PCSI B Mathematiques 2011-2012 Lycee Brizeux

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Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 F e u i l l e d e T D 1 3 S u i t e s n u m e r i q u e s I Autour de la definition de convergence Les exercices qui suivent permettent de se familiariser avec la definition de suite convergente. La metho- dologie est la suivante. Si la limite d'une suite (un)n?N est connue ou conjecturee, on se donne un nombre strictement positif . On determine alors explicitement un rang n0 a partir duquel |un ? | < Exemple : On veut etablir que la suite (un)n?N? definie par un = 1√n converge vers 0. Il s'agit donc d'etablir 1 : ? > 0,?n ? N?,?n ≥ n : 0 ≤ un < . (1) Pour cela, donnons-nous un nombre strictement positif . Il s'agit de voir a quel moment, on a 1√n < . Ceci revient a determiner a partir de quel rang √ n > 1 . Ceci est equivalent a n > 1 2 . Cela suggere de poser n = E( 12 ) + 1. Formalisons tout cela. Soit > 0 donne. Posons n = E( 12 ) + 1. Si n ≥ n, alors n > 1 2 ; d'ou un < .

  • decroissante de limite nulle

  • ?n ?

  • serie harmonique

  • existence

  • moyenne de cesaro

  • hn ?

  • relation de recurrence verifiee

  • unique candidat

  • df ?n ?


Publié le : mardi 29 mai 2012
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PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2011-2012
S u i t e s n u m´e r i q u e s
´I Autour de la definition de convergence
Les exercices qui suivent permettent de se familiariser avec la d´efinition de suite convergente. La m´etho-
dologie est la suivante. Si la limite ‘ d’une suite (u ) est connue ou conjectur´ee, on se donne un nombren n∈N
strictement positif . On d´etermine alors explicitement un rang n a` partir duquel|u −‘|<0 n
1 1√Exemple: On veut ´etablir que la suite (u ) ∗ d´efinie paru = converge vers 0. Il s’agit donc d’´etablir :n n∈N n n
∗∀> 0,∃n ∈N ,∀n≥n : 0≤u <. (1) n
1√Pour cela, donnons-nous un nombre strictement positif . Il s’agit de voir a` quel moment, on a < .
n√ 1 1Ceci revient a` d´eterminer a` partir de quel rang n > . Ceci est ´equivalent a` n > . Cela sugg`ere de poser2
1n =E( )+1. 2
1 1Formalisons tout cela. Soit > 0 donn´e. Posons n =E( )+1. Si n≥n , alors n> ; d’ou` u <. On 2 2 n
a donc bien ´etabli (1).

