es a? la these?
Dans cette section sont rappel¶ees les d¶eflnitions et les notations classiques pr¶esentes dans ce m¶emoire.
Aussi, nous allons commencer par rappeler les notions de base de la th¶eorie du contr^ole des EDP.
Ensuite, nous d¶ecrivons deux r¶esultats directement li¶es a? la these? : la stabilisation des ¶equations
d’Euler2DincompressibleparlaforcedeLorentzg¶en¶er¶eeparles¶equationsdeMaxwellavecloid’Ohm;
le cout^ du contr^ole approch¶e de l’¶equation de la chaleur avec potentiel.
Contr^oler un systeme? consiste a? ^etre capable de modifler le comportement de la solution d’une
EDP selon notre d¶esir. Dans le cadre de systeme? gouvern¶e par des EDP d’¶evolution en temps et
se propageant dans un domaine en espace › born¶e, le probleme? mod?ele de la contr^olabilit¶e exacte
(respectivement, approch¶ee) revient a? amener en un temps T > 0 flx¶e, la solution d’une EDP depuis
une donn¶ee initiale vers une cible donn¶ee (respectivement, vers un voisinage de taille " > 0 de la
cible) en construisant un contr^ole ad¶equat support¶e dans un sous-domaine !£ ]0;T[ de ›£ ]0;T[
(dans ce paragraphe, ! est soit une partie de @›, soit un ouvert de ›). Pour des syst?emes lin¶eaires, la
contr^olabilit¶eexacteest¶equivalentepardualit¶ea?l’obtentiond’unein¶egalit¶ed’observabilit¶equiconsiste
a? majorer la donn¶ee initiale de la solution u(x;t) d’une EDP lin¶eaire d¶eflnie dans un domaine born¶e
›£]0;T[ par sa restriction sur un sous-domaine !£]0;T[ de ›£]0;T[, dans des normes ad¶equates:
? ? ?fl fl?
? ? ?fl fl?
u(x;0) •C u(x;t) , (2.1)? ? ?fl fl?jx2› jx2!;t2]0;T[
et la constante C ne d¶epend que de (›;!;T). C sera alors appel¶ee constante d’observabilit¶e. Par
ailleurs, laconstanteC d¶eterminelecout^ ducontr^ole. Lesous-domaine!£]0;T[corresponda?lataille
du support du contr^ole.
Si l’on s’int¶eresse a? des systemes? ayant des efiets r¶egularisant sur la donn¶ee initiale, alors le choix
des normesk¢k etkj¢jk joue un r^ole pr¶edominant. Si l’on s’int¶eressea? des systemes? ou? les ondes (ou les
singularit¶es) se propagent a? vitesse flnie, en agissant dans la r¶egion !£]0;T[‰ ›£]0;T[, il faudra
se donner un temps de contr^olabilit¶e T su–samment grand pour que l’¶etat de la solution puisse ^etre
modifl¶e sur tout le domaine › a? l’instant T. De plus, pour r¶ealiser la contr^olabilit¶e exacte, le sous-
domaine ! devra ^etre su–samment grand a? cause des rayons captifs. Maintenant, si la constante C
devait d¶ependre de la fr¶equence li¶ee a? la donn¶ee initiale u(x;0), alors on ne pourrait qu’en d¶eduire un
r¶esultat de contr^olabilit¶e approch¶ee avec un cout^ appropri¶e (ce cout^ sera d’autant plus¶elev¶e si la taille
" du voisinage est petite). L’obtention de telles in¶egalit¶es s’apparente aux problemes? d’observabilit¶e et
quantifle la propri¶et¶e de continuation unique de l’EDP.
Une ¶etude approfondie des propri¶et¶es qualitatives de l’EDP est donc n¶ecessaire pour pouvoir
r¶esoudre de maniere? flne les problemes? d’observabilit¶e et de contr^olabilit¶e. En parall?ele, le probl?eme
de la stabilisation se rapporte a? une ¶etude du comportement asymptotique en temps de la solution
2d’une EDP. On s’int¶eresse a? des systemes? dissipatifs ou? l’amortissement n’agit que dans la r¶egion
!£]0;+1[‰ ›£]0;+1[. On vise alors une d¶ecroissance exponentielle en temps de la solution du
syst?emeamortidansunenormead¶equate. Parunetechniquedeperturbation,lad¶ecroissanceexponen-
tiellepeut^etre¶equivalentea?l’obtentiond’unein¶egalit¶ed’observabilit¶eou?laconstanteC d’observabilit¶e
ne d¶epend que de (›;!;T). Si la constante C devait d¶ependre de la fr¶equence li¶ee a? la donn¶ee initiale
u(x;0), alors on ne pourrait qu’en d¶eduire un taux de d¶ecroissance non uniforme en la donn¶ee
du syst?eme amorti.
