PCSI Mathematiques Lycee Brizeux annee

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PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 C o r r e c t i o n d u P r e m i e r D e v o i r S u r v e i l l e P r o b l e m e s d ' a n a l y s e d e T e r m i n a l e Exercice 1 1. Calcul de lim x?0 ln(1? ex) x . – Remarquons tout d'abord que la limite en 0+ n'est pas definie puisque si x ≥ 0, alors 1? ex ≤ 0 et la fonction ln n'est pas definie sur R?. – Calculons la limite en 0?. On a : lim x?0? 1 x = ?∞ et lim x?0? ln(1? ex) = ?∞. Donc le produit des deux limites donne : lim x?0 ln(1? ex) x = +∞. 2. Calcul de lim x?+∞ √ ex + x? e x 2 . En multipliant par la quantite conjuguee, il vient : √ ex + x? e x 2 = x √ ex + x + e x 2 . En factorisant le denominateur par e x 2 , nous obtenons l'egalite : x √ ex + x + e x 2 = x e x 2 1 √ 1 + xex + 1 .

  • meme calcul

  • elevant en elevant

  • f?

  • courbe c?

  • tableau de signe

  • calcul de lim x?

  • operations usuelles sur les limites


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
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PCSI
Math´ematiques
Lyce´eBrizeux-ann´ee2009-2010
CorrectionduPremierDevoirSurveill´e
P r o b l e` m e sd ’ a n a l y s ed eT e r m i n a l e
Exercice 1
x ln(1e) 1. Calculdelim. x x0 +x – Remarquonstout d’abord que la limite en0uqseupsineidse´enpastix0, alors1e0et la fonction lnnuresnied´astpesR. – Calculonsla limite en0. On a : 1x lim =−∞etlim ln(1e) =−∞. − − x0xx0 Donc le produit des deux limites donne : x ln(1e) lim =+. x0 x x x2 2. Calculdelime+xe. x+x x x 2 Enmultipliantparlaquantite´conjugu´ee,ilvient:e+xe=x. x e+x+e 2 x Enfactorisantled´enominateurparengoanlsiolbt´eenoust´e:, 2 x x1 x=xp. x x e+x+e e1 +x+ 1 2 2 e Or, on sait que : x x limx0= =. x e e x+2 1 1 Donclimp=, ainsi : x 1 +x+ 12 x+e x x2 lime+xe= 0. x+
Exercice2.Unesuitedesolutionsd´equations
1.Pnselbavire´dtseurRen tant que fonction polynomiale. Pour toutxR, 0n1 Pn(x) =n x+ 1. Lade´riv´eedePnest donc strictement positive sur[0,1].´equconsraPent,Pnest une bijection (strictement croissante) de[0,1]sur[Pn(0), Pn(1)].OrPn(0) =1etPn(1) = 1. Le´quationPn(x) = 0a donc une unique solution dans]0,1[. 2.Onpeutobtenirline´galite´en´etudiantlafonctionPn+1Pn.miarn´ie`gearleetmlentodbetlean.Opnueusvinaet Pour toutx]0,1[, n+1n x <x . n+1n Dou`x+x1< x+x1pour toutx]0,1[.
1
3.Appliquonsline´galite´pre´c´edentepourx=αn. On obtient Pn+1(αn+1)< Pn(αn). Puisqueαnine´draptselusoueiqunlontina`ttrnepaapitnoa]0,1[dePn(x) = 0, αneriv´e Pn(αn) = 0. Do`uPn+1(αn)<0. SoitnN. Pn+1est strictement croissante et1. Pn+1(αn)<0; 2. Pn+1(αn+1) = 0. Ceci entraˆıneαn< αn+1. Parcons´equent,αn< αn+1pour toutnN.Ceceitusaleuqtilbate´i(αn)est strictement croissante. nN 4. Lasuite(αn)ntsamae,tcenisroirtsmetctsepaeer´jor1: elle est donc convergente. nN 5. Onsait que pour toutnN, 0αn`. Do`uen´elevantene´levanta`lapuissancen: n n0αn`pour toutnN. n 6. (a)La suite(`)nNiaosdereiruq´mteneog´teuiesunste`avec|`|<1.On a dans ce cas n lim`= 0. n+Dapre`sline´galite´obtenue`alaquestion5,onend´eduitque n limαn= 0 n+envertuduth´eore`medesgendarmes. (b) Parailleurs, pour toutnN, n αn+αn1 = 0. Onend´eduitdapre`slesope´rationsusuellessurleslimitesque limαn= 1. n+Ceciconstitueunecontradiction(onasuppose´` <1et on trouve`= 1). Ainsi`1. 7. Onsait que`1.En effetαn1pour toutnN.rdOeuqaoitsrpalse`dente,onnpr´ec´eioreneptuva` <1. Do`u `= 1.
Proble`me1:surlesfonctionssigmoı¨des
Partie I : La fonction tangente hyperbolique cf. cours.
Partie II : Etude de la fonctionfl.
1 Lafonctionsigmo¨ıdedeparam`etreλreiapn´etdesfλ(x) =. 1+eλx
