Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'Agregation de Mathematiques Annee 2011-2012 Rapidite de convergence de suites. Suites recurrentes 1. A savoir – Une suite majoree et croissante (resp. minoree et decroissante) converge – Theoreme du point fixe pour f continue sur un segment – Theoreme du point fixe de Picard – Limite d'une suite recurrente – Calcul des suites recurrentes lineaires – Monotonie des suites recurrentes en fonction de la monotonie de f – Lien entre suites et series – Application aux methodes d'analyse numerique 2. En lien avec.. – les exercices de la feuille sur les relations de comparaison – les exercices de la feuille sur les suites – les exercices de la feuille sur les limites inferieure et superieure (systeme dynamique perturbe) – le developpement ”methode de Newton” – le developpement ”acceleration de la convergence des suites” – le developpement ”utilisation des series pour etudier les suites” Definition [Pe]. Soit une suite (un) qui converge vers l. (1) On dit que la suite (un) converge lentement vers l si il existe A, ? > 0 tels que |un ? l| ≥ A n? . (2) On dit que la suite (un) converge geometriquement vers l si |un ? l| est dominee par une suite kn avec 0 < k < 1. (3) On dit que la suite (un) converge avec une convergence quadratique vers l si |un? l| est dominee par une suite k2 n avec 0 < k < 1.

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Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Pr´eparation`alAgre´gationdeMath´ematiques Anne´e2011-2012
Rapidit´edeconvergencedesuites.Suitesre´currentes
1.A savoir Unesuitemajor´eeetcroissante(resp.minor´eeetd´ecroissante)converge Th´eore`medupointxepourfcontinue sur un segment The´ore`medupointxedePicard Limitedunesuitere´currente Calculdessuitesre´currentesline´aires Monotoniedessuitesre´currentesenfonctiondelamonotoniedef Lienentresuitesetse´ries Applicationauxme´thodesdanalysenum´erique 2.En lien avec.. – lesexercices de la feuille sur les relations de comparaison – lesexercices de la feuille sur les suites lesexercicesdelafeuillesurleslimitesinfe´rieureetsup´erieure(syst`emedynamiqueperturbe´) led´eveloppementm´ethodedeNewtonlede´veloppementacce´l´erationdelaconvergencedessuiteslede´veloppementutilisationdess´eriespour´etudierlessuitesDe´nition[Pe].Soit une suite(un)qui converge versl. (1)On dit que la suite(un)convergelentementverslsi A il existeA, α >0tels que|unl| ≥. α n (2)On dit que la suite(un)convergetriqom´eg´eemeutnverslsi|unl|n´mipaeeedosteurenusti n kavec0< k <1. (3)On dit que la suite(un)convergeavec une convergence quadratiqueverslsi|unl|tsen´eedomi n 2 par une suitekavec0< k <1. (4)ustiealern´´esgluPaleuqtidno,tneme(un)convergeavec une convergence d’ordrer >1versl n r si|unl|peranie´iuetnuseesomtdkavec0< k <1. Uneautrede´nitionpossible(quiimpliqueparfoislapremie`remaisquineluiestpase´quivalente): De´nition.Soit une suite(un)qui converge versl. |un+1l| On suppose qu’il existekRtel quelim =k. n+|unl| (1)Sik= 1, on dit qu’il y aconvergence lente. (2)Si0< k <1, on dit qu’il y aveoncg´ceenrgteiroe´muqe. (3)Sik= 0, on dit qu’il y aconvergence rapide. 