Notations .- La fonction carat¶eristique sur un ensemble X sera not¶ee 1 . L’¶energie a? l’instant tX¡ ¢ ¡ ¢
1 2 1d’une fonction f =f(x;t)2C R;L (›) \C R;H (›) est d¶eflnie par
Z ‡ ·
1 2 2
E(f;t)= j@ f(x;t)j +jrf(x;t)j dx .t
2 ›
2.1 Un aper»cu de l’¶etat de l’art pour l’¶equation des ondes
Dans le cadre de la probl¶ematique de la contr^olabilit¶e d’un systeme? lin¶eaire r¶eversible mod?ele comme
Nl’¶equationdesondesdansunouvert›born¶edeR , N ‚1,a?bord @›r¶egulier, lesquestionssuivantes
ont fait l’objet de nombreux travaux.
2 2Fixons T > 0 et ¡ une partie non vide de @›. SoitF l’application de L (@›£]0;T[) dans L (›)£
¡1H (›) d¶eflnie par la r¶esolution du systeme?
8
2< @ v¡¢v =0 dans ›£]0;T[ ,t
v =g1 sur @›£]0;T[ ,¡£]0;T[
:
(v;@ v)(¢;T)=(0;0) dans › , et F(g)=(v;@ v)(¢;0) dans › .t t
2 2 ¡1¶Etantdonn¶eC ?L (¡£]0;T[)etD ?L (›)£H (›),choisissons(v ;v )2D . Onconsid?eread ad 0 1 ad
la fonctionnelle J sur C d¶eflnie par(v ;v ) ad0 1
2
J (g)=kF(g)¡(v ;v )k .(v ;v ) 0 1 2 ¡10 1 L (›)£H (›)
Lacontr^olabilit¶eexactefrontiere? del’¶equationdesondesest¶equivalentea?lasurjectivit¶edel’application
F. La question naturelle, compte tenu des propri¶et¶es physiques des ondes est : quelle situation
g¶eom¶etrique, et notamment quelles hypotheses? sur (›;¡;T) doit-on imposer pour que la surjectivit¶e
deF soit v¶erifl¶ee ?
Dans la mesure ou? les hypotheses? g¶eom¶etriques ne sont pas satisfaites pour que F soit surjective,
nous allons rechercher un espace fonctionnel D dans lequel Im(F) soit dense. La question de laad
contr^olabilit¶e approch¶ee se r¶e¶ecrit ainsi : pour tout " > 0, pour tout (v ;v ) 2 D , existe-t-il un0 1 ad
2contr^ole approch¶e g2L (¡£]0;T[) tel que J (g)•" ? Au quel cas, peut-on estimer le cout^ de(v ;v )0 1
ce contr^ole approch¶e en fonction de " ?
Eventuellement (et ceci correspond a? la notion de contr^ole optimal), nous essayons de minimiser sur
tous les contr^oles admissibles g, la fonctionnelle J (g). Ceci se ramene? a? la question suivante :(v ;v )0 1
2 ¡1pour tout (v ;v ) 2 L (›)£H (›) , existe-t-il un contr^ole optimal g 2 C tel que J (g) =0 1 ad (v ;v )0 1
inf J (h) ?(v ;v )0 1h2Cad
Quand le contr^ole d¶epend de la solution v (contr^ole en boucle ferm¶ee) et quand le syst?eme devient
dissipatif (par exemple, en rempla»cant le contr^ole par une condition aux limites absorbante), l’¶energie
est une fonction positive et d¶ecroissante en temps. Aussi, nous ¶etudions le comportement en temps
long de l’¶energie. En particulier, le choix de difi¶erentes conditions de Cauchy et/ou d’hypoth?eses
g¶eom¶etriques entra^‡ne difi¶erentes estimations sur le taux de d¶ecroissance de l’¶energie. La stabilisation
forte consiste a? ¶etablir un taux de d¶ecroissance uniforme et exponentiel en temps.
3La m¶ethode H.U.M. de J.-L. Lions [ Lio] caract¶erise le contr^ole exact en r¶esolvant le probleme? dual
d’observabilit¶e. Dans notre cas mod?ele, la contr^olabilit¶e exacte frontiere? est ¶equivalente a? l’existence
d’une constante C >0 telle que pour toute solution des ondes
8
2@ u¡¢u=0 dans ›£]0;T[ ,< t
u=0 sur @ݣ]0;T[ , (2.2)
: 1 2(u;@ u)(¢;0)=(u ;u )2H (›)£L (›) ,t 0 1 0
on ait
k(u ;u )k •C k@ uk .1 2 20 1 ”H (›)£L (›) L (¡£]0;T[)0
Plusg¶en¶eralement,leprobleme? d’observabilit¶econsistea?majorerlasolutiond¶eflniedans›d’uneEDP
par sa restriction sur une partie ¡ du bord @› ou sur un ouvert ! de › , dans des normes ad¶equates.
