Preparation a l'agregation externe Universite de Grenoble Option calcul scientifique

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation externe Universite de Grenoble Option calcul scientifique 2009/2010 Etude qualitative des EDO Quelques rappels Commandes Scilab de base pour debuter : deff('y=f(t,x)','y=x^2+t') appelle f la fonction (t, x) 7? x2 + t ode(y0,t0,T,f) donne la solution de l'equa. diff. y?(t) = f(t, y(t)), y(t0) = y0 fchamp(f,t0,x,y) trace le champ de vecteurs (x, y) 7? f(t0, (x, y)) plot2d(x,y) relie la liste de points de coordonnees (xi, yi) Rappel sur les schemas numeriques : on souhaite integrer numeriquement l'equation differentielle y?(t) = f(t, y(t)). Euler : yn+1 = yn + hf(tn, yn). Point milieu : { ymil = yn + h/2 ? f(tn, yn) yn+1 = yn + hf(tn + h/2, ymil) Runge-Kutta 4 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p1 = f(tn, yn) t2 = tn + h/2 y2 = yn + h/2 ? p1 p2 = f(t2, y2) t3 = tn + h

  • methode rk4

  • constante universelle de gravitation

  • trajectoires fermees

  • methodes de runge-kutta

  • exercice de base

  • comportement qualitatif

  • methode d'euler

  • constante independante de la trajectoire de la planete


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 30
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 4
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Pr´eparation`alagre´gationexterne Option calcul scientifique
Etude qualitative des EDO
Universit´edeGrenoble 2009/2010
Quelques rappels CommandesScilabdebasepourde´buter: 2 deff(’y=f(t,x)’,’y=x^2+t’)appellefla fonction (t, x)7→x+t ode(y0,t0,T,f).tulosalennodi.duaeq´elndioy(t) =f(t, y(t)),y(t0) =y0 fchamp(f,t0,x,y)trace le champ de vecteurs (x, y)7→f(t0,(x, y)) plot2d(x,y)ilerroodedocse(nne´isteelalintsdepoxi, yi)
Rappelsurlessch´emasnum´eriques:noitauqe´ltnemeunum´eriqnt´egreruoahtiieosn di´erentielley(t) =f(t, y(t)). Euler :yn+1=yn+hf(tn, yn). ymil=yn+h/2f(tn, yn) Point milieu : yn+1=yn+hf(tn+h/2, ymil) p1=f(tn, yn) t2=tn+h/2y2=yn+h/2p1p2=f(t2, y2) RungeKutta 4 :t3=tn+h/2y3=yn+h/2p2p3=f(t3, y3) t4=tn+h=tn+1y4=yn+hp3p4=f(t4, y4)   1 22 1 yn+1=yn+hp1+p2+p3+p4 6 66 6
Comportement qualitatif :exercices de base
Exercice 1 : Portraits de phase. Repr´esentera`laidedunlogiciellesportraitsdephasecorrespondantsaux´equationsdie´rentielles suivantesainsiquequelquestrajectoiresdansceplandephase.Rep´ererlesdie´rentspoints d´equilibreetlestrajectoiresp´eriodiques.Discuterdeleurstabilite´.Quelestlecomportement des autres trajectoires ? ′′ 1) Lependulex(t) + sinx(t) = 0. ′′ ′ 2) Lependule amortix(t) +αx(t) + sinx(t) = 0. ′′23) L’oscillateurde Van der Polx(t) +α(x1)x+x= 0.
Exercice2:Aproposdelanonunicite´dunesolution. 2/3 Onconside`rele´quationdie´rentiellex(t) = 3x(tquelles sont les solutions de). Rappeler cette´equationpourunedonne´einitialex(0) =x06= 0 et pourx(0) =x0On simule ce= 0. proble`mea`laidedunem´ethodedEuler.Quelleestlasolutionsimul´eepourx(0) =x0= 0 ? Simulerlasuitedesolutionscorrespondant`axn(0) = 1/n?. Qu’observeton
Exercice3:Unmod`elebiologique. Onconside`relemode`lebiologiquesuivant.Soienth(t) etp(t) des populations respectivement dherbivoresetdepre´dateurs.Le´volutiondespopulationsre´pondaux´equationssuivantes,ou` afiti.rte`sopearamtunpes h(t) =h(t)(1h(t))ah(t)p(t) p(t) =ah(t)p(t)p(t) p(0) =p0[0,1], h(0) =h0[0,1]
