PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

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PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 D e v o i r M a i s o n 5 D e v o i r d e v a c a n c e s A rendre pour le mercredi 4 novembre. Vous devez apporter le plus grand soin a la redaction et a la pertinence des arguments avances. Les resultats doivent etre encadres. Les exercices sont a faire en priorite. Ils sont de type exercices de TD. C'est l'occasion de reprendre le cours dans son integralite et les exercices traites. Les deux premiers problemes ont deja ete donnes mais aucun d'entre vous ne les a vraiment traites. A reprendre donc. Le dernier probleme est pour vous entraıner avec un peu de geometrie. N'hesitez pas a poser des questions sur le forum pendant les vacances. Exercice 1. Des calculs de somme 1. Soit k ? N. Calculer ∑ ??Un ?k en fonction de k. 2. Soit n ? N. Etablir que n∑ k=0 k (k + 1)! = 1? 1 (n + 1)! . 3. Montrer par recurrence sur n ? N n∑ k=0 ( n k ) = 2n. Exercice 2. Calcul de primitives Determiner des primitives des fonctions suivantes.

  • meme question pour g?

  • faire de meme

  • equation fonctionnelle

  • pi ?

  • argument de z

  • theoreme de l'angle au centre et de l'angle

  • z? z? e?i

  • points du plan euclidien

  • angle


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
D e v o i r d e v a ca n ce s
A rendre pour le mercredi 4 novembre.
Vousdevezapporterleplus grandsoin`alar´edactioneta`la pertinencedesarguments avanc´es.Lesr´esultats
doivent ˆetre encadr´es.
Les exercices sont a` faire en priorit´e. Ils sont de type exercices de TD. C’est l’occasion de reprendre le cours
dans son int´egralit´e et les exercices trait´es.
Les deux premiers probl`emes ont d´eja ´et´e donn´es mais aucun d’entre vous ne les a vraiment trait´es. A
reprendre donc.
Le dernier probl`eme est pour vous entraˆıner avec un peu de g´eom´etrie.
N’h´esitez pas a` poser des questions sur le forum pendant les vacances.
Exercice 1. Des calculs de somme
1. Soit k∈N. Calculer X

ζ∈Un
en fonction de k.
2. Soit n∈N. Etablir que
nX k 1
= 1− .
(k+1)! (n+1)!
k=0
3. Montrer par r´ecurrence sur n∈N
nX n n= 2 .
k
k=0
Exercice 2. Calcul de primitives
D´eterminer des primitives des fonctions suivantes. On d´eterminera au pr´ealable un intervalle sur lequel
consid´erer chaque fonction et assurant l’existence d’une primitive.
t1. t7→ e sin(2t).
12. t7→ .−t1−e
´ ´Exercice 3. Des equations differentielles
001. On veut r´esoudre y +y = cotanx.
(a) Indiquer un intervalle sur lequel cotan est d´efinie et continue.
(b) D´eterminer une solution particuli`ere sous la forme λ(x) sin(x).
(c) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle.
1
oseorMvaii5Dn2. On veut r´esoudre sur ]0,+∞[
00 0
xy +y = x.
0(a) D´eterminer y .
(b) En d´eduire les solutions d´efinies sur ]0,+∞[ de l’´equation diff´erentielle.
(c) Faire de mˆeme sur ]−∞,0[. Existe-t-il des solutions d´efinies surR?
3. R´esoudre surR
00 0 2 −t
y +2y +5y = (t +1)e cos(2t).
0D´eterminer la solution z de l’´equation qui v´erifie les conditions initiales z(0) = 0 et z (0) = 1.
´Exercice 4. Trigonometrie
R´esoudre les ´equations suivantes :

