PCSI Mathematiques Lycee Brizeux annee

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PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2011-2012 C o r r i g é d u D e v o i r M a i s o n 1 D e u x e t u d e s d e f o n c t i o n Exercice 1. Une etude de fonction 1. Par definition f(x) = exp( ln xln x?1 ) qui est definie si et seulement si x verifie a la fois x > 0 et lnx? 1 6= 0. Autrement dit, le domaine de definition de f est ]0, e[?]e,+∞[. 2. f est la composee des fonctions exp, derivable sur R, et x 7? ln xln x?1 , derivable sur ]0, e[?]e,+∞[ comme quotient de fonctions derivables. Par consequent f est derivable sur son domaine de definition. En appliquant la formule de derivation d'une fonction composee, on trouve pour tout x ?]0, e[?]e,+∞[ : f ?(x) = ?1 x (lnx? 1)2 exp ( lnx lnx? 1 ) . 3. • Limite en 0. Pour tout x appartenant au domaine de definition de f , on a : ln(f(x)) = lnx lnx? 1 = 1 + 1 lnx? 1 .

  • consequent lim

  • signe de la derivee etant

  • puisque lim

  • formule

  • ln x?1 ?

  • tan

  • ln x?1


Publié le : mardi 29 mai 2012
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PCSI Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2011-2012
D e u x ´e t u d e s d e f o n c t i o n
´Exercice 1. Une etude de fonction
lnx1. Par d´efinition f(x) = exp( ) qui est d´efinie si et seulement si x v´erifie `a la fois x> 0 et lnx−1 = 0.lnx−1
Autrement dit, le domaine de d´efinition de f est ]0,e[∪]e,+∞[.
lnx2. f est la compos´ee des fonctions exp, d´erivable surR, et x7→ , d´erivable sur ]0,e[∪]e,+∞[ commelnx−1
quotient de fonctions d´erivables. Par cons´equent f est d´erivable sur son domaine de d´efinition.
En appliquant la formule de d´erivation d’une fonction compos´ee, on trouve pour tout x∈]0,e[∪]e,+∞[ :

−1 lnx0f (x) = exp .
2 lnx−1x(lnx−1)
3. • Limite en 0. Pour tout x appartenant au domaine de d´efinition de f, on a :
lnx 1
ln(f(x)) = = 1+ .
lnx−1 lnx−1
Puisque lim = −∞, on en d´eduit que lim ln(f(x)) = 1. Par composition des limites, il en r´esulte
x→0+ x→0+
que
lim f(x) =e.
x→0+
−• Limite en e . Si x<e alors lnx−1< 0. Par cons´equent lim ln(f(x)) =−∞. D’ou` :
x→e−
lim f(x) = 0.
x→e−
+• Limite en e . Si x>e alors lnx−1> 0. Par cons´equent lim ln(f(x)) = +∞. D’ou`
x→e+
lim f(x) = +∞.
x→e−
• Limite en +∞. On a lim ln(f(x)) = 1. Par composition des limites, on obtient
x→+∞
lim f(x) =e.
x→+∞
On d´efinit g le prolongement par continuit´e de f a` [0,e[∪]e,+∞[ par

e si x = 0
g(x) =
f(x) si x∈]0,e[∪]e,+∞[
4. Le signe de la d´eriv´ee ´etant n´egatif, on trouve imm´ediatement :
x 0 e +∞
0f (x) − −
e +∞
@ @
f(x) @ @
@R @R
0 e
1
aCniorsrre1DouidM?igv6o5. D’apr`es le tableau de variation, Im f =]0,e[∪]e,+∞[. Chaque ´el´ement de Im(f) poss`ede un unique
ant´ec´edent dans ]0,e[∪]e,+∞[ : f est une donc bijection de son domaine de d´efinition vers son domaine
image.
1
−1 lnx−1Il reste a` d´eterminer f . Soit y ∈]0,e[∪]e,+∞[. Il s’agit de r´esoudre l’´equation y = x d’inconnue
x∈]0,e[∪]e,+∞[.
1 lnxlnx−1Sous ces conditions, l’´equation y = x est ´equivalente a` lny = ; qui est elle-mˆeme ´equivalentelnx−1
`a (lnx−1)lny = lnx; qui est elle aussi ´equivalente a` (lny−1)lnx = lny; qui est enfin (oui mais
lnypourquoi?) ´equivalente a` lnx = ; qui est, car nous sommes insatiables en ´equivalents, ´equivalente
lny−1
lny
`a x = exp .lny−1

