PC A PC B CHIMIE DS n°5

Description

Niveau: Supérieur

• redaction

PC A - PC B CHIMIE - DS n°5 1 Instructions générales : • Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 8 pages. • Les candidats sont invités à porter une attention toute particulière à la qualité de la rédaction, de l'orthographe et des justifications. • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. • L'usage d'une calculatrice est autorisé pour cette épreuve. • Les parties sont indépendantes. Elles peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Partie 1 [15% des points] : Le vert malachite D'après le concours ENSTIM 2009, filière PCSI Toutes les manipulations sont réalisées à 25°C. Le vert malachite ( +M + ?Cl ) représenté ci-contre – ou violet d'aniline – a été utilisé pour traiter les infections fongiques et bactériennes dans le poisson et les œufs de poisson. En milieu basique, les ions hydroxyde ?HO peuvent se fixer sur le carbocation +M , entraînant la décoloration de la solution suivant une réaction supposée totale : +M + ?HO ? MOH A. Détermination du coefficient d'absorption molaire du vert malachite Q1.

• acide lactique


• détermination du coefficient d'absorption molaire du vert malachite


• ch3


• excès de méthylamine ch3-nh2


• jaune jaune ?


• lieu entre les espèces contenues dans le sang


• pka des couples dérivant de l'acide

Sujets

• Redaction
• Acide lactique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

PCSI 2011-2012

Mathe´matiques

DevoirdeMathe´matiques5 samedi 28 janvier 2012 Dure´e:4heures

Lyce´eBrizeux

Remarquesge´n´erales: •ctmooptreuelusejum´erot´e4pagesn.4dseea`1eVqzefiire´ •scleieopeuspVˆsuoe`t´ppaaesetviintnoitaeturenroetre`ali`eticunparenoitatnese´rpaln;ioctda´earalt` lisiblesoumalpr´esent´eesserontsanctionne´es. •vouretrelanszerlsuogiseiSuaoce´persuoiuqeczer’´elsdurevuvreep’de´errue´v,oncnleˆesembneertreu copieetpoursuivrezvotrecompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquevousaveze´te´amen´ea` prendre.

L’utilisationd’unecalculatriceoud’unt´ele´phoneportableestinterdite.

Exercice1.Surlessuitesdere´els. N 1.Questions de cours.Soit(a n ) n∈N ∈R:ednoitinfie´daliaeda`’lnnre.oDeursficatantidequ (a) Lasuite(a n ) n∈N ee.sebtro´n (b)lima n =ao`ua∈R. (c)lima n = +∞. 2.Questions de cours.Soientr∈Ret(b n ) n∈N e´vetius:tnafiirneu ∀n∈N, b n+1 =r b n . Aucunejustificationn’estdemand´eedanscettequestion. (a) Exprimerb n en fonction den∈N, retb 0 . (b)Aquellesconditionsn´ecessairesetsuffisantes,lasuite(b n ) n onvec.telarsmiliesicolar?egre´rP n P (c) Exprimerb k en fonction den∈N, retb 0 . k=0 3. Soit(c n ) n∈N ar´dfieinpenuseiuetc 0 = 1uturtoceporlpaelaretuce´nerroitarednn≥0: 1 c n+1 = c n +n (a) Justifierque pour toutn >0,c n >0et qu’ainsi(c n ) n∈N efinie.etsibne´d (b) Montrerque(c n ) n∈N converge vers0. 1 (c) Montrerquec n ∼ ∙ n

Exercice 2. Points fixes d’une fonction croissante

Soitf: [0,1]→[0,1]une fonctioncroissante. On se propose de montrer quef`sdeaemupsotinpounnsoi fixe,c’est-a`-direqu’ilexistex 0 ∈[0,1]tel quef(x 0 ) =x 0 . On supposef(0)6= 0,asecuo`lf(0) = 0montrant qu’un telx 0 existe. On noteA={x∈[0,1] :f(x)> x}.

1

PCSI 2011-2012

Mathe´matiques

Lyce´eBrizeux

1.Rappelerlesd´efinitionetcaract´erisationavecquantificateursdelabornesup´erieured’unsous-ensemble deR. 2. MontrerqueAreeunp.Oupesri´eenutnrobemdaeosS= sup(A). 3. Onveut montrer quef(S) =S`al’d’unaidenoenarsiaplremtnbs’adeur. ´ (a) Cas1. On suppose quef(S)> S.Etablir que[S, f(S)[⊂A.nE´ddecidartnocenueriu.onti ´ (b) Cas2. On suppose quef(S)< S.Etablir que[f(S), S]∩A=∅.´dnEiudeno.adtrtiicunreonec (c) Conclure. 4.Ler´esultatreste-t-ilvalablesionsupposefde´rcioansste? Justifier.