Pour une large classe d’EDP, de telles estimations sont fausses sans des contraintes sur les donn¶ees
de Cauchy et/ou sans des hypotheses? g¶eom¶etriques. Aussi, F. John [ J] a introduit les estimations
de d¶ependance de type H˜older et de type logarithmique qui s’¶enoncent, dans notre cas mod?ele de la
maniere? suivante. La d¶ependance de type H˜older correspond a? l’existence d’une constante C >0 telle
que pour toute donn¶ee initiale (u ;u )=0, on ait0 1
ˆ !1=fi
k(u ;u )k 10 1 2H (›)£L (›)0k(u ;u )k 1 • C k@ uk ,0 1 2 ” 2H (›)£L (›) L (¡£]0;T[)0 k(u ;u )k 2 ¡10 1 L (›)£H (›)
ou? fi > 1. La d¶ependance de type logarithmique correspond a? l’existence d’une constante C > 0 telle
que pour toute donn¶ee initiale (u ;u )=0, on ait0 1
1=flk(u ;u )k0 1 1 2H (›)£L (›)
0Ck(u ;u )k0 1 2 ¡1L (›)£H (›)
k(u ;u )k 1 •e k@ uk ,0 1 2 ” 2H (›)£L (›) L (¡£]0;T[)0
ou? fl 2 (0;1). Les estimations de d¶ependance de type H˜older ou logarithmique peuvent ^etre vues
comme des in¶egalit¶es d’observabilit¶e a? basse fr¶equence ou? la quantit¶e
k(u ;u )k 10 1 2H (›)£L (›)0
k(u ;u )k 2 ¡10 1 L (›)£H (›)
estunemesurenaturelledelafr¶equencedel’onde. Onpeutainsinoterquedetellesestimationsdonnent
une quantiflcation de la propri¶et¶e de continuation unique (voir [ Pay] dans le cadre des problemes?
inverses et mal-pos¶es). Par un argument de dualit¶e, de telles estimations de d¶ependance permettent
d’estimer le cout^ du contr^ole approch¶e (voir aussi les travaux de J.-L. Lions dans le cadre du contr^ole
optimala? partir des techniques de minimisation). Finalement, chaque type d’in¶egalit¶es d’observabilit¶e
ouded¶ependanceentra^‡neuntauxded¶ecroissanceexponentiel, polynomialoulogarithmiquepourdes
syst?emes dissipatifs ad¶equats, par exemple
8
2@ w¡¢w =0 dans ›£]0;+1[ ,> t<
w =0 sur @›n¡£]0;+1[ ,
@ w+@ w =0 sur ¡£]0;+1[ ,> n t ' “: 1 2(w;@ w)(¢;0)=(w ;w )2H (›)\ w =0 £L (›) .t 0 1 0j(@›n¡)
Les travaux de C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch [ BLR] ¶etablissent des conditions g¶eom¶etriques,
appel¶eesconditiondecontr^oleg¶eom¶etrique,presquen¶ecessairesetsu–santespourlastabilisationforte
etlacontr^olabilit¶eexactedeproblemes? hyperboliquesscalairesaveclesconditionsauborddeDirichlet
?ou de Neumann. A partir des techniques d’analyse microlocale, ils commencent par d¶emontrer un
r¶esultat reliant les normes Sobolev microlocales jusqu’au bord et les traces (lemme de relev? ement).
Puis ils utilisent le r¶esultat de R. Melrose et J. Sj˜ostrand [ MS] sur la propagation des singularit¶es (en
terme de propagation du front d’onde jusqu’au bord) d’une ¶equation hyperbolique scalaire avec les
4
6 6!conditions aux limites de Dirichlet ou de Neumann, voire la condition aux limites absorbante @ +@ .” t
Cela aboutit a? l’in¶egalit¶e suivante : 8T ‚T ,9c;d>0,c
kuk •c k@ uk +d kuk .1 ” 2 2H (›£]0;T[) L (¡£]0;T[) L (›£]0;T[)
Il reste a? faire dispara^‡tre le terme d’ordre inf¶erieur : d kuk , et cela peut se faire par2L (›£]0;T[)
contradiction et avec un argument de compacit¶e-unicit¶e.
L’in¶egalit¶e ci-dessus s’obtient gr^ace a? la condition de contr^ole g¶eom¶etrique (CCG avec (›;¡;T ))c
suivante :
1† @› 2 C , n’a pas de contact d’ordre inflni avec ses tangentes (ce qui entra^‡ne que pour tout
point (x;t) de ›£R, il existe une unique courbe vivant dans l’espace des phases, appel¶ee
2bicaract¶eristique g¶en¶eralis¶ee, qui est limite de bicaract¶eristiques bris¶ees de @ ¡¢ n’ayant quet
descontactshyperboliquesaveclebord,etdontlaprojectionsurlesvariablesespace-tempspasse
par (x;t)) ;
† Tout rayon g¶en¶eralis¶e (i.e., la projection sur les variables espace-temps de la bicaract¶eristique
g¶en¶eralis¶ee), (x(‰);t(‰)) partant avec t(0)=0 rencontre ¡£(0;T ) en un point non difiractif.c
De mani?ere imag¶ee, un point difiractif est un point du bord qui est ras¶e par le rayon en y laissant une
empreinte insu–sante. Aussi, un contact hyperbolique avec le bord correspond a? la loi de l’optique
g¶eom¶etrique "angle de r¶e exion=angle d’incidence" au bord dans la m¶etrique euclidienne.
