Pierre Bérard Institut Fourier UMR CNRS UJF

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Pierre Bérard Institut Fourier UMR 5582 CNRS – UJF Université Joseph Fourier, Grenoble Can one hear the shape of a drum ? Mark Kac – 1966 (1914 – 1984)

  • preuve élémentaire

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  • carolyn gordon

  • géométrie spectrale


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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Pierre Bérard Institut Fourier UMR 5582 CNRS – UJF Université Joseph Fourier, Grenoble
Can one hear the shape of a drum ? Mark Kac – 1966
(1914 – 1984)
NON
On ne peut pas entendre la forme d’un tambour
Contre-exemple
Carolyn Gordon, David Webb et Scott Wolpert
1992
Autres contre-exemples
Carolyn Gordon et David Webb
è1er partie
Quel sens donner à la question
Peut-on entendre la forme d’un tambour ?
Spectre du Laplacien.
Qu’est-ce que la géométrie spectrale ?
On ne peut pas entendre la forme d’un tambour, une preuve élémentaire mais mystérieuse.
2ndepartie
Les dessous de la preuve
Groupes et combinatoire.
Construction combinatoire de surfaces.
On ne peut pas entendre la forme d’un tambour, autre preuve.
Modélisation mathématique des mouvements d’une corde vibrante homogène et parfaitement élastique, fixée en ses extrémités (d’Alembert)
désormais,τ/ρ= 1 pour simplifier
Solution générale de l’équation des ondes
(changement de variable)
u(x,t) = f(x–t) + g(x + t)
Solutions particulières de l’équation des ondes avec conditions au bord ci-dessus
(séparation des variables)
uk(x,t) = a sin (λkt +ϕ) sin (λkx)
avecλk= kπ/L, k1 a,ϕdes constantes arbitraires
Solution générale de l’équation des ondes avec conditions au bord ci-dessus
(principe de superposition)
u (x,t) =Σaksin (λkt +ϕk) sin (λkx)
Le dernier point utilise le fait qu’une fonction f, assez régulière, définie sur l’intervalle [0,L], est
 développable en série de Fourier en sinus,
de la forme
Σk1aksin (λkx)
avec
 λk= kπ/L
λ2
([0,L]),
une famille totale de fonctions propres
– (d/dx)2sin (kx) =ksin (kx) sin (λkx) |x = 0 ( = sinλkx) |x = L= 0
avec condition de Dirichlet au bord
sin (λkx) oùλk= kπ/L, avec k1
poltaré–rue/d( pr oudx)2λ λer , dans L2ucalirétd  eofmrt on platiar sofeLnoscnit
Plus généralement, étant donné un domaine M, on cherche lesfonctions / valeurs propres du Laplacien dans M, avec conditions au bord de Dirichlet ou de Neumann,c’est à dire les couples (u,λ) non-triviaux qui vérifient
problème de Dirichlet
problème de Neumann
–Δ 
u =λu dans M
 u = 0 surM
–Δ = uλu dans M
    suru = 0M
   n
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