Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee 2011-2012 Series de fonctions 1. A savoir – Convergences simple, uniforme, normale – Critere de Cauchy, critere de Cauchy uniforme – Regle d'Abel – Theoremes de continuite, derivabilite, integration – Theoreme de convergence dominee 2. Pour approfondir – Produits infinis de fonctions 3. En lien avec... – la feuille sur les interversions limites-integrales – la feuille sur les series entieres – le developpement ” theoreme de Borel” – le developpement ” construction d'une fonction continue, nulle part derivable” 4. Exercices Exercice 1 : La fonction ? de Riemann [G, L, CL2, C, P] On note ?(s) = +∞∑ n=1 1 ns et ?(s) = +∞∑ n=1 (?1)n ns . 1.1. Montrer que ? est une fonction C∞ sur ]1,+∞[. 1.2.[L] Montrer que ? est une fonction C∞ sur ]0,+∞[. 1.3. Donner la limite de ?(s) quand s? +∞ et un equivalent de ?(s) quand s? 1+. 1.4.[CL2] Montrer que ? definit une fonction holomorphe dans le demi-plan Re s > 1. 1.5.

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : math.unice.fr
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Pr´eparation`alAgre´gationdeMath´ematiques Anne´e2011-2012 Se´riesdefonctions
1.A savoir – Convergencessimple, uniforme, normale Crite`redeCauchy,crit`eredeCauchyuniforme Re`gledAbel Th´eor`emesdecontinuite´,de´rivabilite´,int´egration The´ore`medeconvergencedomin´ee
– Produitsinfinis de fonctions
2.Pour approfondir
3.En lien avec... lafeuillesurlesinterversionslimites-int´egrales lafeuillesurlesse´riesenti`eres led´eveloppementthe´ore`medeBorelled´eveloppementconstructiondunefonctioncontinue,nullepartd´erivable
4.Exercices Exercice 1 : La fonctionζde Riemann [G, L, CL2, C, P] ++n X X 1 (1) On noteζ(set) =α(s) =. s s n n n=1n=1 1.1. Montrer queζest une fonctionCsur ]1,+[. 1.2.[L] Montrer queαest une fonctionCsur ]0,+[. + 1.3. Donner la limite deζ(s) quands+eduivalentetun´eqζ(s) quands1 . 1.4.[CL2] Montrer queζelededanslanRmi-pohnoitcnehpromoled´fonetunis >1.   1 1 1.5. [L] Montrer que pours >1,α(s) =1ζ(s) puis quelimα(s) =. s1+ 2s02 Z +t s1 1.6. [C] On note Γ(s) =dte touepnied´rs >0. Montrer que pours >´eganal1,o´tile 0 Z +s1 t Γ(s)ζ(s) =dt. t e1 0 Y 1 1.7. Montrer que pour Res >1, on aζ(s,o`u)=pnest la suite des nombres premiers s 1pn n1 rang´esparordrecroissant. 1.8.[CL2]End´eduirequeζne s’annule pas sur le demi-plan Res >1. X 1 1.9.Ende´duirequediverge. pn n1 Remarque :ζse prolonge en une fonction holomorphe surC\ {1}. Exercice2:Etudedunese´riedeDirichlet[L,FGN2] X sin(nx) On notef(x) =. n n1 2.1. Montrer quefstru[ro´mmeneergeunifconvα,2πα0`u,o]< α < π. 2.2.Quende´duit-onpourlensembledede´nitionetlacontinuite´defsur [0,2π] ? 2.3. Y a-t-il convergence uniforme defsur [0,2π] ? 2.4. [FGN2] Soit (bnu)eritsuneuiconteqgevenverel´de´lesiasceoruelarerqmontrs0,ei´sre n1 X bnsin(nxfonieurgveon)crustneme´mrRssinbn0. A quelle condition converge-t-elle norma-n+n1 lement ? 1