Dans le cadre de l’observabilit¶e interne la condition de contr^ole g¶eom¶etrique (CCG avec (›;!;T )), !c
¶etant un ouvert non vide de ›, devient :
1† @›2C , n’a pas de contact d’ordre inflni avec ses tangentes ;
† Tout rayon g¶en¶eralis¶e (x(‰);t(‰)) partant avec t(0)=0 rencontre !£(0;T ).c
Sous cette CCG, on a l’in¶egalit¶e suivante : 8T ‚T ,9c;d>0,c
kuk •c k@ uk +d kuk ,1 2 2tH (›£]0;T[) L (!£]0;T[) L (›£]0;T[)
ou? le terme d’ordre inf¶erieur : d kuk , disparaita? partir d’un argument de compacit¶e-unicit¶e2L (›£]0;T[)
2(toute solution de @ u¡¢u = 0 avec la condition de Dirichlet homogene? au bord et v¶eriflant u = 0t
dans !£(0;T) pour T ‚T doit valoir u=0 dans ›£R).c
La CCG peut aussi se formuler en terme de g¶eod¶esique associ¶e au Laplacien qui est la projection sur
2la variable espace des bicaract¶eristiques g¶en¶eralis¶ees associ¶ees a? @ ¡¢ (voir [ Mi]).t
Dans le cas particulier d’un domaine strictement convexe (donc, il n’y a que des contacts hyper-
boliques au bord), la construction de solutions de l’¶equation des ondes, qui asymptotiquement quand
la fr¶equence de l’onde tend vers l’inflni, sont localis¶ees et se propagent le long d’un rayon de l’optique
g¶eom¶etrique (i.e., le long d’arcs de g¶eod¶esique se r¶e ¶echissant sur le bord selon les lois de
g¶eom¶etrique) est r¶ealis¶ee par J. Ralston [ Ra]. L’existence de telles solutions a? haute fr¶equence (ap-
pel¶ees rayons gaussiens) implique la n¶ecessit¶e de conditions g¶eom¶etriques pour la contr^olabilit¶e exacte
ou la stabilisation forte de systeme? hyperbolique (voir [ BLR]).
Lecaract?ere"n¶ecessaireetsu–santdelaCCG"a¶et¶e¶etabliparN.BurqetP.G¶erard[ BG]a?partir
1des mesures de d¶efaut et se formule comme suit. Soit ’2C (@›£]0;T[), on suppose que @›2C ,0
n’a pas de contact d’ordre inflni avec ses tangentes. Alors, la condition g¶eom¶etrique stipulant que tout
rayon g¶en¶eralis¶e rencontre l’ensemble ’ = 0 en un point non difiractif, est ¶equivalente a? l’in¶egalit¶e
d’observation suivante : 9c>0,
k(u ;u )k •c k’@ uk .0 1 1 2 ” 2H (›)£L (›) L (@›£]0;T[)0
5
6?A partir de techniques plus simples appel¶ees m¶ethode des multiplicateurs, J.-L. Lions [ Lio] (voir
aussi [ Ko]) avait auparavant ¶etabli une in¶egalit¶e d’observabilit¶e. En particulier, il obtient sous des
hypoth?eses g¶eom¶etriques non optimales, une bonne connaissance de la constante d’observabilit¶e vis- a-
vis du temps de contr^olabilit¶e.
3Sans des hypoth?eses g¶eom¶etriques particuli?eres, sauf › connexe de classe C et T >0 assez grand,
lestravauxdeL.Robbiano[ Ro2]surlesin¶egalit¶esdeCarlemanelliptiqueslocalespermettentd’obtenir
une estimation de d¶ependance de type logarithmique avec fl = 1=2 pour les ¶equations hyperboliques¡ ¢
2a? coe–cients ind¶ependants du temps dans C › et un r¶esultat de contr^olabilit¶e approch¶ee pour des
2c="probl?emeshyperboliquesavecuneestimationdelaformee ducout^ ducontr^ole. Parailleurs,a?partir
ducalculh-pseudodifi¶erentiel,L.Robbianoobtientdesin¶egalit¶eslocalesdeCarlemandansundomaine
born¶e pour des op¶erateurs elliptiques du second ordrea? coe–cients r¶eguliers avec la condition au bord
de Dirichlet. Le calcul h-pseudodifi¶erentiel est utilis¶e via l’in¶egalit¶e de Garding et permet d’absorber
les termes d’ordre "inf¶erieur" pour h su–samment petit. Ainsi, une estimation de d¶ependance de type
H˜older pour les solutions de l’¶equation elliptique suivante
2@ y+¢y =0 dans M£]0;T[ , y =0 sur @M£]0;T[ ,t
1est d¶emontr¶ee ou? ¢ est le laplacien sur la vari¶et¶e M riemannienne C , compacte, de dimension n et
connexe a? bord. Une transformation gaussienne est ensuite utilis¶ee pour se ramener a? des r¶esultats
de contr^ole pour les ¶equations hyperboliques. Une g¶en¶eralisation de la transformation gaussienne qui
s’appelle transformation de Fourier-Bros-Iagolnitzer (FBI) d¶eflnie comme suit
Z
Y (x;t)= F (‘ +it¡‘)’(‘)u(x;‘)d‘‘ ;‚ ‚ oo
R
R 2N¿¡1 1 iz¿ ( ?) 1‚ou? ‘ 2 R, ’ 2 C (R), F (z) = e e d¿ avec ‚ ‚ 1, ? = 1¡ et N 2 N tel queo ‚0 2… R 2N
10<fl+ <1,estprivil¶egi¶eeparG.LebeauetL.Robbiano[ LeR2]etpermetd’avoiruneestimation
2N
de d¶ependance de type logarithmique avec fl 2 ]0;1[ pour les ¶equations hyperboliques avec condition
2de Dirichlet au bord. On remarquera que si u est solution de @ u¡ ¢u = 0 avec la det
Dirichlet homog?ene au bord, alors Y (x;t) v¶erifle‘ ;‚o
8
2@ Y (x;t)+¢Y (x;t)=0 , (x;t)2›£R ,< ‘ ;‚ ‘ ;‚t o o
Y (x;t)=0 , (x;t)2@›£R ,‘ ;‚o:
Y (x;0)=(F ⁄’u(x;¢))(‘ ) , x2› ,‘ ;‚ ‚ oo
ou? ⁄ d¶enote l’op¶erateur de convolution.