3.Exercices Exercice1:Rapidit´edeconvergenceetd´eveloppementsasymptotiquesdediverses suites.  ! n X 1 1.1.Montrerqueconverge.Quelleestlarapidite´delaconvergence? 2 k k=1 nN  n1 1.2.a.Quelleestlarapidit´edelaconvergencede1+verse? n nN  ! n X 1 b.Quelleestlarapidit´edelaconvergencedeverse? k! k=1 nN 1
2    π π n n 1.3. a. Quelle est la limite des suites (Sn) et(Tn) avecSnsin et= 2Tn= 2tan ? nNnN n n 2 2 Quelleestleurrapidite´deconvergence? 2 1 b. Soit la suite (un)nd´enieparun=Sn+Tn. Quelle est sa limite et sa vitesse de conver-3 3 gence ? Sn+1Sn/4 c. Soit la suite (un)ndreiape´nunQuelle est sa limite et sa vitesse de= . 11/4 convergence ?( Il s’agit dusordncorp´de´Redeahci) n n1 2 1.4. [Gos3] Soitanl’unique racine positive deX+X+∙ ∙ ∙+X+X1, n >0. Quelle est la limite et la vitesse de convergence de la suite (an)n? Exercice2:Stabilite´dunpointxe[R] 1 SoitIun intervalle deRetf:IIune fonction de classeCcnO.isnore`dge´eemaltlenuiaste de´nieparun+1=f(un) avecu0I. D´enition.Un point fixeλIdefest 0 i.stable ou attractifsi|f(λ)|<1, 0 ii.ifpulsnusrt´eableiosi|f(λ)|>1, 0 iii.super-attractifsif(λ) = 0, 2.1. Siλest instable, montrer qu’il existe un voisinageJdeλtel que, siu0J\ {λ}, alors la suite (un)nsort de l’intervalleJ. 2.2. Siλest stable, montrer qu’il existe un voisinageJdeλ, stable parf, tel que, siu0J, alors la suite (un)nconverge versλ. 0 2.3. Si,λest stable et si, de plus,fne s’annule pas surJ, montrer que siu06=λ, alors 0n un6=λetunλf(λ) (u0λ) pour toutnN. n+20 00 2.4. On suppose maintenant quefde classeC, quef(λ) = 0 et quefne s’annule par surJ. Montrer que siu06=λ, u0J, alors 00 f(λ) 2 un6=λetun+1λ(unλ) pourtoutnN. n+2 0 2.5. [D] Donner deux exemples de fonctionsftelles quef(0) = 0 etf(0) = 1 et telles que dans un cas,lasuitede´nieparun+1=f(un) diverge pouru0assez proche de 0 et dans l’autre cas, la suite converge pouru0assez proche de 0. Exercice3:Etudesconcre`tesdesuitesr´ecurrentes-Rapidite´deconvergence[L,FGN1, Gos3, CL1] 1 2 3.1. a. Quelle est la limite de la sui=un(un2) avecu0[1,2] ?Quelle tede´nieparun+1 4 estsarapidit´edeconvergence?   1 2 b.Quelleestlalimitedelasuited´enieparun+1=un+ avecu0>0 ?Quelle est sa 2un rapidite´deconvergence? 3.2.Quelleestlalimiteetlavitessedeconvergencedelasuitede´niepar u0Retun+1= arctan(un)? 2 u. 3.3.[FGN1]Etudedelasuited´enieparu0Ret parun+1= 2n a.D´eterminerlecomportementdelasuiteselonque|u0|>2 ou|u0| ≤2. b.De´terminerles|u0| ≤2 tels que la suite (un)nNstationne. c. Montrer que si|u0| ≤2 et que la suite (un)nNne stationne pas, alors elle prend alternative-ment des valeurs dans [2,0] et dans [0,2]. 1 2 aru= (u+ 3.4.Etudedelasuited´enieparu0Ret pn+1n1). 2 3.5.Etudedessuitesd´eniespar un+vna.u0, v0>0 et parun+1=, vn+1=unvn. 2 un+vnb.u0, v0>0 et parun+1=, vn+1=un+1vn. 2 Exercice4:Unexempleenprobabilit´e:laruinedujoueur[F]
