Preparation a l'agregation interne de mathematiques

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Niveau: Supérieur, Bac+8
Preparation a l'agregation interne de mathematiques Epreuve du samedi 27 novembre 2004 Jean-Marie Monier Corrige I. Definition de la transformation de Fourier 1. Soient f ? L1, x ? R. L'application h : t 7?? f(t)e?ixt est continue par morceaux sur R et : ? t ? R, |h(t)| = |f(t)|, donc, puisque f est integrable sur R, h est aussi integrable sur R. On conclut : h ? L1. 2.a. Soit f ? L1. Soient x ? R, (xn)n?N une suite dans R convergeant vers x. Notons, pour tout n ? N : fn : R ?? C, t 7?? fn(t) = f(t)e?ixnt. Montrons qu'on peut appliquer le theoreme de convergence dominee. • Pour tout n ? N, fn est continue par morceaux sur R. • La suite (fn)n?N converge simplement sur R vers h : R ?? C, t 7?? h(t) = f(t) e?ixt. • h est continue par morceaux sur R. • On a : ?n ? N, ? t ? R, |fn(t)| = |f(t)|, et |f | est continue par morceaux, > 0 et integrable sur R.

  • sin xt2

  • f? l1

  • ?? fn

  • proprietes algebriques de la transformation de fourier

  • dt


Publié le : lundi 1 novembre 2004
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Pr´eparation`alagre´gationinternedemathe´matiques
´ Epreuve du samedi 27 novembre 2004
Jean-Marie Monier
Corrig´e
I.D´efinitiondelatransformationdeFourier
1 1.Soientf∈ L, xR. ixt L’applicationh:t7f(tcontinue par morceaux sur)e est Ret : donc, puisquefiengstt´blerauresR, huatsiisse´tnbarglesureR. 1 On conclut :h∈ L.
tR,
|h(t)|=|f(t)|,
1 2.a.Soitf∈ L. SoientxR,(xn)nNune suite dansRconvergeant versx. Notons, pour toutnN: ixnt fn:R−→C, t7fn(t) =f(t)e. Montronsquonpeutappliquerlethe´ore`medeconvergencedomin´ee. Pour toutnN, fnest continue par morceaux surR. ixt La suite (fn)nNconverge simplement surRversh:R−→C, t7h(t) =f(t) e. hest continue par morceaux surR. On a : nN,tR,|fn(t)|=|f(t)|, et|f|est continue par morceaux,>lbarge´tnite0uresR. Ilenre´sulte,dapre`sleth´eor`emedeconvergencedomine´e,que: Z Z ++fn(t) dt−→f(t) dt, n−∞ −∞
et donc :Ff(xn)−→Ff(x). nCecimontre,parlacaracte´risationse´quentielledelacontinuite´,queFfest continue surR.
1 2.b.Soitf∈ L. On a, pour toutxR: Z Z Z +++1 1 1 ixtixt   |Ff(x)|=f(t) e dt6f(t) e dt=√ |f(t)|dt, 2π−∞2π−∞2π−∞
doncFfei.n´egalite´eetvoonuallutsobnre´e
1
1 1 2.c.D’abord,LetCsont bien desC-espaces vectoriels et, pour toutef∈ L,.a.:d,ano2se`rpaFf∈ C. 1 SoientαCg, f, ∈ L.On a, pour toutxR: Z +1 ixt F(αf+g)(x) =(αf+g)(td) e t 2π−∞ Z Z ++1 1 ixtixt =αf(t) e dt+g(t) e dt=αFf(x) +Fg(x), 2π−∞2π−∞
donc :F(αf+g) =αFf+Fg, 1 et on conclut que l’applicationF:L −→ Cirean´lietse.
