Preparation a l'agregation externe Universite de Grenoble Option calcul scientifique

Publié par

Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation externe Universite de Grenoble Option calcul scientifique 2009/2010 Ecrit par Romain JOLY Une equation de coagulation 1 Modelisation 1.1 Equation de Smoluchowski complete On considere un ensemble de particules de masse 1,2,3,... ou tout autre masse entiere. On note ui(t) le nombre de particules de masse i ? N? au temps t. On suppose que deux particules de tailles respectives i et j ont une probabilite proportionnelle a a(i, j) de fusionner en une particule de masse i + j. Notons qu'il est naturel de supposer a(i, j) = a(j, i). La variation de un est donnee par la fusion de particules de taille i et j avec i + j = n et par la disparition de particules de taille n suite a une fusion avec une autre particule. On obtient donc l'equation suivante appelee equation de Smoluchowski : ?n ? N?, ∂tun(t) = 1 2 n?1 ∑ i=1 a(i, n? i)ui(t)un?i(t) ? un(t) ∞ ∑ i=1 a(i, n)ui(t) , (1) avec un(0) = u0n donne. On s'interesse bien sur au cas physique ou un(t) est positif ou nul pour tous n et t.

  • conditions initiales dans le nuage

  • gouttes de taille superieure

  • masse

  • meme calcul pour la masse partielle

  • vitesse proportionnelle

  • produit de la surface de frottement et de la vitesse


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 42
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins
Pr´eparation`alagre´gationexterne Option calcul scientifique EcritparRomainJOLY
Universit´edeGrenoble 2009/2010
Unee´quationdecoagulation
1Mode´lisation 1.1EquationdeSmoluchowskicompl`ete Onconsid`ereunensembledeparticulesdemasse1,2,3,...outoutautremasseentie`re.Onnote ui(t) le nombre de particules de masseiNau tempst. Onsuppose que deux particules de tailles respectivesietjellea`peoril´toinnoptrntunobabieproa(i, j) de fusionner en une particule de massei+jqu’il est naturel de supposer. Notonsa(i, j) =a(j, i). Lavariation de unaurstiiornldaefpsedeeptacounlne´seedtiallietjaveci+j=net par la disparition de particules de taillenoinuqtatrauarepcuti.Oletbontneicnode´lsuite`anufesuoianevucen suivanteappel´eee´quationdeSmoluchowski: n1X X 1 nN, ∂tun(t) =a(i, ni)ui(t)uni(t)un(t)a(i, n)ui(t),(1) 2 i=1i=1 0 avecun(0) =unhysicasp`uqueoibessereuaruˆsnee.n´ondt´insOnun(t) est positif ou nul pour tousnettconstatation triviale est que si (. Uneun)(0) ne contient que des masses multiples dek, alors (un)(t) ne contient que des masses multiples dekurqneonstleaicleˆmei,emD. peutcre´erdemassespluspetitesquelapluspetitedesmassesinitiales. Suivantlemod`eleconside´re´,plusieurstypesdenoyauxaertuˆttevuneepmpxerePas.´eisil,el conside´ronsunesolutionrempliedepolym`eresquisontdelonguesmol´eculesliformes.Lindice nrrseoc`alapondueurlongˆahcaledmylopenı.e(ire`ebromun.dllettseere`eonsdemedomon forme´e).Onpeutconsid´ererquelaprobabilite´defusiondedeuxchaıˆnespolyme`resestproportionnela`leurprobabilite´derencontre,ellemˆemeproportionnelle`alasommedeslongueurs. On aurait donca(i, j) =i+j.
1.2Mod´elisationdelapluie Dans le cas de gouttes d’eau en chute libre, on sait qu’une goutte de masseitombe avec une 1/3 vitesseproportionnelle`aiotfrmeteorafdeceosrsoppedtniallafana`troecnEetel,. degravit´eestproportionnelleauproduitdelasurfacedefrottementetdelavitesse.Dans un instantdt, une particule de masseifusionnera avec une particule de massejsi elles se 1/3 1/3 rattrapent dans l’axe vertical (distance au plus|ij|dt) et si elles se superposent sur le 1/3 1/3 plan horizontal (distance au plusi+jinsiitealumeunvoat,luAotlemino´d).hcedco 1