lny−1Finalement f (y) = exp .
lny−1
−1Question 1 Que peut-on dire de f et f ? Quelle cons´equence sur la courbe repr´esentative de f ?
− −6. On a lim xlnx = 0 . Par cons´equent lim x(lnx−1) = 0 . D’ou` :
+ +x→0 x→0
1
lim =−∞.
x→0+ x(lnx−1)
7. Le taux d’accroissement en 0 de la fonction g est
1
lnx−1x −e
.
x
D’apr`es ce qui pr´ec`ede, le taux d’accroissement est ´egal a`
11+lnx−1e −e
.
x
1
lnx−1e −1Or peut s’´ecrire sous la formex
1 1
lnx−1 lnx−1e −1 e −1 1
= .1x x(lnx−1)
lnx−1
1
lnx−1e −11Puisque lim = 0, est un taux d’accroissement de exp en 0 et puisque exp est d´erivable
lnx−1 1x→0+
lnx−1
en 0 de d´eriv´ee ´egale `a 1,
1
lnx−1e −1
lim = 1.1x→0+
lnx−1
Il r´esulte alors de la question 6. que
1
lnx−1e −1
lim =−∞.
x→0+ x
Par cons´equent g n’est pas d´erivable en 0. N´eanmoins, elle y poss`ede une ”tangente”verticale.
En tra¸cant la fonction f a` l’aide de Maple, on s’aper¸coit que celle-ci poss`ede une ”tangente”’ horizontale
pr`es de x = e. Ceci est un indice de d´erivabilit´e en 0 de la fonction g. La technologie que vous avez en
votre possession ne permet pas pour l’instant d’´etablir cette propri´et´e. Vous la poss´ederez quand nous
verrons les d´eveloppements limit´es (D.L.) (excellent exercice a` pr´evoir quand vous saurez enfin ce que
sont les D.L.).
´ ´ ´Exercice 2. Une reciproque « elementaire » ... mon cher Watson
1. f est d´efinie pour x diff´erent de 1 et −1. Le domaine de d´efinition est donc D =R\{−1,1}f
22. • Domaine d’´etude.Onremarquetoutd’abordqueledomaineded´efinitionestsym´etriqueparrapport
a` l’origine. Soitx∈D , on remarque quef(−x) =−f(x). Cela montre quef est une fonction impaire.f
On peut donc restreindre le domaine d’´etude a` [0,1[∪]1,+∞[.
0• La fonction f est d´erivable sur D en tant que fraction rationnelle et pour tout x∈D , on a f (x) =f f
1 1 0+ , donc f est strictement positive sur D .2 2 f(1−x) (1+x)
− 1 1 1 1• Limite en 1 . On a lim = et lim = +∞, puisque 1−x> 0. Par cons´equent lim −1+x 2 1−x 1−xx→1− x→1− x→1−
1 = +∞.1+x
+ 1Limite en 1 . Pour les mˆemes raisons que pour la limite par valeurs inf´erieures, on trouve lim −1−xx→1+
1 =−∞ (ici 1−x< 0).
1+x
1 1Limite en +∞. On trouve lim − = 0.1−x 1+xx→+∞
• tableau de variations sur le domaine d’´etude.
x 0 1 +∞
0f (x) + +
+∞ 0

f(x)
0 −∞
3. D’apr`es l’´etude faite, f est strictement croissante et d´erivable (donc continue) sur ]−1,1[ et son image
en restriction `a ]−1,1[ est ´egale a` ]−∞,+∞[. La fonction f admet donc une r´eciproque g d´efinie surR.
Soit y ∈ R. Par d´efinition, g(y) est l’unique r´eel x ∈]− 1,1[ solution de f(x) = y. Il s’agit donc de
2xr´esoudre l’´equation =y sous la condition x∈]−1,1[.2(1−x )
On est alors ramen´e `a r´esoudre l’´equation du second degr´e en x suivante
2yx +2x−y = 0,
√ √
2 2−1− 1+y −1+ 1+y
dont les racines sont x = et x = sous r´eserve que y = 0, ce que l’on suppose1 2y y
maintenant. √
21+ 1+y
On a |x | = . Puisque1 |y|
p
21+y >|y| (Croissance de racine carr´ee), (1)
1+|y|
on en d´eduit |x |> > 1. Il en r´esulte que1 |y|
p
2−1+ 1+y
g(y) =x = lorsque y = 02
y
Par ailleurs, on a g(0) = 0 (car f(0) = 0). Par cons´equent g est donn´ee surR par :
(
0 si y = 0√
g(y) = 2−1+ 1+y
si y = 0y
Remarque : Pour les esprits inquiets, on a bien |x |< 1. Cela peut se voir de deux fa¸cons :2√ √
2 21+ 1+y −1+ 1+y |y|√ √– compliqu´ee. On ´ecrit x = = et on utilise (1) pour obtenir que ce dernier2 2 y 21+ 1+y 1+ 1+y
nombre est strictement plus petit que 1.
1– astucieuse. On a x x =−1 (et cela sans calcul!). Par cons´equent |x | = < 1.1 2 2 |x |1
En fait ces deux m´ethodes sont d’une certaine fa¸con tr`es semblables.
Exercice d’entraˆınement. Montrer que f en restriction a` ]−∞,−1[∪]1,+∞[ admet une r´eciproque
h.
4. • fa¸con 1. La fonction f est d´erivable et sa d´eriv´ee est strictement positive sur ]−1,1[. Par cons´equent
g est d´erivable sur son domaine de d´efinitionR et sa d´eriv´ee surR est donn´ee par la formule :
10g (y) = .
0f (g(y))
3
6660On ne peut pas obtenir explicitement g (y) en bidouillant la formule juste au-dessus, sauf `a connaˆıtre
0l’expression de g : ce que l’on a d´etermin´e juste au dessus. Je vous laisse le soin de calculer g (y),
lorsque y = 0, a` partir de la.` La formule appliqu´ee en y = 0 permet d’obtenir explicitement la d´eriv´ee
en 0 :
1 10
g (0) = = .
0f (0) 2