1Sans des hypotheses? g¶eom¶etriques particuli?eres sauf › connexe de classe C , dans le cadre de
la stabilisation fronti?ere avec la condition absorbante dissipative au bord: @ w +fi(x)@ w = 0 avec” t
1fi2C (@›;[0;+1[)etfx2@›;fi>0g=;,enutilisantlatransformationFBIappliqu¶eea?u=w,G.
Lebeau et L. Robbiano [ LeR2] obtiennent une estimation de d¶ependance de type logarithmique avec
fl 2 ]0;1[ pour le systeme? des ondes dissipatif ce qui entra^‡ne la d¶ecroissance suivante:
¡ ¢ ' “21 28fl2]0;1[,9c>0,8(w ;w )2 H (›) \ ¢w 2L (›) et @ w +fiw =0 , la solution de0 1 0 ” 0 1j@›
8
2@ w¡¢w =0 dans ›£]0;+1[ ,< t
@ w+fi@ w =0 sur @›£]0;+1[ ,” t
:
(w;@ w)(¢;0)=(w ;w ) dans › ,t 0 1
v¶erifle
c
E(w;t)• (E(w;0)+E(@ w;0)) .t2fl
ln (2+t)
Parailleurs,a?partird’estimationsder¶esolvante(etdescalculsdansleplancomplexe),N.Burq[ Bu]a
r¶eussia? d¶emontrer que l’in¶egalit¶e ci-dessus est valable pour fl =1 (fl =1¶etant optimal). Auparavant,
G. Lebeau [ Le] avait ¶etudi¶e la stabilisation interne de l’¶equation des ondes et obtenu un taux de
d¶ecroissance logarithmique a? partir d’estimations de r¶esolvante.
6
6Enfln, remarquonsquelatransformationci-dessusestinop¶erantepourl’¶equationdesondesavecun
potentielenespace-temps. Cependant,letravaildeX.Zhang[ Z]surlesin¶egalit¶esglobalesdeCarleman
permet d’avoir, sous les hypotheses? g¶eom¶etriques g¶en¶er¶ees par la m¶ethode des multiplicateurs, une
2in¶egalit¶e d’observabilit¶e pour l’op¶erateur @ ¡¢+q(x;t).t
2.2 Stabilisation des ¶equations d’Euler 2D incompressible par la force de
Lorentz
Mes deux premiers papiers, durant mes ann¶ees de th?ese au Centre de Math¶ematiques et de Leurs
Applications sous la direction de C. Bardos, sont des notes CRAS ([P01];[P02]) et annoncent la
contr^olabilit¶e exacte interne et la stabilisation frontiere? du systeme? de Maxwell sous les hypoth?eses de
1 2 3 4 5 6 7 8 9contr^ole g¶eom¶etrique. Leurs preuves sont d¶etaill¶ees dans [P03] (cit¶e par , , , , , , , , entre
autres). Les r¶esultats de contr^olabilit¶e exacte et de stabilisation frontiere? d¶ecoulent naturellement des
m¶ethodes¶eprouv¶ees des travaux de C. Bardos, G. Lebeau et J. Rauch, en se ramenanta? six¶equations
des ondes coupl¶ees au bord. Par contre, l’¶etude de la interne et plus pr¶ecis¶ement l’¶etude
du systeme? de Maxwell avec loi d’Ohm a n¶ecessit¶e une approche plus pertinente car la densit¶e de
charge y est non nulle.
Difi¶erents travaux num¶eriques sur le contr^ole de couches limites par une force de Lorentz g¶en¶er¶ee
par un champ ¶electromagn¶etique ont attir¶e mon attention. Aussi, dans [P09], nous nous sommes
int¶eress¶esauxcomportementsentempsdelavitesseetdutourbillond’un uideparfaitincompressible
pilot¶e par la force de Lorentz cr¶ee par un champ ¶electromagn¶etique solution du syst?eme de Maxwell
avec loi d’Ohm.