1. Montrer `a l’aide de la d´efinition que la suite de terme g´en´eral u = n diverge vers +∞.n
n
2. Montrer a` l’aide de la d´efinition que la suite de terme g´en´eral u = converge vers 0.n 3n +1
3. Soit (u ) une suite r´eelle.n n∈N
(a) Montrer que si (u ) converge vers ‘> 0, alors u > 0 `a partir d’un certain rang.n n∈N n
(b) Montrer que si (u ) converge vers 0, alors−1<u < 1 `a partir d’un certain rang.n n∈N n
(c) Montrer que si lim u = +∞, alors u > 1 a` partir d’un certain rang.n n
n→+∞
4. Soient (u ) major´ee par a∈R et (v ) major´ee par b∈R.n n∈N n n∈N
Montrer que si lim u +v =a+b, alors (u ) converge vers a et (v ) converge vers b.n n n n∈N n n∈N
n→+∞
5. Cet exercice est utile pour certaines questions du probl`eme 3 du DM 7.
Soit (u ) une suite d’entiers naturels.n n∈N
On suppose qu’elle converge.
(a) Montrer qu’il existe N ∈N tel que∀n≥N, |u −u |< 1.n N
(b) En d´eduire que (u ) est stationnaire.n n∈N
(c) En d´eduire qu’une suite d’entiers naturels est convergente si et seulement si elle est stationnaire.
06. Soient (u ) et (v ) deux suites convergentes. On note ‘ = lim u et ‘ = lim v .n n∈N n n∈N n n
n→+∞ n→+∞
(a) Soit (w ) , la suite d´efinie par w = max(u ,v ) pour tout n ∈ N. Montrer que (w ) estn n∈N n n n n n∈N
convergente.
0 0 0Indication. On pourra distinguer les cas ‘ < ‘ et ‘ = ‘ ; le cas ‘ > ‘ ´etant analogue au premier
cas.
(b) De la mˆeme fa¸con, ´etablir la convergence de la suite (min(u ,v )) .n n n∈N
∗ ∗7. (moyenne de C´esaro) Soit (u ) une suite num´erique. On d´efinit la suite (v ) (appel´ee moyennen n∈N n n∈N
u +···+u1 n
∗de C´esaro de la suite (u ) ) par : v = . On se propose de montrer le r´esultat suivant :n n∈N n
n
si (u ) converge vers ‘∈N alors la suite (v ) converge ´egalement vers ‘.n n∈N n n∈N
1On peut se d´ebarrasser des valeurs absolues puisque u −0 est positif ou nul pour tout n≥ 1n
1
iTFe2l1udeelD(a) Rappeler la d´efinition de la convergence de la suite (u ) vers ‘.n n∈N
(b) Soient > 0 arbitraire et n l’entier d´efini a` la question pr´ec´edente. Montrer que pour tout n≥n :
|u −‘|+···+|u −‘| |u −‘|+···+|u −‘|1 n−1 n n|v −‘|≤ + .n
n n
0 0(c) Montrer qu’il existe n ≥n tel que pour tout n≥n
|u −‘|+···+|u −‘|1 n−1
≤ .
n
(d) Conclure a` l’existence d’un rang a` partir duquel|v −‘|< 2. Conclure.n
∗(e) Montrer que la r´eciproque est fausse. Exhiber pour cela une suite (u ) divergente dont lan n∈N
moyenne de C´esaro (v ) est convergente.n n∈N
8. Soit (u ) une suite p´eriodique. Montrer que (u ) est convergente si et seulement si elle estn n∈N n n∈N
constante.
9. Soit (x ) une suite r´eelle. On suppose que les suites (x ) ,(x ) ,(x ) convergent. D´e-n n∈N 2n n∈N 2n+1 n∈N 3n n∈N
montrer que la suite (x ) converge.n n∈N
`II Utilisation des criteres de convergence
L’objectif principal est l’´etude de la convergence en s’appuyant sur les r´esultats de convergence vus en
cours. Il ne s’agit donc pas ici de manipuler la d´efinition. On ´etablira donc la convergence (ou la divergence)
a` l’aide de crit`eres de convergence et on pr´ecisera, s’il y a lieu, la limite de la suite.
Pour m´emoire, les r´esultats essentiels de convergence sont :
– toute suite (u ) croissante major´ee est convergente et lim u = sup({u : n∈N});n n∈N n n
n→+∞
– Toute suite (u ) d´ecroissante minor´ee est convergente et lim u = inf({u : n∈N});n n∈N n n
n→+∞
un– ceux concernant la convergence des suites (u +v ) , (u ×v ) et ( ) . Pour le dernier cas, lan n n∈N n n n∈N n∈Nvn
suite consid´er´ee est en g´en´eral d´efinie `a partir d’un certain rang;
– celui portant sur deux suites adjacentes (u ) et (v ) ;n n∈N n n∈N
– le th´eor`eme des gendarmes (ou des sandwiches).
Pour ´etablir la divergence, on peut :
– mettre en ´evidence que la suite (u ) est croissante, non major´ee. On a alors lim u = +∞.n n∈N n
n→+∞
– mettre en ´evidence que la suite (u ) est d´ecroissante, non minor´ee. On a alors lim u =−∞.n n∈N n
n→+∞
– montrerque(u ) n’estpasborn´ee.Pourcela,onpeutexhiberunesuiteextraite(u ) croissante,n n∈N n∈Nφ(n)
non major´ee; ou d´ecroissante, non minor´ee;
– exhiber deux suites extraites (u ) et (u ) qui convergent vers des limites diff´erentes. C’estn∈N n∈Nφ(n) ψ(n)
nde cette fa¸con que l’on montre que (u ) d´efinie par u = (−1) diverge. En effet la suite des termesn n∈N n
pairs (u ) est constante ´egale `a 1, donc converge vers 1; la suite des termes impairs (u ) est2n n∈N 2n+1 n∈N
constante ´egale `a−1, donc converge vers−1.
lnn
∗11. Montrerquelasuite(u ) d´efinieparu = estd´ecroissante`apartird’uncertainrang.End´eduiren n∈N n n
∗qu’elle converge. Quelle est la limite de la suite (u ) ?n n∈N
12. Discuter la nature des suites suivantes. On pr´ecisera leur limite le cas ´ech´eant :
2nXsinn 1∗ ∗(a) ∀n∈N , u = (b) ∀n∈N , u =n n
n k(k+1)
k=1
nP
(3k+1)
p
k=0 ∗ n(c) ∀n∈N, u = (d) ∀n∈N , u = (3+sin n)n nnP
(2k+3)
k=0
nn Xn−(−1) 1∗ ∗(e) ∀n∈N , u = (f) ∀n∈N , u = E(kx), x∈Rn nn 2n+(−1) n
k=1
2n −n ln(n)∗ n 2 n ∗(g) ∀n∈N , u = 3 −n 2 (h) ∀n∈N , u =n n 2 2n +(n ln(n))
1 1∗ ∗
n n(i) ∀n∈N , u =a avec a≥ 0 (j) ∀n∈N , u =nn n
13. (A connaˆıtre) Montrer que si (u ) est une suite born´ee et (v ) une suite qui converge vers 0,n n∈N n n∈N
alors la suite (w ) d´efinie par w = u v converge vers 0. (Vu en cours mais `a savoir r´eexpliquern n∈N n n n
absolument)
nP n14. Montrer que la suite (u ) d´efinie par u = est convergente.2n n∈N n n +k
k=1
nX 1
15. Il s’agit d’´etablir la convergence de la suite de terme g´en´eral plus connue sous le nom de s´erie de
2k
k=1
Riemann. Nous en donnons deux d´emonstrations.
Premi`ere d´emonstration.
(a) Montrer que pour tout entier k≥ 2,
1 1 1 1
≤ = − .
2k k(k−1) k−1 k
nX 1
(b) En d´eduire que la suite (u ) d´efinie par u = est convergente et que sa limite ‘ v´erifien n∈N n 2k
k=1
1<‘< 2.
Deuxi`eme d´emonstration.
(c) En vous appuyant d’un dessin, montrer que
Zn nX 1 dt
≤ .
2 2k t1k=2
(d) En d´eduire que (u ) est major´ee par 2. Conclure.n n∈N
∗16. On se propose de montrer de deux fa¸cons que la s´erie harmonique, a` savoir la suite (H ) d´efinie parn n∈N
1H = 1+···+ est divergente. Dans la deuxi`eme d´emonstration, on ´etablira :n n
– H ∼ lnnn
n→+∞
1– (1+···+ )−lnn converge vers un nombre not´e γ et commun´ement appel´e constante d’Euler. On nen
sait pas `a l’heure actuelle si γ est un nombre irrationnel ou pas.
Premi`ere d´emonstration.
(a) Montrer que si une suite (u ) converge, alors la suite de terme g´en´eral u −u converge vers 0.n n∈N 2n n
(b) En d´eduire que la s´erie harmonique est divergente.
Deuxi`eme d´emonstration.
(c) Etablir pour tout entier n≥ 2, l’encadrement suivant :
Z n dt
H −1≤ ≤H .n n
t1
3(d) Conclure que lim H = +∞ et H ∼ lnn.n n
n→+∞ n→+∞
(e) Montrer que la suite de terme g´en´eral H −lnn est d´ecroissante.n
Indication. On pourra utiliser l’in´egalit´e :
∀x>−1, ln(1+x)≤x.
∗(f) Conclure a` la convergence de la suite (H −lnn) .n n∈N

