Preparation a l'agregation externe Universite de Grenoble Option calcul scientifique

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation externe Universite de Grenoble Option calcul scientifique 2009/2010 Ecrit par Romain JOLY Un modele d'EDP parabolique pour la propagation d'especes animales 1 Modelisation L'analyse et la simulation de la propagation d'une espece animale dans un environnement donne est un probleme important en ecologie. Elles permettent de prevoir l'expansion ou l'extinction d'une population animale et ainsi soit d'essayer de la sauvegarder (espece en voie de disparition) soit de lutter contre elle (espece invasive). On considere ici une espece animale dans un milieu unidimensionel (par exemple une riviere ou un etroit corridor de forets), que l'on modelisera par le segment [0, 1]. On note u(x, t) la densite de la population animale au point x ? [0, 1] et au temps t ≥ 0. On suppose connue la population au temps t = 0 et on s'interesse a son evolution pour t > 0. Oublions dans un premier temps la dependance spatiale du modele. On suppose qu'il existe une densite critique ? ?]0, 1[ limitant deux comportements disctints. Si u(0) < ? alors la pop- ulation u(t) n'est pas assez dense pour survivre tend vers 0. Ceci modelise le fait que sous une certaine densite, les animaux trouvent trop difficilement un partenaire pour la reproduction.

  • dependance spatiale du modele

  • espece

  • obstacle dans la propagation

  • vitesse constante

  • modele

  • espece animale

  • equation diferentielle

  • existence de solution


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Pr´eparation`alagre´gationexterne Option calcul scientifique EcritparRomainJOLY
Universit´edeGrenoble 2009/2010
Unmod`eledEDPparaboliquepourla propagationdesp`ecesanimales
1Mode´lisation Lanalyseetlasimulationdelapropagationduneespe`ceanimaledansunenvironnementdonn´e estunproble`meimportanten´ecologie.Ellespermettentdepre´voirlexpansionoulextinction dunepopulationanimaleetainsisoitdessayerdelasauvegarder(esp`eceenvoiededisparition) soitdeluttercontreelle(espe`ceinvasive). Onconside`reiciuneesp`eceanimaledansunmilieuunidimensionel(parexempleunerivi`ere ouun´etroitcorridordeforˆets),quelonmode´liseraparlesegment[0,note1]. Onu(x, t) la densite´delapopulationanimaleaupointx[0,1] et au tempst0. Onsuppose connue la population au tempste´noulovssersa`eontiurponsint´e=0etot >0. Oublionsdansunpremiertempslade´pendancespatialedumode`le.Onsupposequilexiste unedensite´critiqueθ]0,Si1[ limitant deux comportements disctints.u(0)< θalors la pop ulationu(trvivursusepozdensaesptsanse)eeuossunuefeltqaid´moisel.0sriceCeterevdn certainedensite´,lesanimauxtrouventtropdicilementunpartenairepourlareproduction. Lespe`ceestaussitropsensibleauxpetitesuctuationsdumilieuquipeuventle´radiquerrapidement. Siu(0)> θis´tdanemilaoetprappeparuortaallsropopatalusnoiviurtttedvensser milieuquonsupposerae´gale`a1.Cecomportementestparfaitementmod´elis´eparle´quation di´erentielleordinaire u(t) =f(u(t)) avecf(u) =λu(1u)(uθ),(1) o`uλest un nombre strictement positif. Onsouhaiteprendreencomptelefaitquelesanimauxpeuventsede´placerspatiallement. 2 ∂ u Pourcela,onrajoute`a(1)untermedediusionc2uo`cest une constante strictement positive. ∂x En outre, on suppose que les animaux ne peuvent sortir du segment [0,1], ce qui induit une conditiondeuxnulsurleborddelintervalle.Onobtientdonclemod`elecomplet 2 ∂u ∂u (x, t) =c2(x, t) +f(u(x, t)) (x, t)]0,1[×]0,+[ ∂t ∂x ∂u ∂u (0, t(1) =, t) = 0t >0 (2) ∂x ∂x u(x,0) =u0(x) ou`u0(x`pcelsenoedubitstriladi)estteausmpniealemat= 0.
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2 Existencede solutions Lexistenceetlunicit´edesolutionspourl´equationparabolique(2)sede´montrentendeux parties:daborduneanalysedelapartieline´airequicorresponda`unee´quationdelachaleur, puislapriseencomptedelapartienonlin´eaireapport´eeparfgrˆace`ancalpudeimalnees th´eore`medepointxedetypeCauchyLipschitz.Nousnallonsdiscutericiquedupremier point. Danscettepartie,nousallonsdoncanalysermath´ematiquementlessolutionsdele´quation de la chaleur 2 ∂u ∂u (x, t) =c2(x, t) (x, t)]0,1[×]0,+[ ∂t ∂x ∂u ∂u (0, t(1) =, t) = 0t >0 (3) ∂x ∂x u(x,0) =u0(x) cest`adiredelapartielin´eairedenotremode`le. 2 2 Lemme 2.1.Soitu0L(]0,1[), il existe une suite de coefficients(cn)nN(N)telle que +X u0=cncos(πn.), n=0 2 lasomme´etant`aprendreausensdeL(]0,1[). De´monstration:On prolonge la fonctionu0t´esparipraur]1,su´eitic1[r2rapsiupdoire´pRe´engloronpenuttomeemecd´ertiel.Lmissmelpeluorola´ecomposentdeladfanotcoitioidnle ens´eriedeFourier.
2 Th´eor`eme2.1.Soitu0L(]0,1[)et soit(cn)nNsasetiucodecietsensoasice´peraelelmme 2.1. Alorsil existe une unique solutionu: (x, t)[0,1]×[0,+[7→u(x, t)bleerivade´ntet deuxfoisd´erivableenxsur[0,1]×]0,+[ntari´e,v(3)et telle queu(., t)tend versu(.,0) =u0 2 au sens deL(]0,1[)quandttend vers0. En outre, cette solutionus´tceir +X 2 2 cπ n t u(x, t) =cnecos(πnx),(4) n=0 estinnimentde´rivablesur[0,1]×]0,+[et tend vers la fonction constanteu=c0= R 1 u0(x)dxquandttend vers+. 0 De´monstration:erie´essesrior´edeie,sno´vnoofeditcnmentargurlesPaalhtsdeddnrassat directementque(4)de´nieunesolutionde(3)quive´rietouteslesproprie´t´ese´nonc´ees. 1 21 2 Soituetu`rme2e1.A.olsruedlosxoituedsn)a(3enusutsdeoh´u=uuv´erie(3) avecu0Pour= 0.t >ire´ibav´tilno,eutpecr´eeir,0parhypoth`eseded Z ZZ2 1 12 1 1∂ ∂d ∂ 2 ku(t)k2=u(x, t)u(x, t)dx=c u(x, t)u(x, t)dx=c u(x, t)dx . 2L 2dt0∂t0∂x0∂x 2 La normeLdeu(tontdntceecd´ˆırotellvdnespmeerO.dquaners0)ttend vers 0.Donc ku(t)kLleulsnurjoouttesnulevuorpiuqec,deon).(3ticiede´osalitul2
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