Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee 2011-2012 Formules de Taylor, developpements limites et asymptotiques 1. A savoir – Formule de Taylor - Lagrange – Formule de Taylor avec reste integral – Inegalite de Taylor-Lagrange – Formule de Taylor-Young – Developpements limites classiques 2. En lien avec... – La feuille sur les relations de comparaison et sommation – la feuille sur les integrales generalisees – la feuille sur l'integration numerique – la feuille sur les suites definies par recurrence – la feuille sur les series numeriques – la feuille sur continuite et derivabilite – le developpement ”methode de Newton” – le developpement ”acceleration de la convergence” – le developpement ”utilisation des series pour l'etude des suites” – le developpement ”comparaison series-integrale” (exercice 2) – le developpement ”developpement asymptotique de la serie harmonique” – le developpement ”theoreme de Bernstein” – l'etude des extrema et des courbes (cf U.E. 3) 3. Exercices Exercice 1 : Formules de Taylor en dimensions superieures et contre-exemples [R,G, H] 1.1. Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 2 pour une fonction de 3 variables. 1.2. Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 3 pour une fonction de 2 variables. 1.3. Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 13 en p0, 0q pour fpx, yq y5 x3y x2 y.

  • inegalite des accroissements finis

  • comparaison series-integrale

  • taylor-lagrange


  • formule de taylor-young

  • formules de taylor


Publié le : mardi 29 mai 2012
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Preparation a l’Agregation de Mathematiques
Annee 2011-2012
Formules de Taylor, developpements limites et asymptotiques
1. A savoir
{ Formule de Taylor - Lagrange
{ Formule de Taylor avec reste integral
{ Inegalite de Taylor-Lagrange
{ Formule de Taylor-Young
{ Developpements limites classiques
2. En lien avec...
{ La feuille sur les relations de comparaison et sommation
{ la sur les integrales generalisees
{ la feuille sur l’integration numerique
{ la feuille sur les suites de nies par recurrence
{ la sur les series numeriques
{ la feuille sur continuite et derivabilite
{ le developpement "methode de Newton"
{ le developpement "acceleration de la convergence"
{ le developpement "utilisation des series pour l’etude des suites"
{ le developpement "comparaison series-integrale" (exercice 2)
{ le developpement "developpement asymptotique de la serie harmonique"
{ le developpement "theoreme de Bernstein"
{ l’etude des extrema et des courbes (cf U.E. 3)
3. Exercices
Exercice 1 : Formules de Taylor en dimensions superieures et contre-exemples [R,G, H]
1.1. Ecrire la formule de Taylor-Young a l’ordre 2 pour une fonction de 3 variables.
1.2. la formule de Taoung a 3 pour une de 2 v
5 3 2
1.3. Ecrire la formule de Taylor-Young a l’ordre 13 en 0; 0 pour f x;y y x y x y.
1.4. Prouver l’inegalite des accroissements nis : Soit G : a;b E , ouE est un evn, eth : a;b R
continues sur a;b , derivables sur a;b et telles que pour tout t a;b , G t h t , alors
G b G a h b h a :
1.5. En deduire l’inegalite des accroissements nis pour f :U E F , ou E etF sont deux evn et
U est un ouvert de E, c’est- a-dire : soit a;b inclus dans U, si f est continue sur a;b , derivable sur
a;b et s’il existe M 0 telle que pour tout c a;b ; df M, alorsc
f b f a M b a :
n
1.6. En deduire l’inegalite de Taylor-Lagrange : Soit f C a;b ;E , n 1 fois derivable sur a;b