1
∗17. Montrer que la suite (u ) d´efinie par u = cos n+ π est divergente.n n∈N n
n
2nπ
18. Montrer que la suite (u ) d´efinie par u = cos est divergente.n n∈N n
3
19. Montrer que les suites (S ) ∗ et (T ) ∗ d´efinies par :n n∈N n n∈N
n 2nX X1 1
S = ; T =n n
n+k k
k=1 k=n
sont adjacentes. Montrer en s’appuyant sur un graphique que :
∗∀n∈N , S ≤ ln2≤T .n n
20. Soit (a ) une suite de r´eels positifs d´ecroissante de limite nulle. Soit (u ) d´efinie parn n∈N n n∈N
nX
k∀n∈N,u = (−1) a .n k
k=0
(a) Montrer que les suites (u ) et (u ) sont adjacentes. Que dire alors de la suite (u ) ?2n n∈N 2n+1 n∈N n n∈N
(b) Soit ‘ = lim u . Montrer que, pour tout n∈N,|u −‘|≤a .n n n+1
n→+∞
∗(c) Application. Montrer que la suite (S ) d´efinie parn n∈N
n kX (−1)∗∀n∈N , S = .n
k
k=1
est convergente. (Nous verrons sous peu que la limite est−ln2)
III Comparaison de suites
30. On suppose que (u ) et (v ) sont non nulles a` partir d’un certain rangn n

