Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee 2011-2012 Series entieres 1. A savoir – Lemme d'Abel – Rayon de convergence, disque ouvert de convergence – Determination du rayon de convergence – Criteres de Cauchy (d'Hadamard ?) et d'Alembert – Operation sur les series entieres (somme, produit, substitution) – Continuite, derivabilite, infini-derivabilite – Theoreme d'Abel sur le comportement sur la frontiere (cf U.E. 5) – Developpement d'une fonction en serie entiere – Analyticite, principe des zeros isoles et formule de Cauchy (cf U.E. 5) – Application des series entieres (cf U.E. 5) 2. Pour approfondir – Theoreme de Tauber 3. En lien avec... – la feuille sur l'interversion limite-integrale – le developpement sur le theoreme de Bernstein 4. Exercices Exercice 1 : Theoreme d'Abel [P] 1.1 Soit ∑ anx n une serie entiere de rayon R ?]0,+∞[. On suppose que +∞∑ n=0 anR n converge. Montrer que la convergence de la serie ∑ anx n est uniforme sur [0, R] et que lim x?R +∞∑ n=0 anx n = +∞∑ n=0 anR n. 1.2.

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Publié le : mardi 29 mai 2012
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Pr´eparation`alAgre´gationdeMath´ematiques Anne´e2011-2012 Se´riesenti`eres
1.A savoir – Lemmed’Abel – Rayonde convergence, disque ouvert de convergence D´eterminationdurayondeconvergence Crite`resdeCauchy(dHadamard?)etdAlembert Op´erationsurlesse´riesentie`res(somme,produit,substitution) Continuit´e,d´erivabilit´e,inni-d´erivabilit´e The´ore`medAbelsurlecomportementsurlafronti`ere(cfU.E.5) De´veloppementdunefonctionens´erieentie`re Analyticit´e,principedesze´rosisole´setformuledeCauchy(cfU.E.5) Applicationdess´eriesenti`eres(cfU.E.5)
Th´eor`emedeTauber
2.Pour approfondir
3.En lien avec... lafeuillesurlinterversionlimite-int´egrale lede´veloppementsurleth´eor`emedeBernstein
4.Exercices Exercice1:The´ore`medAbel[P] +X X n n 1.1 Soitanxnoyare`irede´erieentunesR]0,+[. On suppose queanRconverge. Montrer n=0 ++X XX n nn quelaconvergencedelase´rieanxest uniforme sur [0, R] et quelimanx=anR. xR n=0n=0 1.2.Quepeut-ondiredelare´ciproque? Exercice2:De´terminationdurayondeconvergence[P,M,Gos3] De´terminerlerayondeconvergencedess´eriesenti`eressuivantes: α  n X XX XX n sinn1n(3n)! n nn nn z ,chz ,z ,z ,sin()z(θ6=), 2n n nn!n!n Xn anz,o`uanest lan.2eledicamdee´`-me Exercice3:Sommesdese´riesentie`res[M,G] D´eterminerlerayondeconvergencepuissommerless´eriesenti`eressuivantes: X XnX n n x x (1)n , nx ,. 2n+ 1n(n+ 2) Exercice4:D´eveloppementdunefonctionense´rieentie`re[Gos3] D´evelopperlesfonctionssuivantesens´erieentie`re: Z x  2 2 2x /2t /2 22 x+ln 1x+x ,xdt, xe earcsinx, xsinx. 0 Exercice5:Equivalentsdes´eriesenti`eres[FGN2,M] +X XX n nn Soitanxetbnxntseieerdeeseri`snaroy´sxuedRaetRb. On notefa(x) =anxet n=0 +X nan fb(x) =bnx. On suppose quebn>lim =0, et quelC. bn n+n=0 5.1. Montrer queRaRb. X fa(x) 5.2. On suppose queRb= 1 et quebnlim =diverge. Montrer quel. x1fb(x) 1
2
fa(x) 5.3. On suppose queRb= +. Montrer quelim =l. fb(x) x++X p+1p n 5.4.Application 1: SoitpNmitilrlaimentered´,ndequax(11 dex)n x. n=0 + n 2 X n 1x 5.5.Application 2enur´nqe´dDtereimdequanu1i+valent:x+. n n! n=1 Exercice6:Inversedunese´rieentie`re[GouM] Soitfeesnaplblepo´dvetionfoncuneellet0edeganisiouveaeri`nteeri´euqef(0)6= 0. Montrer que g= 1/festd´ede0eniga.enie`etiaureisvoolevbappneelre´s Exercice7:D´eveloppementdunefractionrationnelleens´erieentie`re[FGN2] 7.1. SoientPetQcve,auedmes`acoexpolynˆomolpxeseceitncsQ(0)6= 0. PourzCtel que P(z) Q(z)6= 0, on posef(z. Montrer que) =ftseve´dpolelbapnseeri´enteeeri`aevuioisaneged0 Q(z) etquelescoecientsdecede´veloppementv´erientunerelationdere´currencelin´eaire`acoecients constants.Pr´eciserlerayondeconvergence. 7.2.Re´ciproquement,silasuitedenombrescomplexes(unrednuce´lereoitari´eune)vecrrne nN X n lin´eairea`coecientsconstants,montrerquelas´erieentie`reunza un rayon de convergenceR >0 +X P(z) n etquilexistedeuxpolynˆomesPetQavecQ(0)6= 0 tels queunz= . Q(z) n=0 Exercice8:D´eterminationderayonsdeconvergence[Gos3,FGN2] X na2n+1a2n+2 8.1. Soitf(z) =anzuneite`eren´sreeieuqelletmil=l1=et liml2avecl1 a2na2n+1 n+n+n=0 + etl2dansRttsee´ir?eeuQ.eridaruddnoyonecrgveceencede 8.2. Soit (an) unesuite de nombres complexes etRevnonegredec´salieertienre`elerayondec nN X X n2n .De´terminerlerayondeconvergencedea. anznz Exercice9:De´terminationdudomainedeconvergence[Gos3] X n! n SoitαRnnDoleer.nocegrevamoddeniieens´erdelaenceerite`z. + (α+ 1)∙ ∙ ∙(α+n) Exercice10:Calculdint´egrale[Gos3]   X 1 n 10.1.D´eterminerlerayondeconvergenceetledomainedeconvergencedeln1+x. n 10.2. Donner la valeur de la somme en1. Z 1E(1/x) (1) 10.3. Prouver la convergence dedxet la calculer. x 0 Exercice-Examen11:The´ore`metaube´rienfaible[G,p.284;CL1,p.106] X n Soitf(x) =anxeneutsnee´irdere`ire1.Onayonoseqsuppmileuf(x) =lC. x1  +X X 1 Sian=oou sian0, montrer queanconverge et quean=l. n+n n=0 Exercice-Examen12:Th´eor`emetaub´erienfort[G,p.284] X n Soitf(x) =anxup´erieuderayonspuopesuq`r1aO.snuimelere`itneeire´senf(x) = 0. Si x1  +X X 1 an=Onnoom,ar`eehhcceuqrertanconverge et quean= 0. n n=0 P n Ond´enitΦcommelensembledesfonctionsϕ: [0,1]Rtelles quex[0,1[, anϕ(x) converge +X n et limanϕ(x; on note) = 0g=χ[1/2,1]. x1 n=0 12.1.EtablirquetoutpolynoˆmePR[X] tel quePtnei.Φa`pa0=trap0)(
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