PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

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PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Théorie de la dimension L'objectif de ces notes est de démontrer les principaux résultats du cours concernant la notion de dimension d'un espace vectoriel. Les résultats encadrés sont à connaître ; les exemples sont à comprendre. On considère ici des espaces vectoriels sur un corps K. 1 Définition de la dimension Définition 1. Un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une famille génératrice finie. Autrement dit E est de dimension finie s'il existe une famille finie de vecteurs u1, u2,... um ? E telle que : E = Vect(u1, u2, ...um). En particulier, puisque toute famille génératrice contient une base (résultat vu en cours) alors E admet une base ayant un nombre fini de vecteurs. Le théorème suivant affirme que ce nombre ne dépend pas de la base. Théorème 1.1. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de l'espace vectoriel E. On le note dimKE (ou plus simplement dimE) Démonstration. Pour démontrer ce théorème nous utiliserons le lemme fondamental suivant. Ce lemme affirme que si n+ 1 vecteurs sont combinaisons linéaires de n vecteurs alors les n+ 1 vecteurs sont liés. Lemme 1.2. Soient (e1, · · · , en) une famille de vecteurs de E et (f1, · · · , fn+1) une autre famille de vecteurs de E.

  • dimension finie

  • relation de dépendance linéaire

  • caractérisation de base

  • famille

  • ?3 ?