L’¶etude du comportement asymptotique d’un uide soumis a? un champ ¶electromagn¶etique est un
sujettres? motivant. Enparticulier,deuxproblemes? sontouvertsetextr^emementint¶eressantsd’unpoint
devuedesapplicationsphysiques: lastabilisationdel’¶energiedelavitessedu uide;lecomportement
du uide concentr¶e dans la couche limite. Ici, on s’int¶eressera a? des uides incompressibles mod¶elis¶es
parles¶equationsdeNavier-Stokesoules¶equationsd’Euler. Lafonctioncontr^oleestdonn¶eeparlaforce
de Lorentz g¶en¶er¶ee par les¶equations de Maxwell avec Loi d’Ohm ou? la permittivit¶e, la perm¶eabilit¶e et
la conductivit¶e sont des param?etres, voire des fonctions rapidement oscillantes.
1Nicaise, S. (2000) SIAM J. Control Optim. 38, 1145-1170.
2Lagnese, J. (2001) ESAIM, Control Optim. Calc. Var. 6, 275-289. "These results (i.e. those established by multi-
plier methods) were greatly extended by Phung, who used results on the propagation of singularities of electromagnetic
flelds"
3Eller, M., Master, J. (2002) Appl. Math. Optim. 45, 99-123. "we mention the work by Phung. He uses the method
of geometric optics to study the controllability and stabilization of Maxwell’s system."
4Lagnese, J., Leugering, G. (2002) ESAIM, Control Optim. Calc. Var. 8, 775-799.
5Ammari, H. (2003) J. Math. Anal. Appl. 282, 479-494.
6Nicaise, S., Pignotti, C. (2003) ESAIM, Control Optim. Calc. Var. 9, 563-578.
7Nicaise, S., Pignotti, C. (2005) Abstr. Appl. Anal. 7, 791-811. "Our method actually combines arguments used in
the stabilization of scalar wave equation ... with the use of an internal observability estimate for the standard Maxwell
equations obtained for constant coe–cients by Phung by microlocal analysis ...".
8Nicaise, S., Pignotti, C. (2006) Appl. Math. Optim. 54, 47-70.
9Barucq, H., Fontes, M. (2007) J. Math. Pures Appl. 87, 253-273.
72.3 Cout^ ducontr^oleapproch¶edel’¶equationdelachaleuravecunpotentiel
Le second axe de mes activit¶es de recherche durant mes ann¶ees de these? est li¶e aux problemes? de
difiusion d’ondes monochromatiques d¶ecrites par l’¶equation de Helmholtz et les ¶equations de Maxwell
r¶eduites a? fr¶equence flx¶ee. Une condition aux limites absorbante simule la condition de radiation
a? l’inflni. On se ramene? alors a? un systeme? elliptique dans un domaine born¶e. Dans le cadre
¶electromagn¶etique, il convient de traiter la condition aux limites de Silver-Muller˜ et celle des con-
ducteurs parfaits. La probl¶ematique consistait a? contr^oler, avec une estimation du cout,^ le champ
¶¶etique lointain difius¶e par une cible illumin¶ee par une onde incidente monochromatique en
agissant sur une partie de la surface de l’obstacle. Nous montrons que ce probleme? de contr^olabilit¶e
approch¶ee se d¶eduit d’un r¶esultat d’unicit¶e du systeme? de Maxwell r¶eduit. Aussi, nous quantiflons le
th¶eor?eme d’Holmgrena? partir des in¶egalit¶es de Hardy et de Carleman. Nous nous sommes inspir¶es des
travaux de L. Robbiano sur les in¶egalit¶es de Carleman elliptiques locales obtenues a? partir du calcul
h-pseudodifi¶erentiel et de l’in¶egalit¶e de Garding dans des domaines born¶es. Et plus pr¶ecis¶ement, nous
¶etablissons une d¶ependance logarithmique des traces par rapport a? la solution, d¶eflnie dans tout le
domaine, d’un systeme? elliptique du second ordre sans connaissance de la condition aux limites [P07]
10(cit¶e par dans le cadre des probl?emes inverses). Les r¶esultats d¶esir¶es de contr^ole approch¶e en terme
de cout^ s’en d¶eduisent.
