PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Structures algébriques usuelles 1 Loi de composition interne. 1.1 Généralités Définition 1. Etant donné un ensemble non vide E, une loi de composition interne sur E est une application de E2 = E ? E vers E : à tout couple (x, y) d'éléments de E, on associe un troisième élément de E. On trouve des notations très diverses pour les lois de composition interne (en abrégé l.c.i.) : par exemple ?, +, T , ?, ., ?... ou même rien. Une l.c.i sur E notée ? est donc une application : E ? E ?? E (x, y) 7?? x ? y Exemples : • Pour E = N, l'application qui à (n,m) associe n+m est une loi de composition interne ; celle qui à (n,m) associe n.m aussi. • Soit F(E,E) l'ensemble des applications d'un ensemble E vers lui-même. L'application qui à (f, g) ? F(E,E)2 associe f ? g est une loi de composition interne. • Soit E un ensemble et P(E) l'ensemble des parties de E. L'application qui à (A,B) ? P (E)2 associe A?B est une loi de composition interne ; celle qui à (A,B) associe A ?B aussi.

• g1 ?


• contre pour la loi ?


• loi de composition interne


• morphisme de groupes

Sujets

• Loi de composition interne
• Morphisme de groupes

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Extrait

PCSI A 2011-2012

1

1.1

Structures

Mathématiques

algébriques

Loi de composition interne.

Généralités

usuelles

Lycée Brizeux

Définition 1.Etant donné un ensemble non videE, uneloi de composition internesurEest une application 2 deE=E×EversE: à tout couple(x, y)d’éléments deE, on associe un troisième élément deE.

On trouve des notations très diverses pour les lois de composition interne (en abrégé l.c.i.) : par exemple∗,+, T,×,.,◦... ou mme rien. Une l.c.i surEnotée∗est donc une application :

E×E (x, y)

−→ 7−→

E x∗y

Exemples : •PourE=N, l’application qui à(n, m)associen+m; celle qui àest une loi de composition interne (n, m) associen.maussi. •SoitF(E, E)l’ensemble des applications d’un ensembleEvers lui-mme. L’application qui à(f, g)∈ 2 F(E, E)associef◦gest une loi de composition interne. 2 •SoitEun ensemble etP(E)l’ensemble des parties deE. L’application qui à(A, B)∈P(E)associeA∩B est une loi de composition interne ; celle qui à(A, B)associeA∪Baussi.

Exercice 1.

1.2

Montrer que la relationx⊗y=x+y−xydéfinit une l.c.i sur l’ensembleC\ {1}.

Vocabulaire

Voyons une série de propriétés dont peut bénéficier une loi de composition interne. Notons∗une loi de compo- sition interne sur un ensembleE.

3 1. Une loi estassociativelorsque :∀(x, y, z)∈E , 2 2. Une loi estcommutativelorsque :∀(x, y)∈E ,

x∗(y∗z) = (x∗y)∗z. x∗y=y∗x.

On distingue éventuellement des éléments particuliers. 1. Unélément neutreepour la loi∗est tel que :∀x∈E, x∗e=e∗x=x. Proposition 1.1.s’il existe un élément neutre, alors celui-ci est unique. Propriété: 2. On appellesymétrique (ou inverse)à droite d’un élémentx∈E, tout élémenty∈Etel quex∗y=e. 3. On appellesymétrique (ou inverse)à gauche d’un élémentx∈E, tout élémenty∈Etel quey∗x=e.

Proposition 1.2.Supposons que la loi∗est associative. Six∈Epossède un symétrique à droitey 1 et un symétrique à gauchey 2 alorsy 1 =y 2 =y. On dit quey est unsymétrique (ou inverse)dex. Sixadmet un symétrique alors celui-ci est unique.

−1 Notation :le symétrique d’un élémentxest souvent notéx(ou−xlorsque la loi est notée+).

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