PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 9 : corrigé Un problème d'analyse très standard Dans tout ce problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct R d'origine O. Questions préliminaires. 1. Sur la fonction arctan. (a) Rappels. la fonction arctangente, notée arctan, est la réciproque de l'application tan :]? pi2 , pi 2 [? R. Nous avons le tableau de variations : x ?∞ 0 +∞ arctan(x) ?pi2 ? 0 ? pi 2 La fonction arctan est dérivable sur R et pour tout x ? R, arctan?(x) = 1 1 + x2 (b) Au voisinage de 0, arctan(x) = x?0 x? x3 3 + o0 ( x3 ) (c) Étudions l'application g : u 7? u ? arctan(u). L'application g est définie sur R et dérivable sur R comme différence de deux fonctions dérivables. Pour tout u ? R, g?(u) = 1? 1 1 + u2 = u2 1 + u2 ≥ 0 La fonction g est strictement croissante ; nous avons le tableau de variation : u ?∞ 0 +∞ g(u) ?∞ ? 0 ? +∞ En conlusion, pour tout u > 0, g(u) > 0 ainsi u > arctan(u).

• classe c∞ au voisinage


• formule de taylor-young appliquée


• réciproque de l'application tan


• x?


• voisinage


• c∞ sur df


• bijection réciproque

Sujets

• Voisinage
• Application réciproque

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Devoir Maison 9 : corrigé

Un problème d’analyse très standard

Dans tout ce problème, le plan est rapporté à un repère orthonormé directRd’origineO.

Lycée Brizeux

Questions préliminaires. 1.Sur la fonctionarctan. π π (a)Rappels.la fonction arctangente, notéearctan, est la réciproque de l’applicationtan :]−,[→R. Nous 2 2 avons le tableau de variations : x−∞0 +∞ π π arctan(x)− %0% 2 2 La fonctionarctanest dérivable surRet pour toutx∈R, 1 0 arctan (x) = 2 1 +x (b) Auvoisinage de0, 3   x 3 arctan(x) =x−+o 0 x 3 x→0 (c) Étudionsl’applicationg:u7→u−arctan(u). L’applicationgest définie surRet dérivable surRcomme différence de deux fonctions dérivables. Pour toutu∈R, 2 1u 0 g(u) = 1−=≥0 2 2 1 +u1 +u La fonctiong; nous avons le tableau de variation :est strictement croissante u−∞0 +∞ g(u)−∞ %0%+∞ En conlusion, pour toutu >0,g(u)>0ainsiu >arctan(u).

Partie A. Étude d’une fonction.

On considère la fonctionfd’une variable réelle définie par   1 2 f(x) =xarctan 1 +x On noteC f la courbe représentative defdans le repéreR. 2. NousavonsD f =R\ {−1}. 1 ∞ •La fonctionx7→estCsurD f . 1 +x   1 ∞ ∞ •La fonctionarctanestCsurRdoncx7→arctanest de classeCsurD f comme composée de 1 +x ∞ deux fonctionsC.   1 ∞2 •Enfin, la fonctionfestCsurD f comme produit des fonctionsx7→arctanetx7→x, toutes 1 +x ∞ deuxCsurD f .

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