n 1telle que f t M pour tout t a;b , alors
n k n 1f a b akf b f a b a M :
k! n 1 !
k 1
1.7. En deduire l’inegalite de Taylor-Young : Soit f de nie sur un voisinage de a et n fois derivable
en a, alors
n kf a k nf x f a x a o x a :
k!
k 1
1.8. Donner un exemple de fonction admettant un developpement limite a l’ordre 2 au voisinage de
0 mais qui n’est pas deux fois derivable en 0
Exercice 2 : Developpements limites [M]
sh x xx sh x
2.1. Calculer lim
x sinxx 0 sinx x
1
?Ps?pq||1r??pqq||pqqpppp??prqq||p?qq||qrppqpppqq||pqqq||q?||ppprrqp||ps?ppq?||rqqrpq?ssqPprspr||||qPsppPspqrs?|||rqsqsp?q?||rs|||1qs2
xlnx
ln 1 x
2.2. Calculer lim
x lnx
Exercice 3 : Developpements limites de solutions d’equations [M]
3.1. Demontrer que pour n N , l’equation x lnx n admet sur R une unique solution notee
x et trouver les trois premiers termes du developpement limite de x quand n .n n
n3.2. Demontrer que pour n 3, l’equation x expx admet sur 0;n une unique solution notee
x et trouver les trois premiers termes du developpement limite de x quand n .n n
3.3. Demontrer que pour n N, l’equation x tanx admet sur n ;n une unique solution
2
notee x et trouver les quatre premiers termes du developpement limite de x quand n (cfn n
exercice 6 de la feuille "Relations de comparaison").
Exercice 4 : Developpements asymptotiques [P]
x
dt
4.1. Developpement asymptotique de quandx (cf question 4.6 de la feuille "Relations
lnt2
de comparaison").
te
4.2. Developpement asymptotique de dt quand x
tx
Exercice 5 : Developpement limite des sommes de Riemann [L]
15.1. Soit f C 0; 1 ;R . Montrer que lim n 0, oun
n
n 11 1 1 k 1
f t dt f 0 f f 1 :n
n 2 n 20 k 1
2 25.2. Soit f C 0; 1 ;R . Calculer lim n .n
n
Exercice 6 : Applications de la formule de Taylor - Lagrange et de l’inegalite des ac-
croissements nis [FGN1, G, R]
n6.1. Soit P R X un polyn^ome de degre impair et f C R;R telle que f x P x pour
tout n N et tout x R. Que dire de f ?
16.2. Soitf C 0; 1 ;R deux fois derivable sur 0; 1 veri ant f 0 f 0 f 1 0 etf 1 1.
Montrer qu’il existe x 0; 1 tel que f x 4.
6.3. Soitf :R R de classe C avecf 0 0 etf 0 0. On suppose que la limitef en est
nulle. Montrer qu’il existe x 0 tel que f x 0, puis qu’il existe une suite strictement croissante1 1
n
x telle que pour tout n 1, f x 0n n
6.4. Montrer que e n’est pas algebrique d’ordre 2, c’est a-dire- qu’il n’existe pas trois entiers a;b;c
2non tous nuls tels que ae be c 0.
6.5. Soitf : 1; R une fonction strictement croissante et derivable. On suppose que f cro^ t vers
if net que f decro^ t vers 0 en . Montrer que les points e , avec n N; n 1 sont denses sur
1le cercle S .
Exercice - Examen 7 : Inegalites de Kolmogorov [G, p. 81 ; CL2, p. 39]
2 k7.1. Soitf C R;R . On noteM sup f x R; k 0; 1; 2 . SiM etM sont nis, montrerk 0 2
x R
que M l’est aussi et que M 2M M .1 1 0 2
n k7.2. Soit f C R;R . On note encore M sup f x R; k 0; :::;n . Si M et M sontk 0 n
x R
k kk n k 1
n n2 nis, montrer que pour tout k 1; :::;n 1 , M est ni et que M 2 M M :nk k 0
7.3. Montrer que 2 est la meilleure constante possible pour la question 7.1.
Exercice - Examen 8 : Lemme d’Hadamard et applications [G, ps 308 et 338]
n8.1. Soit f :R R une fonction de classe C . On suppose que f 0 0. Montrer que l’on peut
n
necrire f x ; ;x x g x ; ;x , ou pour tout i, g :R R est une fonction de classe C .1 n i i 1 n i
i 1
n
8.2. Si de plus df 0, montrer que l’on peut ecrire f x ; ;x x x h x ; ;x ou0 1 n i j i;j 1 n
i;j 1
npour tout i;j , h :R R est une fonction de classe C .i;j