Proble`me1.Dessommesdecoefficientsbinomiaux

Notations 2 ?tson´teeslerutansreitneesedblemns’eLN. Pour(a, b)∈Navecb≥a,Ja, bKlembsde´dgise’lenesnen∈N tels quea≤n≤b. ´ A ?unennn´elesembtnodEatfiniA ⊂N, et(x k ) k∈A ∈Cx´desueeexplinesrmifaneuomecedllAtitne´l,auqa X x k ellmifaladeignelasod´es´lmenestmmdesee´(x k ) k∈A . k∈A b X X ?Une sommex k mmunracose´teetnone´emx k . k∈Ja,bK k=a Nota bene :selrtpasIietIIeutIIlisineltse´rselutatsdelapartieIitnossiadnepe´dnntseteans.leelrem

Partie I. Questions de cours et d’application du cours   n 2 1. Soit(n, k)∈Navecn≥k.etqeeuepmrpaepelcrletrtbinomianeicffieocudnoitinefid´laernnDo k dede´nombrercettequantite´. 2 2. Soit(n, k)∈Ntel quen≥k≥1.Dntre´emolage´’lr:e´ti     n+ 1n n = + k k−1k ´ 3.EnoncerledubinˆomedeNew.notlfaroum 4. Soitn∈N. Calculer les sommes : n   n   X X n k n A n =etB n = (−1) k k k=0k=0

Partie II. Les pairs et les impairs

Soitn∈N. L’objectif de cette partie est de calculer les sommesC n etD n suivantes : n      X n nn n C n = =+ + +....(la somme est prise sur les entiersk∈J0, nKpairs); k0 2 4 k=0,k pair n      X n nn n D n + + += =....(la somme est prise sur les entiersk∈J0, nKimpairs). k1 3 5 k=0,k impair 5. CalculerC 2 ,D 2 ,C 3 etD 3 . 6. ExprimerC n +D n puisC n −D n `adedel’aiA n etB n .

2

PCSI 2011-2012

Math´ematiques

7.Ende´duireuneexpressiondeC n et deD n en fonction den.

Partie III. Les multiples de trois

Lyce´eBrizeux

Soitn∈N. L’objectif de cette partie est de calculer la sommeE n suivante : n      X n nn n E n = =+ + +....(la somme est prise sur les entiersk∈J0, nKmultiples de3). k0 3 6 k=0,3|k Pourr∈ {0,1,2},ensembleltseuo-sno´dfieinA r,n deJ0, nKsuivant : A r,n ={k∈J0, nKtel que le reste de la division dekpar3le´agr}. Tous les entiers deJ0, nKppaitraennent`aunetunseulA r,n avecr∈ {0,1,2}.   X n Nous avons doncE n =.Ond´infieolat:sr k k∈A 0,n    X X n n F n =etG n =. k k k∈A 1,n k∈A 2,n 2iπ 8. Onrappelle quej=e . 3 3 2 (a) Rappelerles valeurs dejet de1 +j+j. k2k2 (b) Pourr∈ {0,1,2}etk∈ A r,n exprimerjetjl’`aediaed1,jetj. 9. ExprimerE n +F n +G n en fonction den. n2n2 10. Exprimer(1 +j)et(1 +j)edeida’la`E n ,F n ,G n ,jetj. 11.End´eduireuneexpressiondeE n en fonction den. 12.De´montrerl’e´quivalentsuivant: n 2 E n ∼ n→+∞ 3

Proble`me2.Lamoyennearithm´etico-g´eom´etriqued’apre`sGauss

Soientaetbdee´irafitnrse´levs0< a < b. On construit les suites(a n ) n et(b n ) n para 0 =a;b 0 =bet pour toutn∈N: ( √ a n+1 =a n b n a n +b n b n+1 = 2

Pr´eliminaire 1. Montrerquea n etb n sont strictement positifs pour toutn∈N.End´eduiuqerseletiusse(a n ) n et(b n ) n sontbiende´finies.

´ Partie 1. Etude de convergence L’objectif de cette partietseustiseirquelesd’´etabl(a n ) n et(b n ) n convergent vers une limite commune note´em(a, b)laeel´pepateeannyemo´mteirht´goeci-oriqum´etedeaetb. ´ ∗ 2. Etablirpour tout(x, y)∈Rgelatie´ln´’i + √ x+y x y≤ 2 avec´egalit´esietseulementsix=y.

3