Ici, le point cl¶e vient du fait que l’on travaille avec des systemes? ou? la contr^olabilit¶e exacte est
irr¶ealisable. Prenons le cas de l’¶equation de la chaleur. Une in¶egalit¶e d’observabilit¶e peut s’obtenir
avec un choix ad¶equat des normesk¢k etkj¢jk dans (2.1) sous la forme suivante. Il existe une constante
C >0 telle que pour tout T >0, la solution de
8
< @ u¡¢u=0 dans ›£]0;T[ ,t
u=0 sur @ݣ]0;T[ , (2.3)
: 2u(¢;0)=u 2L (›) ,o
v¶erifle ? ¶
1
pku k •C 1+ kuk ,o 2 2 1L (›) L (0;T;H (›))oT
N 2ou? › est un ouvert born¶e de R , N ‚ 1, a? fronti?ere de classe C . Cela implique le r¶esultat de
contr^olabilit¶e exacte pour l’¶equation de la chaleur avec un contr^ole g agissant sur tout ›£ ]0;T[,¡ ¢
2 ¡1 2g2L 0;T;H (›) permettant d’atteindre au temps T un¶etat arbitraire dans L (›)a? partir d’un
2 2¶etat initial dans L (›). Maintenant, si l’on d¶esire un contr^ole vivant dans L (!£]0;T[), alors cela
n¶ecessite l’existence d’une constante C >0 telle que
ku k •Ckuk .2 2o L (›) L (!£]0;T[)
ku ko 2L (›)
Cette constante C va devoir d¶ependre de la donn¶ee initiale, et plus pr¶ecis¶ement de , car lesku ko ¡1H (›)
efiets r¶egularisant sur la donn¶ee initiale de l’¶equation de la chaleur entra^‡ne que
kuk •ku k .2 ¡1oL (!£]0;T[) H (›)
2En conclusion, avec un contr^ole vivant dans L (!£]0;T[), la contr^olabilit¶e exacte pour l’¶equation de
la chaleur est irr¶ealisable et on se contentera d’un r¶esultat de contr^ole approch¶e. Notre objectif sera
alors de d¶eterminer le cout^ du contr^ole approch¶e.
Comme il a ¶et¶e notifl¶e au paragraphe 2.1, la technique des in¶egalit¶es globales de Carleman est un
outil pr¶ecieux pour traiter le probleme? d’observation quand intervient un potentiel en espace-temps.
10Bourgeois, L. (2006) Inverse Problems 22, 413-430.
8Dans le cadre des probl?emes de contr^ole, les in¶egalit¶es globales de Carleman peuvent^etre vues comme
des in¶egalit¶es d’observation dans des espaces a? poids exponentiel : 9C;h >0,8h2]0;h [,o o
? ? ? ?
? ? ? ?’(x;t)=h ’(x;t)=h?e u(x;t) ?•C?e u(x;t) ? ,jx2›;t2]0;T[ jx2!;t2]0;T[
¡ ¢
1ou? la fonction ’2C ›£[0;T] doit ^etre judicieusement choisie. Cette technique a ¶et¶e d¶evelopp¶ee
par A. Fursikov et O. Imanuvilov [ FI] pour r¶esoudre la contr^olabilit¶e des ¶equations paraboliques.
Une ¶etude complete? des difi¶erents problemes? de contr^olabilit¶e exacte et approch¶ee des ¶equations
paraboliques lin¶eaires et semilin¶eaires a flnalement ¶et¶e r¶ealis¶ee par E. Fernandez-Cara et E. Zuazua
[ FCZ]a? partir des techniques de A. Fursikov and O. Imanuvilov, valable pour › domaine (i.e., ouvert
N 2connexe de R , N ‚ 1) born¶e de classe C . Ils d¶emontrent l’existence d’une constante C > 0 telle
1que pour tout T >0 et tout potentiel q =q(x;t)2L (ݣ]0;T[), la solution de
8
< @ u¡¢u+qu=0 dans ›£]0;T[ ,t
u=0 sur @ݣ]0;T[ , (2.4)
: 2u(¢;0)2L (›) ,
v¶erifle ? ? ¶¶
1 2=3
ku(¢;T)k •exp C 1+ +Tkqk +kqk kuk ,2 2L (›) 1 1 L (!£]0;T[)T
2ou? ! est un ouvert non vide contenu dans le domaine born¶e ›2C .
Dans [P08], j’analyse le cout^ du contr^ole approch¶e de l’¶equation de la chaleur avec un potentiel
1 c=" 1q2L (›£]0;T[). Ce cout^ est de l’ordre de e quand la cible vit dans H (›) avec une pr¶ecision "0
2en norme L (›). Aussi, la quantiflcation de la propri¶et¶e de continuation unique pour la solution u de
(2.4) est ¶etablie comme suit
ku(x;0)k 2L (›)C
ku(x;0)k ¡1H (›)ku(x;0)k •e kuk .2 2L (›) L (!£]0;T[)
Notre r¶esultat complete? le travail de E. Fernandez-Cara et E. Zuazua [ FCZ] sur la contr^olabilit¶e
approch¶ee de l’¶equation de la chaleur avec un potentiel.
3 Principaux themes? de recherche depuis la these?
Il est naturel de chercher a? relier la g¶eom¶etrie du contr^ole et le cout^ du contr^ole. Dans l’in¶egalit¶e
(2.1) le sous-domaine !£]0;T[ correspond a? la taille du support du contr^ole. La constante C qui
intervient dans cette in¶egalit¶e (2.1) d¶etermine le cout^ du contr^ole. Par cons¶equent, nous voulons
mieux comprendre comment interagissent certains param?etres par exemple le temps et la g¶eom¶etrie
dans le cout^ du contr^ole.