1/3 1/13 2/3 1/3 proportionnel`aa(i, j)dt= (i+j)|ij|dt. Enoutre, la taille des gouttes d’eau est limite´e:siellessonttropgrandes,lavitesselesexploseenpluspetitesgouttes.Pourmod´eliser cela, nous supposerons qu’il existe un volume maximumNpour les gouttes et quea(i, j) = 0 sii+j > Niieonntdoncl.´Oenqoubatt n1Nn X X 1 n= 1, . . . , N,tun(t) =a(i, ni)ui(t)uni(t)un(t)a(i, n)ui(t),(2) 2 i=1i=1 1/3 1/3 21/3 1/3 aveca(i, j) = (i+j)|ij|.
2 Existencede solutions dans le casaborn´e Oncherchea`montrerlexistenceetlunicite´dessolutionsde(1).Onsupposerapourceladans toute cette partie qu’il existeM >0 tel quea(i, j)Mpour tousietj. OnnoteUla suite P 1(un)nNintroduit. OnX=(N) l’ensemble des suitesU= (un)nNtelles que|un|est ∗ ∗ P n1 finie. OnmunitXde la normekUk=|un|note. OnX+erm´edelfeXetiussedscompos´e Utelles queun0 pour toutn. Onpeuttoutdabordconstaterquelenombretotaldeparticulesde´croitentemps. Proposition 2.1.SiU(t)est une solution de(1)sur un intervalle[0, T[telle queUX+ P pour toutt, alorskUk(t) =un(t).tnassiorspmetudefonctuned´ectionse n1 D´emonstration:emontrequesioTtudbaro,dno´daeestnrobtee´alistiusU(t) = (un(t))nNes´erisoetvetisipostesselsrola,elbamm  ! ! n1 X XX X a(i, ni)uiunietuna(n, i)ui n1i=1n1i1 sont absolument convergentes.Cela permet de justifier le calcul suivant.  ! n1 X XX 1 tkUk(t) =a(i, ni)uiuniuna(n, i)ui 2 n1i=1i1 n1 X XX X 1 =a(i, ni)uiuniuna(n, i)ui 2 n1i=1n1i1 +X XX X 1 =a(i, ni)uiunia(n, i)uiun 2 i1n=i+1n1i1 X X 1 =a(n, i)uiun(3) 2 n1i1
Onend´eduitlexistencedesolutionsphysiqueglobaleentemps. 0 Th´eor`eme2.1.Pour toutUX+, il existe une unique solution globale(U(t))t0de(1)dans 0 X´erivatnU(0) =Uouenstneioutolessnadee´nroberteCtt.Xpepatitra`tneaX+pour tout t0.
2
0 D´emonstration:SoitUX+cr´eOn.ou)s(1itslaformetU(t) =F(U(t)) avecFune fonction deXdansXmontre facilement que. OnFro´nlrbeenusiznechitlipsesteB={V0 X ,kVk ≤2kUk}uctnmespedemcuaCLyhcspitzhile,istxionede`roe´htelraP.ε >0 tel 00 que pour toutVB={VX ,kVk ≤ kUk}, il existe une unique solution localeV(t) sur 0 [0, εiertan1)v´[de(V(0) =V. Onobtient en particulier l’existence d’une unique solution 0 localeU(t) sur [0, εire´v)1(ed[antU(0) =U. Onconstatequa`n´x,eun(ttionequaerendi´v)e´nu´eireedelleitemrofaltun(t) = a(t)b(t)un(ttions´ecrit,)odtnalosul Z t R R t t b(s)dsb(s)ds 0τ un(t) =un(0)e+e a(τ)dτ .(4) 0 Onende´duitqueun(t)0 pour toutt[0, ε] et donc queU(t)X+.tioinlaproposDapr`es 2.1, la norme deU(telacolnonodetsersancdosalitulmetntesproecteˆıd´)Bchoisissant. En 0 V=U(ε/)2tepliqenaplethuantroe´eme`aCedyhcuipLhisc,otzeunpptorolgnreonrtseolution sur l’intervalle [0,3/2ε[ puis sur [0,2ε[ et ainsi de suite sur toutR.
N Remarque :,o2)eunpcalee(sdmselemeˆferteriatsdanslsargumenaDsnseapecRen voyant(2)commeunesimple´equationdi´erentielleordinaire.
3Conservationdelamasseetge´lation Suivantlalogiquedelamode´lisationconduisant`a(1),lamassetotaledesparticules X m(t) =nun(t) n1 devraiteˆtreunequantite´constanteaucoursdutemps.Formellement,onpeutconduirele calcul suivant. X tm(t) =n∂tun(t) n1 n1 X XX X 1 =na(i, ni)ui(t)uni(t)na(i, n)ui(t)un(t) 2 n1i=1n1i1 +X XX X 1 =na(i, ni)ui(t)uni(t)na(i, n)ui(t)un(t) 2 i1n=i+1n1i1 X XX X 1 = (k+i)a(i, k)ui(t)uk(t)na(i, n)ui(t)un(t) 2 i1k1n1i1 X XX XX X 1 1 =ka(i, k)ui(t)uk(t) +ia(i, k)ui(t)uk(t)na(i, n)ui(t)un(t) 2 2 i1k1i1k1n1i1 = 0 Biene´videmment,danslecasdumode`ledesgouttesdepluie,lescalculspre´ce´dentssont correctsetlamassetotaledesgouttesestconserv´ee.Malheureusement,nousnepouvons justierrigoureusementlessommationsdanslecasg´en´eral.Enrefaisantlemeˆmecalculpour lamassepartielle,onpeutaumoinsavoirunr´esultatrigoureux. 3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.