3 Onconsid`ere2joueursAetB.A(resp.B)gagneuntouravecuneprobabilite´a[0,1] (resp.bqui v´eriedonca+b= 1) et on noteSla somme totale dont disposent A et B. Si A (resp. B) gagne un tour,sacagnotteaugmentede1etsiilperd,sacagnottediminuede1.Lapartiesarrˆetelorsquelun des joueurs a tout perdu. On notepnecavneaglaprobaibil´tpeuoqreugAntie.aparenosureduaehcopledtube´ 4.1.Ecrirelar´ecurrenceve´ri´eeparlasuitepn, ainsi que les ”conditions aux bords”,p0etpS. 4.2. Donner une expression pourpnen fonction dea,Setn. Exercice5-Examen:D´enitiondelensembledeCantor[R,p.165;CL1,p.33;Web] Onconside`reunesuiter´ecurrented´enieparun+1=f(un) etu0=ao`u 3xsix1/2, f(x) = 3(1x) six1/2. 5.1. Montrer que la suite (unpeut converger vers un point fixe de) nefque si elle est constante nN `apartirduncertainrang. 5.2. Montrer que la suite (un)´nrobtselleisseetedaeresintenslel0[vrla,rerienlmbsele´Dce1.] nN K3des pointsa=u0tels qu’il en soit ainsi (ensemble de Cantor). 5.3. Montrer queK3deviurie.utsesnenlbmeecompact,demesurnelueltedni´tre 5.4. Montrer queK3nsemileesr´bleded0[eeslssuatse,meppttnee´deolevtesadriueiqnolt1d] X n an3 avecan∈ {0,2}. n=1 N 5.5.Montrer´egalementqueK3htseae`phorom´eom{0,1}muni de la topologie produit de la toplogie discr`etesur{0,1} 5.6. Montrer queK3esttotalement discontinumoopescsseocastnt-`aceseque-dir,soesexnnnt toutesre´duitesa`unpoint,puisqueK3estparfaitest-`a-,ce.l´inposotitee´snaseridmref Exercice6-Examen:The´ore`medeSarkovski,versionfaible[FGN1,p.89;CL1,p. 131 ;N] SoitIsegment deRetf:IIune application continue. On dit quexIest unpointnqidoeu-pri´e n k sif(x) =xetf(x)6=xpour tout 1kn1. 6.1. SiKest un segment inclus dansf(I), montrer qu’il existe un segmentLinclus dansItel que K=f(L). 6.2. On suppose qu’il existensegmentsIk,0kn1 deItels queI0f(In1) etIk+1f(Ik) n k pour tout 0kn2. Montrer quef=f o∙ ∙ ∙ofa un point fixex0tel quef(x0)Ikpour tout 0kn1. 6.3. Montrer que s’il existeatniopnuetsixersil,aloiqueriodp-e´ni3tnuop,ntourpoueiqodri´ep-tu nN. 3 6.4.[N]Application 1 :d´etensnofsoitcnimrelref: [0,1][0,1] telles quef= id[0,1]. 6.5.Application 2 :Exhiber des pointsnontincfolaurpoes:etnetreoiiduq-´p 2xsi 0x1/2, f(x) = 2(1x1) si/2x1.
4.Indications Exercice 2 0 2.1.(et2.2.)Onconside`reJtel que pour toutxJ,|f(x)| ≥k >u;1lresilitalegn´isde´eit accroissements finis. 2.3.et2.4.Utiliserleth´eor`emedesaccroissementsnis. Exercice 3 3.2.Utiliserlame´thodeenα. 3.3. b. Poseru0=2 cosθ0. 3.3. c. Par l’absurde... Sur [0,ous-suites(is´drereeldsuesxnoc,]2u2n)nNet (u2n+1)nN. Etudier comme limite possible de ces sous-suites les points fixes def oflibitarse.t´uelte 3.5. a. Penser aux suites adjacentes. 3.5. b. Un peu de calcul... Poseru0=v0cosαou bienu0=v0coshα. Exercice 5 5.3. EcrireK3mmeuneinconodnuoietsrceitdseinsnse´mrefe.
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