?qppq|qrpq|8p?q2?pqp1qspP?P?q8PP8pr?sqrPPpsuP?q|?Pq|pp8q???P?q8pP8?qPsppp??8psqpr?8qqpq1???sPu?sq
qppq|8PPrprst8Pq|sPppqpq|sq?8rq1p?1a??888?qp8p1??8rpprp?puqqqq8r??Ptpqpq
PqPtppq|P|8pq|3
8.3. Application : Soit n N On note G l’e.v. des fonctions a valeurs reelles, de nies sur un0
voisinage de 0 et de classe C . Soit L une application de G dansR telle que (L est une derivation) :0
{ L est lineaire,
{ L 1 0,
{ pour tout f;g G , L fg f 0 L g g 0 L f .0
nMontrer qu’il existe R tel que L f f 0 df pour tout f G .0 0
4. Indications
Exercice 1 :
1.4. Commencer par le cas ou G t h t . Dans ce cas, on pose
a;b ; t a; ; G t G a h t h a :
On note sup et on montre par l’absurde que b.
1.5. On pose G t f ta 1 t b et h t Mt b a .
n k n 1f t b tk1.6. On pose G t f b f t b t et h t M .
k! n 1 !
k 1
1.7. On procede par recurrence. Pour passer de n 1 a n, deriver
n kf a kR f t f t f a t a :n
k!
k 1
Voir le lien avec R f et appliquer l’inegalite des accroissements nis.n 1
131.8. Considerer f x x sin :
x
Exercice 3 :
3.2. Montrer que x 1;n , puis que la suite x est decroissante et qu’elle converge vers 1.n n n N
Exercice 4 :
Faire des integrations par parties successives, puis estimer la derniere integrale.
Exercice 5 :
On utilisera deux formules de Taylor-Lagrange a l’ordre 2, puis a l’ordre 3 pour la fonction
x
F x f t dt entre k n et k 1 n.
0
Exercice 6 :
6.1. Utiliser Taylor-Lagrange a tout ordre en un point bien choisi.
6.2. Taylor-Lagrange entre 0 et 1 2 et entre 1 et 1 2.
6.3. Raisonner par l’absurde, puis par l’absurde et par recurrence. Appliquer Taylor-Lagrange entre
x et a avec x a x .n
x x6.4. Appliquer Taylor-Lagrange a tout ordre a la fonction f x ae ce entre 0 et 1.
6.5. Appliquer l’inegalite des accroissements nis a la fonction exp if x aux points
1x f 2k et n E x .k k k
Exercice 7 :
7.1. Appliquer Taylor-Lagrange a f entre x et x h et entre x h et x, puis minimiser la fonction
M M0 2
h h.
h 2
n7.2. Ecrire n 1 formules de Taylor-Lagrange entre x et x i, separer les termes en f et f des
autres termes et reconna^ tre un systeme de Vandermonde.
Pour l’inegalite proceder par recurrence. Pour le passage de n a n 1, commencer par montrer
l’inegalite sur M gr^ ace a la question 7.1, en deduire celle sur M .n k
1
7.3. Considerer la fonctiong 2-periodique qui vaut 1 sur 0; 1 et 1 sur 1; 0 , sa primitive x
2
sur 1; 1 et sa primitive seconde qui s’annule en 0. Puis approcher g par une fonction a ne par
morceaux a " pres.
Exercice 8 :
8.1. Appliquer la formule de Taylor avec reste integral.
8.2. deux fois le resultat de la question 8.1.
8.3. Utiliser le lemme d’Hadamard ; on trouve L x ; ;L x .1 n
1||r||psqqqp?1pp?pppp?spPppqspqpsqqppqqppqqqq1ppqq||q?qrpqqq||ppP?||pqpqppquq{pppqpqqPppp{{pqqqq{pqqq1qPq8p||pPp88p8PpqtP?rP@8rp
qprqqpqqrppprqqqprq?qpqp?|pqq|4
5. References
[CL2] Chambert-Loir, Fermigier, Exercices de mathematiques pour l’agregation, Analyse 2 , Masson.
[FGN1] Francinou, Gianella, Nicolas, Exercices de mathematiques. Oraux X-ENS. A 1, Cassini.
[G] Gourdon, Les maths en t^ete. Analyse, Ellipses.
[H] Hauchecorne Les contre-exemples en mathematiques, Ellipses.
[L] Leichtnam, Exercices corriges de math poses a l’oral des concours de Polytechnique et
des ENS. Tome Analyse, Ellipses.
[M] Merlin , Methodix Analyse, Ellipses.
[P] Pommellet, Cours d’analyse, agregation de mathematiques, Ellipses.
[R] Rouviere, Petit guide de calcul di erentiel , Cassini.

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