2 Exercice 3 : La fonctionθ[QZ] X2 πxn Soitθeparine´dθ(x) =e. nZ 3.1.Etudiersonensembledede´nitionetsar´egularit´e. 1 3.2. Montrer que sif∈ C(R), NZ Z N N X 0 f(n) =f(t)dt+ (tE(t))f(t)dtpour toutNN, 0 0 n=1 o`uE(tigned´es)itneere`apaleitrdet. + 3.3.End´eduireuneasymptotiquedeθquandx0 . Exercice4:Exemplesdes´eriesdefonctions[M] nx X e 4.1.Ond´enitpourxutidE.nsctioefonriedas,noitined´deneaiomndsoerl0e´sa 2 n+ 1 nN continuite´etsad´erivabilit´e,en´etudiantenparticuliercequisepasseen0. 4.2. Soit (λn)nNuiteuneseelsder´itque,ivs+erdvennassiorctisop,et. On pose +X nλnx f(x) =(1)e . n=0 Z +Etudiersondomainedede´nition,sacontinuite´etcalculerlinte´gralef(t)dt. 0 4.3.Application :Etudier le casλn=n+ 1. Exercice5:S´eriesdefonctionsetpointsdediscontinuite´[P] X 5.1 Soitfners´neuncfodeiecsoritnotnsesiasintedellervalIRdansRre-ocvnemtnrm´enifo,u nN gente de sommeFsedelbmesneleuqertron.Muntie´eddiscontipointsdeFetsal´rsensseblemnieudeon despointsdediscontinuit´edesfn. X E(nx) 5.2.Montrerquelase´rieestcontinuesurR\Q 3 n n1 Exercice6:Se´riesdematrices[R] Etantdonne´eM∈ Mp(C)nd,on´eit +X n M exp(M). n! n=0 6.1.Montrerquelas´erieconvergeabsolumentetnormalementsurlesboules(onutiliseraunenorme ade´quate).Quende´duiresurlacontinuite´deexp? X n 6.2.Plusg´ene´ralement,sif(z) =anzire´tneere`iredeonay0unesest< R+, montrer que n0 +X n anM n=0 estbiend´enieetcontinuesurunensemble`apr´eciser.Onnoteraf(M) la somme, et l’on peut ainsi 1 1 de´nirln(Idp+Marctan(), ,M), sin(Mqui est), ... et l’on a bien, par exemple, Idp+M Idp+M l’inverse deIdp+Meri)r!(l´eev Exercice7:De´compositionens´eriedelavaleurabsolue[FGN2] 1 2 Soitfonaflqidoire´p-1noitcedeuRdansRarep´dinef(x) =xpour|x| ≤. Montrer que pour 2 +  X x n toutxR, 2f=|x|. n 2 n=−∞
3
Exercice-Examen8:S´eriesdeDirichlet[QZ,p.23;CL2,p.119] X an Soitless´eriesdelaformef(s)=o`u(anune suite complexe et) estsC. On note nN s n n1 X X an|an| ¯ σc= inf{xR: converge}etσac= inf{xR: converge}sdnteel,´me´eR. x x n n n1n1 8.1.[CL2] Soienta < bRets=x+iyCtel quex >0. Montrer que |s| asbsaxbx |ee| ≤(ee). x 8.2.[CL2] Montrer que sis0C´saleireetestuelqf(s0) converge, alorsf(s) converge pour tout sCtel que Res >Res0. 8.3.Montrerquelase´riedeDirichletconverge(resp.convergeabsolument)pourRes > σc(resp. pour Res > σac) et qu’elle diverge pour Res < σc(resp. pour Res < σac). On n’oubliera pas les cas σc, σac=±∞! 8.4. Montrer queσcσacσc+ 1. n 8.5. Etudier le casan= (1) . 8.6.[CL2] On suppose quef(s0) converge. Montrer que la convergence est uniforme dans tout do-maine|Arg(ss0)| ≤α < π/2. 8.7.[CL2] Montrer quef(s) est une fonction analytique dans l’ouvert deCrapieRdne´s > σc. 5.Indications Exercice 1: 1.2.Utiliserlecrit`eredesse´riesaltern´ees. 1.3.Utiliserunecomparaisonse´ries-inte´grales. 1.4.Utiliserlethe´or`emedeWeierstrasssurleslimitesuniformesdefonctionsholomorphes.  x x 1 1 1.5. Ecrire l’expressiongearni´tuenmrdeusfoso.erdrcaenletle 2n2n+ 1 1.6.Utiliserleth´eor`emedeBeppo-Leviousoncorollairepourless´eries. 1 1.7.Utiliserlede´veloppementdeens´erieenti`ere. 1x 1.9. Raisonner par l’absurde et contredire la question 1.3. Exercice 2: 2.1.UtiliserunetransformationdAbeletlecrit`eredeCauchyuniforme.   1 2.3. En notantSk(xdituerleel´es,raitempsssmo)elSk. k 2n X 2.4. Si on a convergence uniforme, la tranche de Cauchybksin(kt)0uniforneme´m,tne n+k=n+1 π particulier pourt=.Pupe´eco,ondqoeuicrprae´uolrRn(t)a`tnapuocnexuednen+p, on majore 6n et on choisit finalementp= [1/t] + 1. Exercice 3: P P N N 3.2. Ecrire quef(n() sous la formen(n1))f(n) puis faire une transformation n=1n=1 d’Abel. 3.3. Utiliser que 0tE(t)1. Exercice 4: 4.1. Il faut montrer quef.0neelbaasd´erivnestp Exercice 6: Penser aux normes matricielles. Exercice 7:   +X x n Commencer par prouver que la fonctionϕ(x2) =fest continue surR. Montrer ensuite n 2 n=−∞ queϕ(2x) = 2ϕ(x) et que pourx[0,1],ϕ(x+ 1) =ϕ(x) + 1.
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