1 1(a) Montrer que si u =O(v ), alors =O .n n v un n

1 1 2(b) Retrouver =O sachant que n =O n .2n n
1 1(c) A-t-on =o si u =o(v )?n nv un n
31. Montrer les ´equivalences suivantes :
1 1 1 1 1 1
ln(1+ )∼ ; sin( )∼ ; cos( )−1∼− .
2n n n n n 2n
α+1nα32. Soit α >−1. Montrer que la suite (u ) d´efinie par u = 1+···+n v´erifie u ∼ .n n n α+1
π π33. Montrer que pour tout entier n∈N, tan(x) =x a une unique solution x ∈]− +nπ, +nπ[. Donnern 2 2
un ´equivalent de la suite (x ) lorsque n tend vers +∞.n
nX
34. Montrer que k! =O(n!).
k=0
435. Soit (u ) une suite v´erifiant lim u = +∞.n n
n→+∞
(a) Montrer que la suite (ln(u )) est d´efinie `a partir d’un certain rang et que ln(u ) =o(u ).n n n n
Soit (v ) une suite v´erifiant v ∼u .n n n
(b) Montrer que lim v = +∞.n
n→+∞
(c) Etablir que ln(v )∼ ln(u ).n n
Indication. Montrer dans un premier temps que lim ln(v )−ln(u ) = 0.n n
n→+∞
36. Donner un exemple deux suites (u ) et (v ) `a termes strictement positifs qui v´erifient u ∼ v etn n n n n n
ln(u )6∼ ln(v ).n n
´ ´IV Etude des suites definies par recurrence
il s’agit ici d’´etudier une suite (u ) d´efinie parn n∈N

