PARTIEL D'ANALYSE Epreuve de rattrapage

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
PARTIEL D'ANALYSE - Epreuve de rattrapage Deug MIAS 2eme annee 27 Novembre 2000 Duree 1H. Cahier de cours autorise. 1. Soient a, b, c ? R avec a > 0. On pose un = n+ √ n∫ n x2 (ax2 + bx + c) √ x dx . Calculer lim n?+∞ un. (3p) 2. Soit f : [ 0,+∞ [ 7? R une fonction continue. Pour x ≥ 0, on pose F (x) = x∫ 0 f(tx)t ln t dt . a) Montrer que F est definie et continue sur R+. b) Calculer F ?(x) pour x ≥ 0.(3p) 1

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Publié le : mercredi 1 novembre 2000
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Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 4
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PARTIEL D’ANALYSE - Epreuve de rattrapage
DeugMIAS2`emeanne´e Dur´ee1H.Cahierdecoursautorise´.
1. Soienta,b,cRaveca >0. On pose n+n Z 2 x un=dx . 2 (ax+bx+c)x n Calculer limun. (3p) n+
2. Soitf0: [,+[7→Rune fonction continue. Pourx0, on pose x Z F(x) =f(tx)tln.t dt 0 + a) Montrer queFcteeitnoseunrued´stnieR. 0 b) CalculerF(x) pourx0.(3p)
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27 Novembre 2000
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Corrig´e 2 Remarquons tout d’abord queax+bx+c >0 pourxassez grand. Doncunrapa`etsnudritxie certain rang. Enappliquantlapremie`reformuledelamoyenne,ilexistesn[n, n+nque] tel n+n Z2 2 s ns n n n un=dx=. 2 2 c)s(as (as+bsn+n n+bsn+c)sn n n Commensnn+ntqueeduiend´,on sn1 1≤ ≤1 +, n n etilre´sulteduth´eore`medencadrementquelasuite(sn/n) converge vers 1, donc quesnn, et que la suite (sn) a pour limite +. Alors   b c√ √ √ 2 22 2 (a+a+ +sas san n. snbsn+c)sn=sn nn n 2 sns n Finalement 1 un, a donc la suite (un) admet 1/acomme limite. 2. a) Tout d’abordF(0) = 0. Sixn’est pas nul, la fonctiongenid´epar tlntsit= 0 g(t) = 0 sit= 0 est continue en 0, puisquetlnt] 0tend vers 0 en 0. Comme elle est continue sur,+elle est[ , continue sur[ 0,+Alors la fonction[ .hxarniepd´e
hx(t) =f(xt)g(t)
este´galementcontinuesur[0,+[cmeommpcocnod,sefonctionscontinusoe´eeptorudtied + elleestinte´grableausensdeRiemann,etF(x) existe surR.
D´emontronstoutdabordlacontinuite´deFanqulippna.En0emrofere`imerpaltuledela moyenne si 0< x <1, puisqueg(x) est positif sur[ 0, xil existe] ,cx[ 0, xque] tel x Z F(x) =f(xcx)g(t)dt . 0 Mais 2 0xcxx . Donc,dapre`slethe´ore`medencadrementxcxtend vers 0 en 0. Alors, puisquefest continue en 0, limf(xcx) =f(0), x0+
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et par ailleurs
Alors,
etFest continue en 0.
x Z limg(x)dx= 0. x0+ 0
limF(x) = 0 =F(0), x0+
Pour´etudierlacontinuit´edeF0sur ],+on effectue le changement de variable[ ,u=tx. Doncdu=xdt. On a alors, sixest non nul, 2 22 x xx Z ZZ u du1 lnx F(x) =f(u) (lnulnx) =f(u)ulnu duf(u).u du 2 2 x xx x 0 00 Posons x x Z Z G(x) =h1(u)duetH(x) =f(u).u du 0 0 Alors 1 lnx 2 2 F(x) =G(x)H(x). 2 2 x x Les fonctionsGetHsont continues, etFest obtenue comme somme de produits de fonctions continues sur] 0,+Elle est donc continue sur[ .] 0,+uelteq´esulenrI.[Fest continue sur sur [0,+[ .
b)Toutcequipr´ec`edepermetdede´montrerqueF0[restd´erivablesu,+En effet,[ .   x Z F(x)F(0) 1   =f(xcx)g(t)dt , x x 0 Mais cette fois x Z 1 limg(t)dt=g(0) = 0. x0+x 0 Alors F(x)F(0) lim =0. x0+x 0 DoncFbavire´dtseleen0etF0el,´gednherods(0)=0.Eital´e 1 lnx 2 2 F(x) =G(x)H(x), 2 2 x x montre queFiverd´nsurssleabdstiudoroitcnofeommenuecedepsomm0]boetets,+Elle[ . estdoncd´erivablesur]0,+alsclecuadrlri´enO.[tueprolaeev´   2 11 2lnxlnx 0202 202 F(x) =G(x) + 2xG(x)− −H(x)2xH(x), 3 23 32 x xx xx mais 0 0 G(x) =f(x)xlnxetH(x) =xf(x), do`u 2 12 lnx 02 22 2 F(x) =G(x) + 4xlnxf(x)H(x)2xlnxf(x). 3 3 x x
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