λx 1. RemarquonsquexR,1 +e >0anetonimdee´nolcddeurfλ; la fonctionne s’annule jamaisfλenieestd´ surRelagtnemouqre´sn).vemaReponttisirtcietem(tesestuqefλrlesuetsviba´dreR, puisque c’est l’inverse de la la fonctionx7→1 +eλxrivablesur,leelˆmmedee´R(et ne s’annulant jamais surR). (a) Casλ= 0. La fonctionfλegalnte´nstaonco`eatdesitcnofalsacecsna1.
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(b) Casλ >0v´rideee.aCcllunolsdae´fλ: λx 0e xR, fλ(x) =λ . λx2 (1 +e) Ainsi, nous avonsxR, fλ(x)>0. Ainsifλest strictement croissante surR. Calculons les limites defλnition.bleded´eosensnmeobnrseeduxa:uedqrobadsnouqrameR λxλx lime= +etlime= 0. x→−∞x+Il vient donc clairement : limfλ(x) = 0etlimfλ(x) = 1. x→−∞x+Nouspouvonsde´sormaisdresserletableaudevariationdefλ: x−∞+fλ(x) 0%1 (c) Casλ <0ierCuaqc´mt.eottityuseas`tasfnt.N´eder´eceaupaelbatelsnovasuo:ontiiaarevud x−∞+fλ(x) 0&1 La courbeCλtueentresesipmysetotdsecaxueletales:orshonizitessdroquatd´eoiny= 0ety= 1.
2. Fig.1 – Les courbesC1etC1. 3. Pourλ6= 0, la fonctionfλest strictement monotone et continue surRsnoitairavedxuaelD.`rpaelsebats pre´c´edents,ellede´nitunebijectiondeRsur]0,1[ecr´roipecsclaassnotnad,pxE.iciluqdeefλ: soity]0,1[tel quey=fλ(x), 1 y=λx 1+e λx1 e=1 y
1 La fonctionlnofcnedalitnoar´eestloqueciprexpet comme0< y <1, nous avons1>0. En appliquantln y `aladerni`ere´egalite´,nousavons: y=fλ(x)   1 ⇔ −λx= ln1 y
Puisqueλno´eulnnlv,intieeustssoppopruodcny]1,1[:   1y y=fλ(x)x= ln. λ1y L’application :   1y ]0,1[R, x7→ln, λ1y est-donclar´eciproquedelapplicationfλ:R]0,1[. 2x 1e 4. RemarquonsquexR,th(x) =.u,o`D2x 1 +e λxλx 1 1λx1 +e+ 1e + th() ==fλ(x). λx 2 22 2(1 +e)
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PartieIII:Proprie´t´esge´om´etriquesdeCλ 1. Unsimple calcul nous donnexR, fλ(x) +fλ(x) = 1escourbestiude´dnleuqcnodne.OCλetCλsont 1 sym´etriquesparrapport`aladroitede´quationy=. 2 Onremarquee´galementquexR, fλ(x) =fλ(x)donc les courbesCλetCλelagtnemose´tnesqurpam´syriet rapporta`laxedesabscisses. 2.Lemeˆmecalculquelaquestionpre´ce´dentenousdonne: fλ(x) +fλ(x) 1 xR,=. 2 2 1 Onend´eduitdoncqueI(0; )centredesym´etripeuorenutsCλ. 2 0 3. Lafonctionfλru,ed´esniRerd´ncdo.Aleabivisni,utseouqnneittdedeuxfonctions´drevibaelesettsfλest bien deuxfoisd´erivableetonve´rieque 2λx  00λ eλx fλ(x) =e1. 3 λx (1 +e) 00 −λx Doncfλ(x) = 0si et seulement sie= 1. 00 Ainsifλs’annule uniquement enx= 0. 4. Latangente enx= 0eeqdua´toiuornb:tlaces λ1 y=x+. 4 2 Etudions la position relative de cette droite et deCλnotclsfaoincelaPourdion´etu.gλrsuiende´Rpargλ(x) = λ1 fλ(x)x. 4 2 Cettefonctionestclairementd´erivablesurR´dasvireee´etet λx  0e λλλx2λx gλ(x) =λ= 2e1e . λx2λx2 (1 +e4(1 +) 4e)    2 λx2λxλx0 Or2e1e=e1, doncgλest du signe deλsurR. λ1 (a) Casλ >0.gλestsetemrtciceortn´dsaisesnturRetgλ(0) = 0tr´eelnoD.uopcuotrxpositif,fλ(x)x+. 4 2 λ1 AinsiCλest au dessus de sa tangente en0eeltu´rruotnopEn.x,atifn´egfλ(x)x+. AinsiCλest au 4 2 dessous de sa tangente en0. (b) Casλ <0´eduitdu.Ilsedir.e´mtec´edpr´earsyentp
PartieIV:Des´equationsdie´rentielles   1λx 1. LafonctionFλ(x+) =ln 1eures´deinRest une primitive defλ. λ F(x) λ 2.Supposonsmomentane´mentquelimx+existe. SoitGλune primitive defλ. Il existekRtel que x k Gλ=Fλ+k. Commelimx+= 0, nous avons : x Fλ(x)Gλ(x) lim =lim. x+x+x x Fλ(x) Montrons maintenant quelimexiste. x+x λx λxλxλx ln(1 +e) ln(e) +ln(1 +e)ln(1 +e) (a) Casλ >0. Nous avons=.0r,lim =0du`o x xx x+Fλ(x) lim =1. x+x (b) Casλ <0C.cesaenopesapdseprobl`eme: Fλ(x) lim =0. x x+Remarquons que la limite en−∞denest.aspr´ec´desdeuxcesrtapsriaettrieym´eaide`al
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