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Théoriedeladimension
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L’objectif de ces notes est de démontrer les principaux résultats du cours concernant la notion de dimension d’un espace vectoriel. Les résultats encadrés sont à connaître; les exemples sont à comprendre. On considère ici des espaces vectoriels sur un corpsK.
1 Définitionde la dimension
Définition 1.Un espace vectorielEest dit de dimension finie s’il admet unefamille génératrice finie. Autrement ditEest de dimension finie s’il existe une famille finie de vecteursu1,u2,...umEtelle que : E= Vect(u1, u2, ...um).
En particulier, puisque toute famille génératrice contient une base (résultat vu en cours) alorsEadmet une base ayantun nombre fini de vecteurs.Le théorème suivant affirme que ce nombre ne dépend pas de la base. Théorème 1.1.SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les bases ont le mme nombre d’éléments. Ce nombre est appelédimension de l’espace vectoriel E. On le notedimKE(ou plus simplementdimE)
Démonstration.Pour démontrer ce théorème nous utiliserons le lemme fondamental suivant. Ce lemme affirme que sin+ 1vecteurs sont combinaisons linéaires denvecteurs alors lesn+ 1vecteurs sont liés.
Lemme 1.2.Soient(e1,∙ ∙ ∙, en)une famille de vecteurs deEet(f1,∙ ∙ ∙, fn+1)une autre famille de vecteurs deE. On suppose que pour tout1jn+ 1, il existenscalairesλj,1,∙ ∙ ∙, λj,ntels que :
Alors la famille(f1,∙ ∙ ∙, fn+1)est liée.
fj=λj,1e1+∙ ∙ ∙+λj,nen.
Démonstration.On procède par récurrence surn1. Le casn= 1. On se place dans le cas oùf1etf2ne sont pas égaux au vecteur nul. Par conséquente16= 0E également. On a alors f1=λ1e1, f2=λ2e2, avecλ16= 0etλ26= 0. On a alors λ2f1λ1f2= 0E, ce qui établit que la famille(f1, f2)est liée. La propriété est donc vraie sin= 1. Supposons que la propriété soit vraie pourn1. Considérons alors deux familles(e1,∙ ∙ ∙, en+1)et(f1,∙ ∙ ∙, fn+2) ayant les propriétés requises. Si tous lesλj,n+1sont nuls, alors on est dans la situation précédente : lesn+ 2vecteursfjsont combinaisons linéaires desnvecteurse1,∙ ∙ ∙, en. Ainsi(f1,∙ ∙ ∙, fn+1)est liée et donc(f1,∙ ∙ ∙, fn+2)également.
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Supposons maintenant que l’un desλj,n+1soit non nul. Quitte à réindexer la famille(f1,∙ ∙ ∙, fn+2), on peut supposerλn+2,n+16= 0. λj,n+1 ˜ On remplace alorsfjpour1jn+ 1parfj=fjfn+2. λn+2,n+1 ˜ ˜ Les vecteurs de la famille(f1,∙ ∙ ∙, fn+1)sont alors tous combinaison linéaire de la famille(e1,∙ ∙ ∙, en). Par ˜ ˜ hypothèse de récurrence, la famille(f1,∙ ∙ ∙, fn+1)est alors liée. Il existe donc une relation de dépendance linéaire non triviale ˜ ˜˜ λ1f1+∙ ∙ ∙+λn+1fn+1= 0E. Il en résulte une relation de dépendance linéaire non triviale de la famille(f1,∙ ∙ ∙, fn+1, fn+2), à savoir :   n+1 X λj,n+1 ˜ ˜˜λ1f1+∙ ∙ ∙+λn+1fn+1λjfn+2= 0E. λn+2,n+1 j=1 Ceci établit que la famille(f1,∙ ∙ ∙, fn+2)est liée. D’où le lemme.
Revenons à la démonstration du théorème 1.1. Soient(e1,∙ ∙ ∙, en)et(f1,∙ ∙ ∙, fm)deux bases deE. Il s’agit d’établir quen=m. A supposer quen6=m, par exemplen < m. Chaque vecteurfjavec1jn+ 1mest combinaison linéaire de la famille(e1,∙ ∙ ∙, en). D’après le lemme ci-dessus, cela entraîne que la famille(f1,∙ ∙ ∙, fn+1)est liée, contredisant le fait que la famille (f1,∙ ∙ ∙, fm)est libre. Cela signifie donc quenm.
le casn > mse traitant de façon analogue, on en déduit quenm, soitn=m.
Exemples. n n 1. L’espaceKest de dimension finie etdimKK=n. En effet la base canonique(1,0, ...,0),...,(0,0, ...,1) anéléments. n 2. L’espaceKn[X]est de dimension finie etdimKKn[X] =n+ 1. En effet, la base monomiale(1,∙ ∙ ∙, X)a n+ 1éléments. 3. SoituEun espace vectoriel. Siu6= 0Ealors la droite vectorielleF= Vect(u) =Kuest un espace de dimension finie etdimKF= 1. En effet la famille réduite au seul vecteuruest une base deF. 4. Etudionsl’ensembleEdes solutions de l’équation différentielle : 00 y=y. On sait que l’ensembleEest un espace vectoriel et xx2 S={x7→λe+µe ,(λ, µ)R}. Notonsfetgles fonctions définies surRparf(x) = exp(x)etg(x) = exp(x). La famille(f, g)est une 2 famille génératrice deS. Montrons qu’il s’agit d’une famille libre. Soit(λ, µ)Rtel que xx xR, λe+µe= 0. xx En dérivant l’égalité précédente il vientλe+µe= 0et en additionnant les deux égalités on obtient : x xR,2λe= 0. x Commeen’est jamais nul, on obtientλ= 0et il vient finalementµ= 0. La famille(f, g); c’est ainsi une base deest donc libreS. DoncdimRS= 2etSest un plan vectoriel.
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2 Caractérisationdes bases