π 4π1. tan 3x− = tan x+ ;5 5

2. sinx+ 1+ 2 cosx−1 = 0.
Proble`me 1. Une involution du plan complexe. Bis repetita
Soient α et β des nombres complexes; f et g les applications deC dans lui-mˆeme d´efinies parα,β α,β
f (z) = αz +β ; g (z) = αz¯+β.α,β α,β
`1. A quelle condition sur (α,β), f est une bijection deC dans lui-mˆeme? Mˆeme question pour g .α,β α,β
2. Soient λ et μ des nombres complexes.
(a) Montrer que f = f si et seulement si (α,β) = (λ,μ).α,β λ,μ
(b) Montrer que g = g si et seulement si (α,β) = (λ,μ).α,β λ,μ
3. Soit h : C→C une application. On dit que h est une involution deC si h◦h = Id .C
(a) Montrer que f est une involution si et seulement si (α,β) est solution d’un syst`eme d’´equationsα,β
que l’on pr´ecisera.
(b) Montrer que g est une involution si et seulement si (α,β) est solution d’un syst`eme d’´equationsα,β
que l’on pr´ecisera.
4. En d´eduire que
(a) f est une involution si et seulement si (α,β) v´erifie α =−1 ou (α,β) = (1,0).α,β
θ2 iθ i
2(b) g est une involution si et seulement s’il existe (r,θ)∈R tel α = e et β = ire .α,β
` ´Probleme 2. Une equation fonctionnelle. Bis repetita
2 2Le but est de d´eterminer l’ensemble des fonctions f ∈C (R,R) (A toute fin utile, rappelons que C (R,R)
d´esigne l’ensemble des fonctions 2 fois d´erivables surR et donc la d´eriv´ee seconde est continue) qui v´erifient
pour tout x∈R :
00
f (x)+f(−x) = x cos(x). (1)
La deuxi`eme partie utilise la premi`ere.
2Parties paire et impaire d’une application
Nous allons ´etablir le r´esultat suivant.
Pour toute application f ∈F(R,R), il existe un unique couple (g,h)∈F(R,R)×F(R,R), ou` g est paire et h
est impaire, tel que
f = g+h (2)
+ −L’application g est la partie paire de f et est not´e f ; l’application h est la partie impaire de f et est not´e f
1. Soient g ∈ F(R,R) une application paire et h ∈ F(R,R) une application impaire telles que (2) soit
v´erifi´e.
Etablir que g et h v´erifient n´ecessairement pour tout x∈R
f(x)+f(−x) f(x)−f(−x)
g(x) = ; h(x) = .
2 2
+ −2. Montrer que f et f d´efinies surR par
f(x)+f(−x) f(x)−f(−x)+ −∀x∈R, f (x) = ; f (x) =
2 2
sont respectivement paire et impaire et que pour tout x∈R,
+ −
f(x) = f (x)+f (x).
3. Conclure.
R´esolution de (1)
+ 00 −1. Montrer que f est solution de (1) si et seulement si f est solution de y +y = 0 et f est solution de
00y −y = x cos(x).
+ +2. En d´eduire a` quoi est ´egal f (on n’oubliera pas le r´esultat ´enonc´e dans la partie 1 et que f est paire).
− −3. End´eduirea`quoiest´egalf (onn’oublierapasler´esultat´enonc´edanslapartie1etquef estimpaire).
4. Conclure. A quoi sont ´egales les parties paire et impaire de exp?
Proble`me 3. Une courbe de niveau
On identifie les points du plan euclidienP aux nombres complexes via le rep`ere orthonorm´e direct habituel
−→ →−
(O, i , j ).
∗Dans la suite, si z∈C ,on note arg(z) l’argument de z compris dans [0,2π[.
Th´eor`eme de l’angle au centre et de l’angle inscrit
π iαSoit α∈]0, [. On note a = e . Soit z∈U diff´erent de a et a.¯
2
1. On suppose que arg(z)∈]α,2π−α[.
(a) Soient A,B et M les images respectives des nombres complexes a,¯ a et z. Tracer la configuration
obtenue.
−−→ −−→\
(b) D´eterminer l’angle orient´e (MA,MB) en fonction de α.
−→ −→ −−→ −−→\ \
(c) Exprimer (OA,OB) en fonction de (MA,MB).
2. On suppose que arg(z)∈ [0,α[∪]2π−α,2π[.
3(a) Soient A,B et M les images respectives des nombres complexes a,¯ a et z. Tracer la configuration
obtenue.
−−→ −−→\
(b) D´eterminer l’angle orient´e (MA,MB) en fonction de α.
−→ −→ −−→ −−→\ \
(c) Exprimer (OA,OB) en fonction de (MA,MB).
3. En d´eduire le th´eor`eme de l’angle au centre : Soient A et B des points distincts d’un cercle C de centre
Ω et de rayon r > 0. Si M appartient a` C, alors
−→ −→ −−→ −−→\ \
(ΩA,ΩB) = 2(MA,MB) mod 2π.
Et celui de l’angle inscrit : Soient A et B des points distincts d’un cercleC de centre Ω et de rayon r > 0.
0 1Si M et M appartiennent au cercleC et sont situ´es dans le mˆeme demi-plan d´elimit´e par la droite (AB)
alors
−−→ −−→\−−→ −−→\ 0 0(MA,MB) = (M A,M B) mod 2π.
Un lieu de points
√ √
Soient a = 3+i et b = 1+ 3 d’image A et B respectivement. On veut d´eterminer l’ensemble des points
M tels que
−−→ −−→ π\
(MA,MB) = mod 2π. (3)
12
On note z l’affixe de M.
π0 −i 0
41. On pose z = e z. Montrer que cela revient a` d´eterminer `a quelle condition z v´erifie
π0 i12z −2e π
arg = mod 2π.π0 −i12z −2e 12
2. Montrer que la condition pr´ec´edente est ´equivalente `a
π π0 −i 0 i ∗0 12 12z z e −4Re(z )+4e ∈R .+
0 0 π 11π3. En d´eduire que|z| = 2 et arg(z )∈] , [.12 12
4. En d´eduire a` quelle condition sur z, M v´erifie (3).
5. D´ecrire g´eom´etriquement l’ensemble des points M v´erifiant la condition (3).
1Une autre mani`ere de le dire : situ´es sur le mˆeme arc de cercle d´elimit´e par les points A et B.
4

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