u ∈D0 f
∀n∈N, u =f(u )n+1 n
ou` f est une fonction de domaine de d´efinition D .f
Le premier r´eflexe a` avoir est de v´erifier que la suite (u ) est bien d´efinie. il faut donc s’assurer quen n∈N
pour tout n∈N, u ∈D . Un moyen de s’en assurer est de d´eterminer un intervalle I ⊂D qui v´erifien f f
u ∈I et f(I)⊂I.0
On dit pour la deuxi`eme propri´et´e que I est invariant par f.
Il s’agit ensuite d’´etudier la convergence de la suite (u ). On doit syst´ematiquement d´eterminer sif poss`eden
des points fixes. Si f n’en poss`ede pas, la suite (u ) diverge.n n∈N
On peut alors d´eterminer si f est contractante sur I (Attention. I est ferm´e born´e dans ce cas de figure) :
on montre alors que la suite (u ) converge vers l’unique point fixe de l’intervalle I.n n∈N
Si f n’est pas contractante, on peut ´etudier : les variations de f ; la position de C par rapport `a y = x.f
Par exemple, si f est croissante etC au dessus de y =x, on sait que la suite (u ) est croissante. Dans cef n n∈N
cas, la suite convergera vers le premier point fixe plus grand que u ; ou divergera (cela d´epend de l’existence0
dudit point fixe).
√221. Etudier la suite (u ) d´efinie par u > et u = 3u −2 pour tout n∈N.n n∈N 0 n+1 n3 √
22. Etudier la suite (u ) d´efinie par u =a≥−1 et u = 2u +1 pour tout n∈N.n n∈N 0 n+1 n
un23. Soit (u ) d´efinie par u ∈]0,1[ et u = pour tout entier n∈N.n n∈N 0 n+1 3−2un
(a) Montrer que la suite (u ) est bien d´efinie.n n∈N
(b) D´eterminer les limites ´eventuelles de (u ) : on les note ‘ et ‘ .n n∈N 1 2
u −‘n 1On d´efinit la suite (v ) par v = .n n∈N n u −‘n 2
(c) Montrer que la suite (v ) est bien d´efinie et ´etablir une relation de r´ecurrence v´erifi´ee parn n∈N
(v ) .n n∈N
(d) En d´eduire u en fonction de n et u , puis la nature de (u ) , ainsi que son ´eventuelle limite.n 0 n n∈N
(e) Retrouver le r´esultat obtenu d’une autre fa¸con.
un24. Soit (u ) d´efinie par u > 0 et u = .n n∈N 0 n+1 2u +1n
(a) Montrer que la suite est bien d´efinie.
(b) Etablir l’existence d’un unique candidat ‘ comme limite ´eventuelle de (u ) .n n∈N
1On pose v = .n u −‘n
5(c) Montrer que (v ) est bien d´efinie et ´etablir une relation de r´ecurrence v´erifi´ee par (v ) .n n∈N n n∈N
(d) En d´eduire u en fonction de n et u , puis la nature de (u ) , ainsi que son ´eventuelle limite.n 0 n n∈N
(e) Retrouver le r´esultat obtenu d’une autre fa¸con.
125. Soit (u ) d´efinie par u = 1 et u = .n n∈N 0 n+1 2+un
1(a) Montrer que ]0,+∞[ est stable par f :x7→ .2+x

(b) Montrer que si (u ) converge, alors sa limite est α = 2−1.n n∈N
1
(c) Etablir que pour tout n∈N,|u −α|≤ |u −α|. En d´eduire que pour tout n∈N,n+1 n
4
1
|u −α|≤ |u −α|.n 0n4
(d) Conclure.
Sur cet exemple, l’´etude des suites extraites (u ) et (u ) n’est donc pas n´ecessaire : le point2n n∈N 2n+1 n∈N
crucial est que f est contractante (α est donc attractif).
26. Soit a un r´eel fix´e. Etudier la convergence de la suite (u ) d´efinie par u = 0 etn n∈N 0
21 a
∀n≥ 1,u = u + .n n−1
2 un−1
27. Etudier la convergence de la suite (u ) d´efinie parn n∈N
v
su ru q
t √
u = 1+ 1+ 1+ ···+ 1.n
| {z }
n racines
28. Soient (x ) et (y ) d´efinies par x =y = 0 etn n∈N n n∈N 0 0
p √
∀n∈N, x = 7−y , y = 7+x .n+1 n n+1 n
(a) Montrer que pour tout n∈N, x et y appartiennent `a [0,7].n n
(b) D´eterminer une limite ´eventuelle a de (x ) et une limite ´eventuelle b de (y ) .n n∈N n n∈N
(c) D´eterminer λ et μ dans ]0,1[ tels que :∀n∈N,
|x −a|≤λ|y −b| et|y −b|≤μ|x −a|.n+1 n n+1 n
(d) Conclure.
29. Soient (x ) et (y ) d´efinies par x > 0, y > 0 etn n∈N n n∈N 0 0
x yn n
x = , y =n+1 n+12 2 2 2x +y x +yn n n n
On pose z =x +iy .n n n
(a) Montrer que∀n∈N, z =z .n+2 n
(b) En d´eduire une C.N.S. pour que les deux suites r´eelles convergent.
6
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