II. Deux exemples n o T T T T 1.L’application ΠTest continue en tout point deR− −,et admet enlimites finieset des 2 2 2 2 a`gaucheet`adroite,doncΠTest continue par morceaux surR. Et, puisque ΠTest nulle en dehors d’un segment, ΠTrsugr´eleabsetnitR. 1 On conclut : ΠT∈ L. SoitxR.On a : Z Z T +2 1 1 ixtixt FΠT(x) =ΠT(t)e dt=e dt. 2π−∞2πT 2 hixtiixT /2 ixT /2xT xT T 1 e21 ee 12i sinTsin 2 2 Six6= 0,alors :FΠT(x) ====. TxT 2πix22πix2πix2π 2 Z T 1T 2 Six= 0, alors :FΠT(x) =dt=. T 2π2π 2 On conclut : xT Tsin 2 six6= 0 xT 2π 2 xR,FΠT(x) = T six= 0 2π
2.Soita]0 ; +[. a|t|1 fa:t7continue sure est Rge´tlbarniteeen−∞et en +no:csrd,ceuoe`lsaprdfa∈ L. On a, pour toutxR: Z Z Z Z   ++0 +1 1 1 ixta|t| −ixt atixtatixt Ffa(x) =fa(t) e dt=e e dt=e dtd+ e t 2π−∞2π−∞2π−∞0 h(aix)ti0h(a+ix)ti+  1 e e 1 1 1 1 2a =+ =+ =. 2 2 2π aix(a+ ix) 2π aix a+ ix2π a+x −∞0 On conclut :
xR,
1 2a Ffa(x) =2 2 2π a+x
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III.Propri´et´esalge´briquesdelatransformationdeFourier
R 1.On a, pour toutefCet touttR:
∨ ∨ f(t) =f(t) =f(t) =f(t) =f(t),
donc :f=f . Autrement dit,cetscommutent etu=cs=sc.Donc,e, c, s, u.edxumutecomux`antde Il est clair queeest neutre pouret quecetssont deux involutions :cc=eetss=e. R On a, pour toutefC: ∨ ∨ cu(f) =f=f=s(f) etsu(f) =f=f=c(f), dou`:cu=setsu=c. Puis : uu= (cs)u=c(su) =cc=e.
e c s u e e c s u Ainsi,est interne dansGet la table deGest :c c e u s s s u e c u u s c e  2 Ilenr´esultequeGest un groupe pour la loiet que (G,pae,phoromisst)e`,apmelerexZ/2Z,+.
1 2.Soitf∈ L. Il est clair que, puisquefcostinntelesurnt´egrabecuaexiteuapmrroR, fest aussi continue par 1 morceauxetint´egrablesurR,autrement ditf∈ L. On a, pour toutxR: Z Z Z +++1 1 1 ixtixt ixt Ff(x) =f(t) e dt=f(td) e t=f(td) e t=Ff(x) =Ff(x), 2π−∞2π−∞2π−∞
do`u:
Ff=Ff
Il est clair que, puisquefuselbargrceaurmornt´exetitsoceeuaptnniR, fest aussi continue par 1 morceauxetint´egrablesurR,autrement dit :f∈ L. On a, pour toutxR: Z Z Z +++∨ ∨ 1 1 1 ixtixtixu Ff(x) =f(td) e t=f(t) e dt=f(u) e du=Ff(x), u=t 2π−∞2π−∞2π−∞
do`u:
∨ ∨ Ff=Ff
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1 ´rpse´ce´irpe´tentde,esDxprosdeuesleapr`f∈ Let :
1 Finalement, on a, pour toutef∈ L:
Ff=Ff ,
∨ ∨ Ff=Ff=Ff=Ff .
∨ ∨ Ff=Ff ,
1 3.Soitf∈ Lsorr´eeptialleeanlaerO.f=fetf=f,:u`od
Ff=Ff=Ff
et
Ff=Ff
∨ ∨ Ff=Ff=Ff,
doncFf.ets´reelleeptiaer 1 Soiitf∈ Llorsrel´eteelapmi.eriaanOf=fetf=f,ou`:d
Ff=Ff=F(f) =Ff
doncFfest imaginaire pure et impaire.
et
∨ ∨ Ff=Ff=F(f) =Ff,
1 1 4.SoientaR, f∈ L.Il est clair queτaf∈ Let on a, pour toutxR: Z Z ++1 1 ixtixt F(τaf)(x) =τaf(t) e dt=f(tad) e t 2π−∞2π−∞ Z Z ++1 1 ix(a+u)iaxixuiax =f(u) e du= ef(u) e du= eFf(x). u=ta 2π−∞2π−∞
On conclut :
xR,
iax F(τaf)(x) = eFf(x)
IV. Transformation de Fourier et convolution
1 1.Soientf∈ L, g∈ B. L’applicationh:R−→C, t7h(t) =f(t)g(xt) est continue par morceaux surR(par produit) et :
tR,
|h(t)|=|f(t)| |g(xt)|6||g|||f(t)|.
1 Commeftiesabgr´entruselRdema`emetionjorap,,roe´htrahl’est aussi. Ainsi,h∈ L.
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