1) Onsuppose dans cette question queaevedatitauiloiqnolut´evestlelle=uQ.0hetpau coursdutemps?Donneruneinterpr´etationdesdi´erentstermesdele´quationparrapportau mod`elebiologique. 2)Repre´senter`alaidedunlogiciellechampdevecteurscorrespondanta`cettee´quation die´rentielleainsiquequelquestrajectoires.Fairevarierleparame`trea. Quelssont les com portements que l’on observe ? 3) Prouverqueh(t) etp(t) sont positifs pour toutt0. 4)Quelssontlespointsde´quilibresdusyste`me?Etudierlaline´arisationdele´quation die´rentielleautourdecespointsetexpliquerlecomportementqualitatifobserv´e. 5)Programmerlame´thodedEulerpourlemode`le.Acherlestrajectoiresenfonctiondu temps.
Exercicesthe´oriuessurlessch´emasnume´riues p d Rappel :Soitf∈ C(R+×R,Rm´nuiqerueU.)hcsname´yn+1=yn+hnΦ(tn, yn, hn) est p d’ordrep´erendiatio´equlruoplletneiy(t) =f(t, y(t)) si et seulement si Φ est de classeCet k k 1d k= 0, . . . , p1,Φ(t, y,0) =f(t, y(t)). k k ∂h k+ 1dt Unsch´emaestconsistantsilestdordreaumoins1.
Exercice 4 :Soitf(t, y) de classeCetkLipschitzienne enyernrmue´iruqmenet.Onveutint´eg l´equationdie´rentielley(t) =f(t, y(terida`sel)al)`ida´mtedesedsReohedKutungeestta,c sche´masdonn´espar tn,i=tn+cihn q X P i1 yn+1=yn+hnbipn,iavec1iq yn,i=yn+hnaikpn,k k=1 pn,i=f(tn,i, yn,i) i=1 Onsupposequelesm´ethodesdinte´grationsutilise´essontaumoinsdordre0,cesta`direque P P i1 bi= 1 etaik=ci. i k=1 1)Aquelleconditionlesme´thodesdeRungeKuttasontstables? 2) Sontelles consistantes ?Convergentes ? 3)Trouvertouteslesme´thodesdeRungeKutta`aunpoint(q= 1). 4)Trouvertouteslesm´ethodesdeRungeKuttaa`deuxpointsquisoientdordreaumoins2. Reconnaˆıtreentreautreslam´ethodedupointmilieuainsiquecelledeHeun   1 1 yn+1=yn+hnf(tn, yn) +f(tn+1, yn+hnf(tn, yn)). 2 2
Exercice 5 :ge´tnrere´muuqirsoOnaiuhinteid´reneitleelementl´equationy(t) =f(t, y(t)) graˆceausch´ema yn+1=yn+hΦ(tn, yn, h),   h h Φ(t, y, h) =αf(t, y) +βf t+, y+f(t, y) +γf(t+h, y+hf(t, y)), 2 2 avecα,βetγdans [0,1]. 1) Pour quelles valeurs deα,βetγ?seualcsqissetm´dehoouvessdteorvuzer On suppose quefestCetkLipschitzienne eny. 2) Pour quelles valeurs deα,βetγcselme´htseaslibltae? 3) Pour quelles valeurs deα,βetγlesch´emaestitsisnoclvnoC?tna?Dntgeeraurerdo moins 1 ?D’ordre au moins 2 ?
Des pendules
Exercice6:Deuxpendulescouple´s On souhaite simuler le comportement de deux pen dulesidentiquescouple´sparunressortderigidit´e α(ou par les vibrations du support).Soientθ1et θ2les angles que font les pendules avec la verticale. Les´equationsdumouvementsontdonne´espar 2 d 2θ1(t) + sinθ1(t)α(θ2(t)θ1(t)) = 0 dt 2 d 2θ2(t) + sinθ2(t) +α(θ2(t)θ1(t)) = 0 dt Mettreles´equationssousformedunee´quationdi´erentielledordre1.Onprendcomme parame`tres: d d α= 0.2, θ1(0) = 1, θ2(0) =θ1(0) =θ2(0) = 0. dt dt Simulerlecomportementdespendulesaveclam´ethodedEuleretaveclam´ethodeRK4.Observerpourchacunedesm´ethodeslaconservationdel´energie  ! 2 2 1d dα 2 E(t) =θ1(t) +θ2(t(1) +cosθ1(t)) + (1cosθ2(t)) +|θ2(t)θ1(t)|.   2dt dt2
Danslapproximationdefaibleamplitudedesoscillations,les´equationsdumouvementsont donne´espar 2 d 2θ1(t) +θ1(t)α(θ2(t)θ1(t)) = 0 dt 2 d 2θ2(t) +θ2(t) +α(θ2(t)θ1(t)) = 0 dt d d Onprendcommedonn´eesinitialesθ1(0) = 1,θ2(0) =θ1(0) =θ2nI.0=)0(lrseerge´t dt dt e´quationsdefa¸conexacte(indication:conside´rerθ1+θ2etθ2θ1).
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