Nous avons tout d’abord commenc¶e a? mieux conna^‡tre la constante d’observabilit¶e vis- a-vis de
certains parametres? quand la condition de contr^ole g¶eom¶etrique CCG est satisfaite ([P04];[P06]).
Dans une seconde partie, nous nous sommes int¶eress¶es a? des g¶eom¶etries ou? la condition de contr^ole
g¶eom¶etrique CCG n’est pas satisfaite, mais quand le taux de d¶ecroissance du systeme? des ondes amor-
ties est meilleur que logarithmique ([P11];[P13]).
9
3.1 La constante d’observabilit¶e sous CCG
Dansceparagraphe,ons’int¶eressea?dessystemes? exactementcontr^olablessouslaconditiondecontr^ole
g¶eom¶etrique CCG. Nous d¶eveloppons une strat¶egie pour obtenir la constante d’observabilit¶e de fa»con
explicite vis- a-vis de certains parametres.?
Description de la m¶ethode .- Tout d’abord, on rappelle que l’in¶egalit¶e d’observabilit¶e d¶esir¶ee
est¶equivalentea?lar¶esolutiond’unprobl?emedecontr^olabilit¶eexacte. Cettein¶egalit¶ed’observabilit¶eva
donc pouvoir s’obtenir a? partir d’un r¶esultat de contr^¶e Ensuite, la CCG avec (›;!;T )c
2entra^‡ne l’existence d’une fonction contr^ole g 2 L (!£]¡T ;T [), d¶ependante de la donn¶ee initialec c
1v 2H (›) de la fa»con suivante0 0
kgk •C kv k 1 ,2 0(›;!;T )L (!£]¡T ;T [) c H (›)c c 0
avec C >0 (ne d¶ependant que de (›;!;T )) et telle que la solution de(›;!;T ) cc
8
2@ v¡¢v =g1 dans ›£R ,< !£]¡T ;T [t c c
v =0 sur @ݣR ,
:
(v;@ v)(¢;0)=(v ;0) dans › ,t 0
v¶erifle v(x;t) = 0 pour tout (x;t)2 ›£(Rn]¡T ;T [). Soient T un r¶eel strictement positif et P unc c "
op¶erateur difi¶erentiel du premier ou du second ordre,¶eventuellement d¶ependant d’un parametre? ", par
2 2 1exempleP (t;@ )=r (t)@ +z (t)@ ou? r 2C (R;R);z 2C (R;C)telsquej@ r (0)¡z (0)j=0." t " " t " " t " "t
Nous allons chercher une solution contr^ol¶ee sous la forme int¶egrale suivante
Z
y(x;t)= F (‘;t)v(x;‘)d‘ ,
R
ou? F, solution d’une EDP monodimensionnelle, est a? construire de sorte que
8 RTc
> P (t;@ )y(x;t)¡¢y(x;t)= F (‘;t)g(x;‘)d‘1 , (x;t)2›£R ," t !> ¡Tc<
y =0 sur @ݣR ,
> (y;r (0)@ y)(¢;0)=(v ;0) dans › ," t 0:
(y;r (T)@ y)(¢;T)·0 dans › ." t
R
Nous apercevons en calculant F (‘;t)¢v(x;‘)d‘, qu’un candidat possible est une solution 1D
R
contr^ol¶ee comme suit
8
2> P (t;@ )F (‘;t)¡@ F (‘;t)=f(‘;t)1 , (‘;t)2R£R ," t ‘2(Rn]¡T ;T [)> ‘ c c<
F (‘;0)=–(‘) , ‘2R ,
> r (0)@ F (‘;0)=0 , ‘2[¡T ;T ] ," t c c:
F (‘;t)=0 , (‘;t)2[¡T ;T ]£[T;+1[ .c c
ou? f est une fonction contr^ole et – est la fonction Dirac. Bien ¶evidemment, l’¶eventail des techniques
pour r¶esoudre ce dernier probleme? de contr^ole monodimensionnel est large. Dans notre cas, puisque
nous d¶esirons la constante d’observabilit¶e de fa»con explicite vis- a-vis de certain parametre,? il faudra
aussi ¶etablir une in¶egalit¶e explicite en (";T) pour le systeme? monodimensionnel, par exemple et si
possible
kFk •C(";T) ,2L (]¡T ;T [£]0;T[)c c
ou? C(";T) est une constante d¶ependante de (";T) et ce de maniere? explicite. Finalement, les deux
dernieres? in¶egalit¶es et Cauchy-Schwarz entra^‡nent une estimation du cout^ du contr^ole associ¶e a? y,
? ?Z? T ?c
? ?
F (‘;t)g(x;t)d‘1 •C(";T)C kv k .? ? 1! (›;!;T ) 0c H (›)0? ?¡Tc 2L (!£]0;T[)
Par dualit¶e, sous les conditions ci-dessus, nous en d¶eduisons l’in¶egalit¶e d’observabilit¶e suivante
1
ku k • C(";T)C kuk ,0 ¡1 2(›;!;T )H (›) c L (!£]0;T[)j@ r (0)¡z (0)jt " "
10
6

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