21+y −1
• fa¸con 2. On a vu que g est donn´ee par g(y) = si y = 0. La fonction donn´ee par le secondy
membre est d´erivable l`a ou` elle est d´efinie i.e. R\{0} (elle coıncide avec g sur R\{0}) : g est donc¨
d´erivable pour tout y = 0 et on a : p
2y +1−10g (y) = p .
2 2y y +1
Il reste la d´erivabilit´e en 0 (car on sait grˆace `a la fa¸con 1 que g est d´erivable en 0). Pour cela, on ´etudie
la limite d’un taux d’accroissement de g en 0 :

21+y −1
y
lim .
y→0 y
Mais en utilisant l’astuce habituelle :

2 p p1+y −1
2 21+y −1 1+y +1 1y
p p= = ,
2 2 2y y 1+y +1 1+y +1
1qui, au miracle, tend vers lorsque y tend vers 0.
2
5. On rappelle que le domaine de d´efinition de tan est
[ π π
D = ]− +kπ, +kπ[.tan
2 2
k∈Z
f ◦tan est d´efinie en x∈D si et seulement si tanx =±1 si et seulement sitan
π π
x6∈E ={ +kπ|k∈Z}∪{− +kπ|k∈Z}.
4 4
D’ou` D =D \E.f◦tan tan
6. Soit x∈D . On a :f◦tan
1 1 2 tanx
(f ◦tan)(x) = − = .
21−tanx 1+tanx 1−tan (x)
Puisque 2x∈D , on en d´eduit que :tan
(f ◦tan)(x) = tan(2x).
π πOn sait que tan r´ealise une bijection de ]− , [ vers ]−1,1[ et sa r´eciproque est la restriction de arctan4 4
a` ]−1,1[. Par ailleurs, f r´ealise une bijection de ]−1,1[ dansR de r´eciproque g. Par cons´equent f◦tan
π π −1r´ealise une bijection de ]− , [ dansR et sa r´eciproque (f ◦tan) est ´egale a` arctan◦g.
4 4
π π π πDans le mˆeme temps, on a f◦tan = tan◦h sur ]− , [ avec h d´efinie sur ]− , [ par h(x) = 2x. D’ou`4 4 4 4
−1 −1 −1(f ◦tan) = h ◦arctan. On en d´eduit que arctan◦g = h ◦arctan sur R (chacune ´etant a` valeurs
π πdans ]− , [) En composant `a gauche par la fonction tan, on trouve :4 4
−1g = tan◦h ◦arctan
c’est-`a-dire :
arctanx
∀x∈R, g(x) = tan .
2
Les deux diagrammes qui suivent illustrent les diff´erentes fonctions intervenant ici.
4
6666En guise de conclusion : la d´etermination de fonctions r´eciproques demande le plus grand soin et c’est l`a la
difficult´e majeure. La d´erivabilit´e de la fonction r´eciproque s’obtient ais´ement a` l’aide du th´eor`eme vu en cours,
comme l’´etude de l’exemple pr´ec´edent le sugg`ere. Il n’empˆeche la formule de d´erivation ne donnera pas toujours
une expression explicite de la d´eriv´ee de la fonction r´eciproque en fonction de y.
5

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