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Théorème 2.1(de la base incomplète).SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Soient (f1,∙ ∙ ∙, f`)une famille libre deE. Alors il existe des vecteursf`+1,∙ ∙ ∙, fndeEtels que la famille (f1,∙ ∙ ∙, f`, f`+1,∙ ∙ ∙, fn)soit une base deE.
Démonstration.Nous allons précisement montrer la chose suivante. Etant donnée(g1,∙ ∙ ∙, gm)une famille gé-nératrice deE(qui en possède une puisqu’il est de dimension finie), on peut extraire de la famille(g1,∙ ∙ ∙, gm) des vecteursf`+1,∙ ∙ ∙, fnde telle sorte que la famille(f1,∙ ∙ ∙, f`, f`+1,∙ ∙ ∙, fn)soit une base deE. 0 On poseF= Vect({f1,∙ ∙ ∙, f`})et`=`SiE=F, alors la famille(f1,∙ ∙ ∙, f`)est déjà une base. Il n’y a donc rien à faire. Sinon, on parcourt la famille génératrice(g1,∙ ∙ ∙, gm)de « gauche à droite ». Au premier vecteurgirencontré n’appartenant pas àF: – onposef`+1=gi; 0 – onmet à jourF:F= Vect({f1,∙ ∙ ∙, f`, f`+1}); 0 0 0 0 – onmet à jour`:`+ 1. On poursuit le processus jusqu’à ce qu’on ait épuisé la famille(g1,∙ ∙ ∙, gm): autrement dit, on a parcouru intégralement la famille! Par construction, tous les vecteurs de la famille génératrice appartiennent auFfinal. Par conséquentFVect({g1,∙ ∙ ∙, gm}). OrVect({g1,∙ ∙ ∙, gm}) =Epuisque la famille(g1,∙ ∙ ∙, gm)est génératrice. DoncF=Eet donc la famille(f1,∙ ∙ ∙, f`,∙ ∙ ∙, fn)construite est génératrice. Nous allons montrer qu’en plus, la famille construite est libre en montrant par récurrence sur`inque la famille(f1,∙ ∙ ∙, fi)est libre. On remarque tout d’abord que la famille a la propriété suivante : i∈ {`+ 1,∙ ∙ ∙, n}, fi/Vect({f1,∙ ∙ ∙, fi1}).
La famille(f1,∙ ∙ ∙, f`)est libre par hypothèse. Supposons donc la famille(f1,∙ ∙ ∙, fi)libre pour un certain `i < net montrons qu’alors(f1,∙ ∙ ∙, fi, fi+1)est libre. Pour cela, considérons une combinaison linéaire de la famille de la forme i+1 X λkfk= 0E. k=1 Le casλk+16= 0est à exclure. En effet, le cas contraire impliquerait quefi+1est une combinaison linéaire de la famille{f1,∙ ∙ ∙, fi}. Ceci est bien sûr impossible vue la propriété indiquée ci-dessus.
Par conséquentλk+1= 0et la relation de dépendance linéaire s’écrit : i X λkfk= 0E. k=1 Puisqu’il s’agit d’une combinaison linéaire de la famille(f1,∙ ∙ ∙, fi)et que celle-ci est libre, cela entraîne λ1=∙ ∙ ∙=λi= 0. On a donc bienλ1=∙ ∙ ∙=λi+1= 0établissant ainsi que la famille(f1,∙ ∙ ∙, fi, fi+1)est libre.
Nous avons alors la proposition :
Proposition 2.2.SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFune famille dep-vecteurs deE: siFest libre alorspdimE; siFest génératrice alorspdimE.
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Remarque: la contraposée du premier point nous dit que dans un espace de dimensionntoute famille contenant au moinsn+ 1vecteurs est une famille liée.
On caractérise alors les bases d’un espace vectoriel de la manière suivante : Proposition 2.3.SoitEun espace vectoriel de dimensionnetBune famille dep-vecteurs deE. Les trois assertions suivantes sont équivalentes : (i)Best une base deE. (ii)Best une famille libre etp=n. (iii)Best une famille génératrice deEetp=n. Exemples.
4 1. Considéronsla familleU= (ui)1i4de vecteurs deE=Rdéfinie par : u1= (1,2,3,4), u2= (1,1,2,0), u3= (3,1,0,0), u4= (0,1,0,0). La familleU?est-elle une base de E 4 Montrons queUest libre. Soit(λ1, λ2, λ3, λ4)Rtel que : λ1u1+λ2u2+λ3u3+λ4u4= 0R. 4 L’égalité précédente nous donne :   λ1+λ2+ 3λ3= 0λ3= 0     2λ1λ2+λ3λ4= 0λ3λ4= 0 3λ1+ 2λ2= 0λ2= 0     4λ1= 0λ1= 0 4 Ainsiλ1=λ2=λ3=λ4= 0. Donc la familleUest libre. OrUa4éléments etdimR= 4doncUest 4 une base deR. 4 2. Déterminerla dimension du sous-espace vectorielFdeRdéfini par 4 F={(x, y, z, t)R, xy+z= 0etx+ 2t= 0}. 4 Soitv= (x, y, z, t)R. Nous avonsx=2tety=z2tdonc v= (2t, z2t, z, t) =t(2,2,0,1) +z(0,1,1,0).
Posonsu1= (2,2,0,1)etu2= (0,1,1,0). Nous avonsu1Fetu2Fet pour toutvF, v=tu1+zu2donc F= Vect(u1, u2), la famille(u1, u2)est donc une famille génératrice deF. Enfinu1etu2ne sont pas colinéaires donc(u1, u2)est une famille libre. En conclusion(u1, u2)est une base deFetdimF= 2. 3 3. Posonsv1= (1,1,1),v2= (1,0,1)etv3= (3,2,1)et considérons le sous-espace deRG= Vect(v1, v2, v3). Déterminer la dimension deG. SoitV= (v1, v2, v3). On remarque (ou trouve en cherchant à vérifier siVest libre) que la familleVest liée puisque : 2v1+v2v3= 0R. 3 Commev3= 2v1+v2, nous avons doncG= Vect(v1, v2). Orv1etv2ne sont pas colinéaires donc(v1, v2) est une famille libre. Ainsi(v1, v2)est une base deG. DoncdimG= 2.
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